Coupe Animath Automne 2020

Compute a telescoping product of consecutive fractions

Compute the number $P=\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{29}{28}\times \frac{30}{29}.$

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 15 Fonte: apri PDF

Calcolare un prodotto telescopico di frazioni consecutive

Calcolare il numero $P=\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{29}{28}\times \frac{30}{29}.$

Solo una risposta numerica è prevista qui.

Risposta: 15 src_canimath_2020_automne__Q01

Find the number of floors of two buildings given total bathrooms and bedrooms

Alexie and Baptiste each own a building. Each floor of Alexie’s building has $3$ bathrooms and $2$ bedrooms. Baptiste, as for him, has $4$ bathrooms and $3$ bedrooms per floor. There are in total (that is, in the two buildings) $25$ bathrooms and $18$ bedrooms. Find the number of floors of Alexie’s and Baptiste’s buildings.

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il numero di piani di due edifici dato il numero totale di bagni e camere da letto

Alexie e Baptiste possiedono entrambi un edificio. Ogni piano dell’edificio di Alexie ha bagni e camere da letto. Baptiste, per quanto riguarda lui, dispone di $4$ bagni e $3$ camere da letto per piano. In totale (cioè nei due edifici) ci sono bagni $25$ e camere da letto $18$. Trova il numero di piani degli edifici di Alexie e Baptiste.

Solo una risposta numerica è prevista qui.

src_canimath_2020_automne__Q02

Find angle FEA in a square with E on diagonal BD such that EB=AB and F on line AD

Let $ABCD$ be a square and $E$ the point of the segment $[BD]$ such that $EB=AB$. We define the point $F$ as the point of intersection of the lines $(CE)$ and $(AD)$. Find the value of the angle $\widehat{FEA}$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trova un angolo FEA in un quadrato con E sulla diagonale BD in modo che EB = AB e F sulla linea AD

Il segmento $ABCD$ deve essere quadrato e $E$ il punto del segmento $[BD]$ in modo tale che $EB=AB$. Il punto $F$ è definito come il punto di intersezione delle linee $(CE)$ e $(AD)$. Trova il valore dell’angolo $\widehat{FEA}$.

src_canimath_2020_automne__Q03

Determine each shepherd’s perfect-square sheep count given sum bounds and parity

Noémie and Tristan are shepherds. Each of them owns a number of sheep that is a perfect square, that is to say an integer that can be written in the form $n^2=n\times n$ with $n$ a non-negative integer. We thus write $a^2$ for the number of Noémie’s sheep and $b^2$ for that of Tristan. After a quick count of the total number of sheep, they deduce that $97\le a^2+b^2\le 108$. Determine the number of sheep of each one, knowing that:

1. Noémie owns strictly more sheep than Tristan;
2. each of them has at least $2$ sheep;
3. the total number of sheep $a^2+b^2$ is odd.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine il numero di pecore perfetto quadrato di ciascun pastore dato il limite di somma e la parità

Noémie e Tristan sono pastori. Ognuno di essi possiede un numero di pecore che è un quadrato perfetto, cioè un intero che può essere scritto nella forma $n^2=n\times n$ con $n$ un intero non negativo. Scriviamo così $a^2$ per il numero di pecore di Noémie e $b^2$ per quello di Tristan. Dopo un rapido conteggio del numero totale di pecore, si deduce che $97\le a^2+b^2\le 108$. Determina il numero di pecore di ciascuna, sapendo che:

1. Noémie possiede più pecore di Tristan. ciascuno di essi ha almeno $2$ pecore; 3. il numero totale di pecore $a^2+b^2$ è pari.

src_canimath_2020_automne__Q04

Prove triangles ADE and BCE have equal area in a trapezoid with E the diagonal intersection

Let $ABCD$ be a trapezoid (non self-crossing) such that the lines $(AB)$ and $(CD)$ are parallel. We write $E$ for the point of intersection of the diagonals $[AC]$ and $[BD]$. Show that the area of the triangle $ADE$ equals the area of the triangle $BCE$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che i triangoli ADE e BCE hanno superficie uguale in un trapezoide con E l’intersezione diagonale

Il $ABCD$ deve essere un trapezoide (non auto-crosso) tale che le linee $(AB)$ e $(CD)$ siano parallele. Scriviamo $E$ per il punto di intersezione delle diagonali $[AC]$ e $[BD]$. Indicare che l’area del triangolo $ADE$ è uguale all’area del triangolo $BCE$.

src_canimath_2020_automne__Q05

Show 12 pebbles on an 8x8 board can be covered by coloring 4 rows and 4 columns red

We place $12$ pebbles on a chessboard with $8$ rows and $8$ columns. Each pebble has been placed on one of the $64$ squares of the chessboard (with at most one pebble per square). Show that it is possible to color red $4$ rows and $4$ columns in such a way that each of the $12$ pebbles is on a red square.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Mostra 12 ciottoli su una lavagna da 8x8 che possono essere coperti colorando 4 righe e 4 colonne in rosso

Mettiamo $12$ ciottoli su una scacchiera con righe $8$ e colonne $8$. Ciascuna pietra è stata collocata su uno dei quadrati $64$ della scacchiera (con al massimo una pietra per quadrato). Mostrare che è possibile colorare in rosso le righe $4$ e le colonne $4$ in modo tale che ciascuno dei ciottoli $12$ sia su un quadrato rosso.

src_canimath_2020_automne__Q06

Count integer triples summing to zero with absolute-value sum equal to 2k

Let $k$ be a strictly positive integer. For every real number $x$, the number $|x|$ is the absolute value of $x$, which equals $x$ if $x$ is positive and $-x$ if $x$ is negative. Find the number of triples $(x,y,z)$ where $x,y,z$ are integers such that $x+y+z=0$ and $|x|+|y|+|z|=2k$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta triplici interi sommati a zero con valore assoluto pari a 2k

$k$ sia un numero intero rigorosamente positivo. Per ogni numero reale $x$, il numero $|x|$ è il valore assoluto di $x$, pari a $x$ se $x$ è positivo e $-x$ se $x$ è negativo. Trova il numero di triples $(x,y,z)$ dove $x,y,z$ sono numeri interi come $x+y+z=0$ e $|x|+|y|+|z|=2k$.

src_canimath_2020_automne__Q07

Maximum size of a subset of {1,…,200} whose pairwise differences are never prime

Let $S$ be a set included in $\{1,2,3,\dots ,199,200\}$. We say that $S$ is joli (pretty) if, for all elements $a$ and $b$ of $S$, the number $a-b$ is not a prime number. What is the maximum number of elements of a joli set included in $\{1,2,3,\dots ,199,200\}$?

Note: We say that a set $A$ is included in a set $B$ if every element of $A$ is also an element of $B$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dimensione massima di un sottoinsieme di {1,…,200} le cui differenze in coppia non sono mai prime

$S$ sia un insieme incluso in $\{1,2,3,\dots ,199,200\}$. Diciamo che $S$ è joli (pretty) se, per tutti gli elementi $a$ e $b$ di $S$, il numero $a-b$ non è un numero primo. Qual è il numero massimo di elementi di un insieme joli incluso in $\{1,2,3,\dots ,199,200\}$?

Nota: diciamo che un insieme $A$ è incluso in un insieme $B$ se ogni elemento di $A$ è anche un elemento di $B$.

src_canimath_2020_automne__Q08

Find the number of floors of two buildings given total bathrooms and bedrooms (lycée)

Alexie and Baptiste each own a building. Each floor of Alexie’s building has $3$ bathrooms and $2$ bedrooms. Baptiste, as for him, has $4$ bathrooms and $3$ bedrooms per floor. There are in total $25$ bathrooms and $18$ bedrooms. Find the number of floors of Alexie’s and Baptiste’s buildings.

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Ricerca il numero di piani di due edifici dato il numero totale di bagni e camere da letto (liceu) *

Alexie e Baptiste possiedono entrambi un edificio. Ogni piano dell’edificio di Alexie ha bagni e camere da letto. Baptiste, per quanto riguarda lui, dispone di $4$ bagni e $3$ camere da letto per piano. Ci sono in totale $25$ bagni e $18$ camere da letto. Trova il numero di piani degli edifici di Alexie e Baptiste.

Solo una risposta numerica è prevista qui.

src_canimath_2020_automne__Q09

Find angle FEA in a square with E on diagonal BD such that EB=AB (lycée)

Let $ABCD$ be a square and $E$ the point of the segment $[BD]$ such that $EB=AB$. We define the point $F$ as the point of intersection of the lines $(CE)$ and $(AD)$. Find the value of the angle $\widehat{FEA}$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Trova un angolo FEA in un quadrato con E sulla diagonale BD in modo che EB=AB (liceu) *

Il segmento $ABCD$ deve essere quadrato e $E$ il punto del segmento $[BD]$ in modo tale che $EB=AB$. Il punto $F$ è definito come il punto di intersezione delle linee $(CE)$ e $(AD)$. Trova il valore dell’angolo $\widehat{FEA}$.

src_canimath_2020_automne__Q10

Determine each shepherd’s perfect-square sheep count given sum bounds and parity (lycée)

Noémie and Tristan are shepherds. Each of them owns a number of sheep that is a perfect square, that is to say an integer that can be written in the form $n^2=n\times n$ with $n$ a non-negative integer. We thus write $a^2$ for the number of Noémie’s sheep and $b^2$ for that of Tristan. After a quick count of the total number of sheep, they deduce that $97\le a^2+b^2\le 108$. Determine the number of sheep of each one, knowing that:

1. Noémie owns strictly more sheep than Tristan;
2. each of them has at least $2$ sheep;
3. the total number of sheep $a^2+b^2$ is odd.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Determine il numero di pecore perfetto in quadrato di ciascun pastore dato il limite di somma e la parità (liceu) *

Noémie e Tristan sono pastori. Ognuno di essi possiede un numero di pecore che è un quadrato perfetto, cioè un intero che può essere scritto nella forma $n^2=n\times n$ con $n$ un intero non negativo. Scriviamo così $a^2$ per il numero di pecore di Noémie e $b^2$ per quello di Tristan. Dopo un rapido conteggio del numero totale di pecore, si deduce che $97\le a^2+b^2\le 108$. Determina il numero di pecore di ciascuna, sapendo che:

1. Noémie possiede più pecore di Tristan. ciascuno di essi ha almeno $2$ pecore; 3. il numero totale di pecore $a^2+b^2$ è pari.

src_canimath_2020_automne__Q11

Count possible numbers of even entries in a 3x3 grid with all row and column sums odd

We place $9$ integers in the cells of a $3\times 3$ grid in such a way that the sum of the numbers of a column or of a row is always odd. What values can the number of even cells of such a configuration take?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare possibili numeri di voci pari in una griglia 3x3 con tutte le somme di righe e colonne odd

Si collocano gli enti $9$ nelle celle di una griglia $3\times 3$ in modo tale che la somma dei numeri di una colonna o di una riga sia sempre pari. Quali valori possono assumere il numero di cellule pari di tale configurazione?

src_canimath_2020_automne__Q12

Count reals x in [1,10] with fractional-part(x) squared equal to fractional-part(x squared)

For every real number $x$, we write $\lfloor x\rfloor$ for the greatest integer less than or equal to $x$, then we call fractional part of $x$ the number $⟨x⟩$ defined by $⟨x⟩=x-\lfloor x\rfloor$. How many real numbers $x$ are there verifying $1\le x\le 10$ and $⟨x{⟩}^2=⟨x^2⟩$?

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Conta x reale in [1,10] con frazione-parte(x) quadrato uguale alla frazione-parte(x quadrato) *

Per ogni numero reale $x$, scriviamo $\lfloor x\rfloor$ per il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$, quindi chiamiamo * parte frazionaria* di $x$ il numero $⟨x⟩$ definito da $⟨x⟩=x-\lfloor x\rfloor$. Quanti numeri reali $x$ verificano $1\le x\le 10$ e $⟨x{⟩}^2=⟨x^2⟩$?

src_canimath_2020_automne__Q13

Find integers n>=2 expressible as a^3+d^3 with a the smallest prime divisor and d a divisor

Find the integers $n$ greater than or equal to $2$ such that, writing $a$ for the smallest prime divisor of $n$, one can find a positive divisor of $n$ written $d$ such that $n=a^3+d^3$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova integri n>=2 espressi come a^3+d^3 con un divisore primo più piccolo e un divisore d

Trova i numeri interi $n$ più grandi o uguali a $2$ in modo che, scrivendo $a$ per il più piccolo divisore primo di $n$, si possa trovare un divisore positivo di $n$ scritto $d$ in modo che $n=a^3+d^3$.

src_canimath_2020_automne__Q14

Compute area of triangle MND in a unit-area parallelogram with M on BD, MD=3MB

Let $ABCD$ be a parallelogram of area $1$ and $M$ a point belonging to the segment $[BD]$ such that $MD=3MB$. We write $N$ for the point of intersection of the lines $(AM)$ and $(CB)$. Compute the area of the triangle $MND$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area di calcolo del triangolo MND in un parallelo unitario con M su BD, MD=3MB

Il $ABCD$ è un parallelo della superficie $1$ e $M$ un punto appartenente al segmento $[BD]$ in modo tale che $MD=3MB$. Scriviamo $N$ per il punto di intersezione delle linee $(AM)$ e $(CB)$. Calcolare l’area del triangolo $MND$.

src_canimath_2020_automne__Q15

Find all values C that are products of integers differing by 5 and also by 8

Suzanne multiplies two integers whose difference equals $5$ and Martin multiplies two integers whose difference equals $8$. They obtain the same result, that we write $C$. What are the possible values of $C$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i valori C che sono prodotti di numeri interi diversi di 5 e anche di 8

Suzanne moltiplica due numeri interi la cui differenza è uguale a $5$ e Martin moltiplica due numeri interi la cui differenza è uguale a $8$. Ottieni lo stesso risultato, che scriviamo $C$. Quali sono i valori possibili di $C$?

src_canimath_2020_automne__Q16

Decide if 10 blue, 10 red, 10 green points can satisfy cyclic second-nearest conditions

Is it possible to place $10$ blue points, $10$ red points and $10$ green points in the plane such that the distances between points are pairwise distinct and that:

• for each blue point, the second nearest point is red;
• for each red point, the second nearest point is green;
• for each green point, the second nearest point is blue?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Decidere se 10 punti blu, 10 rossi e 10 verdi possono soddisfare le condizioni cicliche di secondo livello

È possibile posizionare i punti $10$ blu, $10$ rossi e $10$ verdi nel piano in modo tale che le distanze tra i punti siano parziali e che:

• per ogni punto blu, il secondo punto più vicino è rosso; - per ogni punto rosso, il secondo punto più vicino è verde; - per ogni punto verde, il secondo punto più vicino è blu?

src_canimath_2020_automne__Q17