Coupe Animath Printemps 2020

Compute the alternating sum 0-1+2-3+…-49+50

Give the value of $0-1+2-3+4-5+\dots -49+50$.

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 25 Fonte: apri PDF

Calcolare la somma alternata 0-1+2-3+…-49+50

Indicare il valore di $0-1+2-3+4-5+\dots -49+50$.

Solo una risposta numerica è prevista qui.

Risposta: 25 src_canimath_2020_printemps__Q01

Count 5-card hands containing four cards of the same value

We are given a deck containing $52$ cards. Each card carries a value among ”$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, jack, queen, king” as well as a colour (suit) among “heart, diamond, spade, club”, in such a way that, for each value and each colour, the deck contains a unique card carrying that value and having that colour. A hand of $5$ cards is a choice of $5$ cards from this deck, without caring about the order in which the cards are chosen. How many hands of $5$ cards are there that contain four cards having the same value?

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta le mani a 5 carte contenenti quattro carte dello stesso valore

Ci viene dato un mazzo contenente carte $52$. Ogni carta contiene un valore tra ”$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, jack, queen, king” e un colore (abito) tra “corazzo, diamante, spade, club”, in modo tale che, per ogni valore e per ogni colore, il mazzo contiene una carta unica con tale valore e con tale colore. Una mano * di carte $5$* è una scelta di carte $5$ da questo mazzo, senza preoccuparsi dell’ordine in cui le carte sono scelte. Quante mani di carte $5$ ci sono che contengono quattro carte con lo stesso valore?

Solo una risposta numerica è prevista qui.

src_canimath_2020_printemps__Q02

Isosceles triangle, bisector of angle B meets AC at D with BD=DA; find the angles

Let $ABC$ be a triangle isosceles at $A$. The bisector of the angle $\widehat{ABC}$ meets the side $[AC]$ at $D$. Suppose that $BD=DA$. Determine the angles of the triangle.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles, bisetto dell’angolo B incontra l’AC a D con BD=DA; trova gli angoli

$ABC$ sia un triangolo a uguale scala a $A$. Il bisettore dell’angolo $\widehat{ABC}$ incontra il lato $[AC]$ a $D$. Supponiamo che $BD=DA$. Determinare gli angoli del triangolo.

src_canimath_2020_printemps__Q03

Sequence x -> x^2-2x+1 starting at 2; find the 2020th term

A number appears on a computer screen. We know that if $x$ appears on the screen, then the number $x^2-2x+1$ appears just afterwards. If the first number to appear is $2$, what is the $2020$th number to appear?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza x -> x^2-2x+1 a partire da 2; trovare il termine 2020

Un numero appare su uno schermo del computer. Sappiamo che se $x$ appare sullo schermo, allora il numero $x^2-2x+1$ appare subito dopo. Se il primo numero che appare è $2$, quale è il numero $2020$ che appare?

src_canimath_2020_printemps__Q04

Acute triangle: D foot of altitude from A, E reflection of D across line AC; prove FBC isosceles at B

Let $ABC$ be a triangle all of whose angles are acute. Let $D$ be the foot of the altitude from the vertex $A$. Let $E$ be the reflection of the point $D$ with respect to the line $(AC)$. The perpendicular to the line $(AE)$ passing through $B$ meets the line $(AC)$ at a point denoted $F$. Show that the triangle $FBC$ is isosceles at $B$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto: D piede di altitudine da A, E riflessione di D attraverso la linea AC; dimostrare gli isosceli di FBC a B

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo i cui angoli sono tutti acuti. $D$ sia il piede dell’altitudine dal vertice $A$. Il punto $E$ deve essere il riflesso del punto $D$ rispetto alla riga $(AC)$. La perpendicolare alla linea $(AE)$ che attraversa $B$ incontra la linea $(AC)$ in un punto indicato $F$. Indicare che il triangolo $FBC$ è uguale a $B$.

src_canimath_2020_printemps__Q05

Smallest number of colours to colour 2..8 then 2..31 so multiples differ

1. Alice wishes to colour the integers between $2$ and $8$ (inclusive) using $k$ colours. She wishes that, if $m$ and $n$ are two integers between $2$ and $8$ such that $m$ is a multiple of $n$ and $m\ne n$, then $m$ and $n$ be of different colours. Determine the smallest integer $k$ for which Alice can colour the integers $2,3,\dots ,8$ using $k$ colours.
2. Alice wishes to colour the integers between $2$ and $31$ (inclusive) using $k$ colours. She wishes that, if $m$ and $n$ are two integers between $2$ and $31$ such that $m$ is a multiple of $n$ and $m\ne n$, then $m$ and $n$ be of different colours. Determine the smallest integer $k$ for which Alice can colour the integers $2,3,\dots ,31$ using $k$ colours.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il numero minimo di colori per colore 2,8 e poi 2,31 in modo che i multipli differiscano

1. Alice desidera colorare i numeri interi tra $2$ e $8$ (inclusivo) usando i colori $k$. Desidera che, se $m$ e $n$ sono due numeri interi tra $2$ e $8$ in modo tale che $m$ sia un multiple di $n$ e $m\ne n$, allora $m$ e $n$ siano di colori diversi. Determinare il numero intero $k$ più piccolo per il quale Alice può colorare i numeri interi $2,3,\dots ,8$ utilizzando i colori $k$. 2) Alice desidera colorare i numeri interi tra $2$ e $31$ (inclusi) utilizzando i colori $k$. Desidera che, se $m$ e $n$ sono due numeri interi tra $2$ e $31$ in modo tale che $m$ sia un multiple di $n$ e $m\ne n$, allora $m$ e $n$ siano di colori diversi. Determinare il numero intero $k$ più piccolo per il quale Alice può colorare i numeri interi $2,3,\dots ,31$ utilizzando i colori $k$.

src_canimath_2020_printemps__Q06

Card game mathinal: compare largest pair-sum M before and M’ after redistributing red cards

The game of mathinal is a game played by $n$ players (with $n\ge 2$), with $n$ green cards and $n$ red cards. Initially, each player takes one green card and one red card, and writes an integer on each of these two cards (one is allowed to write the same integer on the two cards). Then each player computes the sum of the numbers of his two cards, and we denote by $M$ the largest sum among the sums of the $n$ players.

Then, the players redistribute the red cards as follows: the player holding the green card of smallest number receives the red card of largest number; then the player holding the green card of second smallest number receives the red card of second largest number; and so on. Each player then computes again the sum of the numbers of his two cards, and we denote by $M^{\prime }$ the largest sum among the sums of the $n$ players.

1. Is it possible to have $M^{\prime }<M$?
2. Is it possible to have $M^{\prime }>M$?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Gioco di carte matinale: confronta la più grande coppia-somma M prima e M’ dopo la ridistribuzione delle carte rosse

Il gioco di mathinal è un gioco giocato da giocatori $n$ (con $n\ge 2$), con $n$ carte verdi e $n$ carte rosse. Inizialmente, ogni giocatore prende una carta verde e una carta rossa, e scrive un numero intero su ciascuna di queste due carte (uno è autorizzato a scrivere lo stesso numero intero sulle due carte). Poi ogni giocatore calcola la somma dei numeri delle sue due carte, e indichiamo con $M$ la somma più grande tra le somme dei $n$ giocatori.

Successivamente, i giocatori ridistribuiscono le carte rosse come segue: il giocatore che detiene la carta verde del numero più piccolo riceve la carta rossa del numero più grande; poi il giocatore che detiene la carta verde del secondo numero più piccolo riceve la carta rossa del secondo numero più grande; e così via. Ogni giocatore calcola di nuovo la somma dei numeri delle sue due carte, e indichiamo con $M^{\prime }$ la somma più grande tra le somme dei giocatori $n$. 1) È possibile avere $M^{\prime }<M$? 2) È possibile avere $M^{\prime }>M$?

src_canimath_2020_printemps__Q07

Find m,n,k where intermediate divisors of n are one more than those of m

Determine the integers $m\ge 2$, $n\ge 2$ and $k\ge 3$ having the following property: $m$ and $n$ each have $k$ positive divisors, and if $d_1<\dots <d_k$ are the positive divisors of $m$ (with $d_1=1$ and $d_k=m$) and $d_1^{\prime }<\dots <d_k^{\prime }$ are the positive divisors of $n$ (with $d_1^{\prime }=1$ and $d_k^{\prime }=n$), then $d_i^{\prime }=d_i+1$ for every integer $i$ such that $2\le i\le k-1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca m,n,k dove i divisori intermedi di n sono uno in più di quelli di m

Determinare i numeri interi $m\ge 2$, $n\ge 2$ e $k\ge 3$ che hanno la seguente proprietà: $m$ e $n$ hanno ognuno dei divisori positivi $k$, e se $d_1<\dots <d_k$ sono i divisori positivi di $m$ (con $d_1=1$ e $d_k=m$) e $d_1^{\prime }<\dots <d_k^{\prime }$ sono i divisori positivi di $n$ (con $d_1^{\prime }=1$ e $d_k^{\prime }=n$), allora $d_i^{\prime }=d_i+1$ per ogni numero intero $i$ tale che $2\le i\le k-1$.

src_canimath_2020_printemps__Q08

Count 5-card hands containing four cards of the same value (lycee)

We are given a deck containing $52$ cards. Each card carries a value among ”$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, jack, queen, king” as well as a colour (suit) among “heart, diamond, spade, club”, in such a way that, for each value and each colour, the deck contains a unique card carrying that value and having that colour. A hand of $5$ cards is a choice of $5$ cards from this deck, without caring about the order in which the cards are chosen. How many hands of $5$ cards are there that contain four cards having the same value?

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Conta le mani a 5 carte contenenti quattro carte dello stesso valore (lycee) *

Ci viene dato un mazzo contenente carte $52$. Ogni carta contiene un valore tra ”$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, jack, queen, king” e un colore (abito) tra “corazzo, diamante, spade, club”, in modo tale che, per ogni valore e per ogni colore, il mazzo contiene una carta unica con tale valore e con tale colore. Una mano * di carte $5$* è una scelta di carte $5$ da questo mazzo, senza preoccuparsi dell’ordine in cui le carte sono scelte. Quante mani di carte $5$ ci sono che contengono quattro carte con lo stesso valore?

Solo una risposta numerica è prevista qui.

src_canimath_2020_printemps__Q09

Isosceles triangle, bisector of angle B meets AC at D with BD=DA; find the angles (lycee)

Let $ABC$ be a triangle isosceles at $A$. The bisector of the angle $\widehat{ABC}$ meets the side $[AC]$ at $D$. Suppose that $BD=DA$. Determine the angles of the triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo isosceles, bisector di angolo B incontra AC a D con BD=DA; trovare gli angoli (lycee) *

$ABC$ sia un triangolo a uguale scala a $A$. Il bisettore dell’angolo $\widehat{ABC}$ incontra il lato $[AC]$ a $D$. Supponiamo che $BD=DA$. Determinare gli angoli del triangolo $ABC$.

src_canimath_2020_printemps__Q10

Smallest number of colours to colour 2..8 then 2..31 so multiples differ (lycee)

1. Alice wishes to colour the integers between $2$ and $8$ (inclusive) using $k$ colours. She wishes that, if $m$ and $n$ are two integers between $2$ and $8$ such that $m$ is a multiple of $n$ and $m\ne n$, then $m$ and $n$ be of different colours. Determine the smallest integer $k$ for which Alice can colour the integers $2,3,\dots ,8$ using $k$ colours.
2. Alice wishes to colour the integers between $2$ and $31$ (inclusive) using $k$ colours. She wishes that, if $m$ and $n$ are two integers between $2$ and $31$ such that $m$ is a multiple of $n$ and $m\ne n$, then $m$ and $n$ be of different colours. Determine the smallest integer $k$ for which Alice can colour the integers $2,3,\dots ,31$ using $k$ colours.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Il numero minimo di colori per il colore 2,8 e poi 2,31 in modo che i moltipli differiscano (licee) *

1. Alice desidera colorare i numeri interi tra $2$ e $8$ (inclusivo) usando i colori $k$. Desidera che, se $m$ e $n$ sono due numeri interi tra $2$ e $8$ in modo tale che $m$ sia un multiple di $n$ e $m\ne n$, allora $m$ e $n$ siano di colori diversi. Determinare il numero intero $k$ più piccolo per il quale Alice può colorare i numeri interi $2,3,\dots ,8$ utilizzando i colori $k$. 2) Alice desidera colorare i numeri interi tra $2$ e $31$ (inclusi) utilizzando i colori $k$. Desidera che, se $m$ e $n$ sono due numeri interi tra $2$ e $31$ in modo tale che $m$ sia un multiple di $n$ e $m\ne n$, allora $m$ e $n$ siano di colori diversi. Determinare il numero intero $k$ più piccolo per il quale Alice può colorare i numeri interi $2,3,\dots ,31$ utilizzando i colori $k$.

src_canimath_2020_printemps__Q11

With min x_i >= max y_i, prove P <= G <= 2P for P=max(x_i-y_i), G=max x_i - min y_i

Let $x_1,\dots ,x_n$ and $y_1,\dots ,y_n$ be two lists of reals such that ${\min }_{1\le i\le n}{x}_i\ge {\max }_{1\le i\le n}{y}_i$. Set $P={\max }_{1\le i\le n}(x_i-y_i)$ and $G={\max }_{1\le i\le n}{x}_i-{\min }_{1\le i\le n}{y}_i$. Show that $P\le G\le 2P$.

Given reals $a_1,a_2,\dots ,a_n$, the number ${\min }_{1\le i\le n}{a}_i$ denotes the smallest real among the numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$. The number ${\max }_{1\le i\le n}{a}_i$ denotes the largest real among the numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Con min x_i >= max y_i, provare P <= G <= 2P per P=max(x_i-y_i), G=max x_i - min y_i

$x_1,\dots ,x_n$ e $y_1,\dots ,y_n$ siano due elenchi di reali tali da ${\min }_{1\le i\le n}{x}_i\ge {\max }_{1\le i\le n}{y}_i$. Set $P={\max }_{1\le i\le n}(x_i-y_i)$ e $G={\max }_{1\le i\le n}{x}_i-{\min }_{1\le i\le n}{y}_i$. Mostra che $P\le G\le 2P$.

Dati i numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$, il numero ${\min }_{1\le i\le n}{a}_i$ indica il numero reale più piccolo tra i numeri $a_1,a_2,\dots ,a_n$. Il numero ${\max }_{1\le i\le n}{a}_i$ indica il più grande reale tra i numeri $a_1,a_2,\dots ,a_n$.

src_canimath_2020_printemps__Q12

Find all n>=0 with n = 2 s(n), where s(n) is the digit sum

For every integer $n\ge 0$, let $s(n)$ denote the sum of the digits of $n$. Determine all integers $n$ such that $n=2s(n)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le n>=0 con n = 2 s(n), dove s(n) è la somma digitali

Per ogni numero intero $n\ge 0$, $s(n)$ indica la somma delle cifre di $n$. Determinare tutti gli integri $n$ in modo tale che $n=2s(n)$.

src_canimath_2020_printemps__Q13

Find m,n,k where intermediate divisors of n are one more than those of m (lycee)

Determine the integers $m\ge 2$, $n\ge 2$ and $k\ge 3$ having the following property: $m$ and $n$ each have $k$ positive divisors, and if $d_1<\dots <d_k$ are the positive divisors of $m$ (with $d_1=1$ and $d_k=m$) and $d_1^{\prime }<\dots <d_k^{\prime }$ are the positive divisors of $n$ (with $d_1^{\prime }=1$ and $d_k^{\prime }=n$), then $d_i^{\prime }=d_i+1$ for every integer $i$ such that $2\le i\le k-1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Ricerca m,n,k dove i divisori intermedi di n sono uno in più di quelli di m (lycee) *

Determinare i numeri interi $m\ge 2$, $n\ge 2$ e $k\ge 3$ che hanno la seguente proprietà: $m$ e $n$ hanno ognuno dei divisori positivi $k$, e se $d_1<\dots <d_k$ sono i divisori positivi di $m$ (con $d_1=1$ e $d_k=m$) e $d_1^{\prime }<\dots <d_k^{\prime }$ sono i divisori positivi di $n$ (con $d_1^{\prime }=1$ e $d_k^{\prime }=n$), allora $d_i^{\prime }=d_i+1$ per ogni numero intero $i$ tale che $2\le i\le k-1$.

src_canimath_2020_printemps__Q14

Square ABCD with exterior equilateral triangle BCS; N,H,P midpoints; compute angles BPN and NHC

Let $ABCD$ be a square and let $S$ be a point on the exterior of the square $ABCD$ such that the triangle $BCS$ is equilateral. Let $N$ be the midpoint of the segment $[AS]$ and $H$ the midpoint of the segment $[CD]$. Let $P$ be the midpoint of the segment $[BS]$.

1. Compute the angle $\widehat{BPN}$.
2. Compute the angle $\widehat{NHC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrato con triangolo esterno equilaterale BCS; punti di mezzo N,H,P; angoli di calcolo BPN e NHC

Che $ABCD$ sia un quadrato e che $S$ sia un punto all’esterno del quadrato $ABCD$ in modo tale che il triangolo $BCS$ sia equilaterale. Il $N$ deve essere il punto medio del segmento $[AS]$ e il $H$ il punto medio del segmento $[CD]$. Il segmento $[BS]$ deve essere il punto medio del segmento $P$. 1) Calcolare l’angolo $\widehat{BPN}$. 2) Calcolare l’angolo $\widehat{NHC}$.

src_canimath_2020_printemps__Q15

Find all S so that positive integers each <=10 summing to S can always be split into two groups each <=70

The sum of some positive integers (not necessarily distinct), each less than or equal to $10$, equals $S$. Find all values of $S$ such that, whatever these integers are, they can always be partitioned into two groups, each of sum less than or equal to $70$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutti gli S in modo che i numeri interi positivi ogni <=10 sommando a S possa sempre essere diviso in due gruppi ciascuno <=70

La somma di alcuni integri positivi (non necessariamente distinti), ognuno inferiore o uguale a $10$, è uguale a $S$. Trova tutti i valori di $S$ in modo tale che, qualunque siano questi enti, essi possano sempre essere suddivisi in due gruppi, ognuno di somma inferiore o uguale a $70$.

src_canimath_2020_printemps__Q16

Smallest n to place black cells in an n x n grid, k per row and column, no two sharing a side or corner

Let $k>1$ be a positive integer. Determine the smallest integer $n$ for which one can colour certain cells of an $n\times n$ board black in such a way that no two black cells share a side or a corner, and each row and each column contains exactly $k$ black cells.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Meno n per posizionare le celle nere in una griglia n x n, k per riga e colonna, non due che condividono un lato o un angolo

$k>1$ sia un numero intero positivo. Determinare il numero intero $n$ più piccolo per il quale si possono colorare alcune celle di una tavola $n\times n$ in nero in modo tale che non esistano due celle nere che condividano un lato o un angolo, e che ogni riga e ogni colonna contengano esattamente $k$ celle nere.

src_canimath_2020_printemps__Q17