Coupe Animath Automne 2021

Compute sum of two arithmetic progressions

Compute the number $(1+11+21+31+41+51+61+71+81+91)+(9+19+29+39+49+59+69+79+89+99).$ Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1000 Fonte: apri PDF

Summa di calcolo di due progressioni aritmetiche

Calcolare il numero $(1+11+21+31+41+51+61+71+81+91)+(9+19+29+39+49+59+69+79+89+99).$ Qui si aspetta solo una risposta numerica.

Risposta: 1000 src_canimath_2021_automne__Q01

Isosceles triangle, midpoint symmetric image, find angle MDC in terms of x

Let $ABC$ be an isosceles triangle with vertex $A$. Let $M$ be the midpoint of segment $[BC]$. Let $D$ be the symmetric image of point $M$ with respect to line $(AC)$. We denote by $x$ the angle $\widehat{BAC}$. Determine, as a function of $x$, the value of the angle $\widehat{MDC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles, immagine simmetrica del punto medio, trovare angolo MDC in termini di x

$ABC$ sia un triangolo di pari dimensioni con vertice $A$. Il segmento $[BC]$ deve essere il punto medio di $M$. Il punto $D$ deve essere l’immagine simmetrica del punto $M$ rispetto alla riga $(AC)$. Indichiamo con $x$ l’angolo $\widehat{BAC}$. Determinare, come funzione di $x$, il valore dell’angolo $\widehat{MDC}$.

src_canimath_2021_automne__Q02

Village 5 buildings, each person has ≥2 family members in village; show someone shares building with a family member

A village is made up of 5 buildings. In the 5 buildings live 5, 15, 25, 35, and 45 people respectively. Each person counts at least two members of their family (excluding themselves) among the inhabitants of the village. Show that there exists a person who counts a member of their family among the inhabitants of their own building.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Village 5 edifici, ogni persona ha ≥2 membri della famiglia nel villaggio; mostrare qualcuno che condivide un edificio con un membro della famiglia

Un villaggio è composto da 5 edifici. Nei 5 edifici vivono rispettivamente 5, 15, 25, 35 e 45 persone. Ogni persona conta almeno due membri della propria famiglia (esclusi se stessi) tra gli abitanti del villaggio. Mostrate che esiste una persona che conta un membro della sua famiglia tra gli abitanti del proprio edificio.

src_canimath_2021_automne__Q03

8×8 chessboard, infernal rooks attack same-color in row and other-color in column; find maximum non-attacking placement

We consider an $8\times 8$ chessboard whose squares are alternately colored black and white. An infernal rook is a piece that can attack all squares of its own color situated on its row, as well as the squares of the other color situated on its column. What is the maximum number of infernal rooks one can place on the chessboard such that no two infernal rooks can attack each other?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

8×8 scacchi, corde infernali attaccano di colore uguale in riga e di colore diverso in colonna; trovare posizionamento massimo non attaccante

Consideriamo una scacchiera $8\times 8$ i cui quadrati sono di colore alternato bianco e nero. Una torre infernale ** è un pezzo che può attaccare tutti i quadrati del suo colore situati sulla sua riga, così come i quadrati dell’altro colore situati sulla sua colonna. Qual è il numero massimo di corde infernali che si possono mettere sulla scacchiera in modo che due corde infernali non possano attaccarsi l’una l’altra?

src_canimath_2021_automne__Q04

n has divisors a<b with n=a³+b; show n has a divisor d with a<d<b

A positive integer $n>8$ has two distinct positive divisors $a$ and $b$ such that $a<b$ and $n=a^3+b$. Show that $n$ has at least one divisor $d$ such that $a<d<b$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

n ha divisori a<b con n=a3+b; mostra n ha un divisore d con a<d<b

Un intero positivo $n>8$ ha due divisioni positive distinte $a$ e $b$, come $a<b$ e $n=a^3+b$. Indicare che $n$ ha almeno un divisore $d$ tale da $a<d<b$.

src_canimath_2021_automne__Q05

Acute triangle, constructed circle intersections, show Z on perpendicular bisector of BC

Let $ABC$ be a triangle with all angles acute and such that $AB>BC$ and $AC>BC$. Let $X$ be the point on the half-line $[BC)$ such that $BX=BA$. Let $Y$ be the point on the half-line $[BA)$ such that $BY=BC$. Let $P$ be the point distinct from $A$ on the half-line $[AX)$ such that $CP=CA$. Let $Q$ be the point distinct from $A$ on the half-line $[AY)$ such that $BQ=BA$. Suppose that the lines $(BQ)$ and $(CP)$ meet at a point $Z$. Show that $Z$ lies on the perpendicular bisector of $[BC]$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, intersezioni a cerchio costruite, mostrare Z sul bisettore perpendicolare di BC

Che $ABC$ sia un triangolo con tutti gli angoli acuti e tale che $AB>BC$ e $AC>BC$. Il punto $X$ deve essere il punto della metà della linea $[BC)$ in modo tale che $BX=BA$. Il punto $Y$ deve essere il punto della semilinea $[BA)$ in modo tale che $BY=BC$. Il punto $P$ deve essere il punto distinto da $A$ sulla semilinea $[AX)$ in modo tale che $CP=CA$. Il punto $Q$ deve essere il punto distinto da $A$ sulla semilinea $[AY)$ in modo tale che $BQ=BA$. Supponiamo che le linee $(BQ)$ e $(CP)$ si incontrino in un punto $Z$. Indicare che $Z$ si trova sul bisettore perpendicolare di $[BC]$.

src_canimath_2021_automne__Q06

Maena writes 2021 integers per line iterating a counting rule; show she eventually repeats a line

On the blackboard, Maena has written 2021 integers on a single line. Then, each minute, starting from the last line $\ell$ she wrote, she writes a new line ${\ell }^{\prime }$ of 2021 integers according to the following rule: just below each integer of line $\ell$, she writes the number of times that integer appears in line $\ell$. Show that Maena will necessarily end up writing the same line two minutes in a row.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Maena scrive 2021 numeri interi per riga iterando una regola di conteggio; mostra che alla fine ripete una riga

Sul tavolo nero, Maena ha scritto i numeri interi 2021 su una singola riga. Quindi, ogni minuto, a partire dall’ultima riga $\ell$ che ha scritto, scrive una nuova riga ${\ell }^{\prime }$ di interi 2021 secondo la seguente regola: appena sotto ogni intero della riga $\ell$, scrive il numero di volte che l’intero appare nella riga $\ell$. Mostrate che Maena finirà per scrivere la stessa riga per due minuti di fila.

src_canimath_2021_automne__Q07

Compute 1000^7 divided by 252²−248²

Compute the number $\frac{1000^7}{252^2-248^2}.$ Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $\frac{1000^6}{2}$ Fonte: apri PDF

Calcola 1000^7 diviso per 2522−2482

Calcolare il numero $\frac{1000^7}{252^2-248^2}.$ Qui si aspetta solo una risposta numerica.

Risposta: $\frac{1000^6}{2}$ src_canimath_2021_automne__Q08

Isosceles triangle, midpoint symmetric image, find angle MDC (lycée version)

Let $ABC$ be an isosceles triangle with vertex $A$. Let $M$ be the midpoint of segment $[BC]$. Let $D$ be the symmetric image of point $M$ with respect to line $(AC)$. We denote by $x$ the angle $\widehat{BAC}$. Determine, as a function of $x$, the value of the angle $\widehat{MDC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo isosceles, immagine simmetrica del punto medio, angolo di ricerca MDC (versione liceale) *

$ABC$ sia un triangolo di pari dimensioni con vertice $A$. Il segmento $[BC]$ deve essere il punto medio di $M$. Il punto $D$ deve essere l’immagine simmetrica del punto $M$ rispetto alla riga $(AC)$. Indichiamo con $x$ l’angolo $\widehat{BAC}$. Determinare, come funzione di $x$, il valore dell’angolo $\widehat{MDC}$.

src_canimath_2021_automne__Q09

Village 5 buildings with 5,15,25,35,45 residents; show someone shares building with family member (lycée)

A village is made up of 5 buildings. In the 5 buildings live 5, 15, 25, 35, and 45 people respectively. Each person counts at least two members of their family (excluding themselves) among the inhabitants of the village. Show that there exists a person who counts a member of their family among the inhabitants of their own building.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Village 5 edilizia con 5,15,25,35,45 abitanti; mostra qualcuno che condivide l’edificio con un membro della famiglia (liceu) *

Un villaggio è composto da 5 edifici. Nei 5 edifici vivono rispettivamente 5, 15, 25, 35 e 45 persone. Ogni persona conta almeno due membri della propria famiglia (esclusi se stessi) tra gli abitanti del villaggio. Mostrate che esiste una persona che conta un membro della sua famiglia tra gli abitanti del proprio edificio.

src_canimath_2021_automne__Q10

n has divisors a<b with n=a³+b; show divisor d with a<d<b exists (lycée version)

A positive integer $n>8$ has two distinct positive divisors $a$ and $b$ such that $a<b$ and $n=a^3+b$. Show that $n$ has at least one divisor $d$ such that $a<d<b$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

n ha divisori a<b con n=a3+b; mostra divisore d con a<d<b esiste (versione lycée)

Un intero positivo $n>8$ ha due divisioni positive distinte $a$ e $b$, come $a<b$ e $n=a^3+b$. Indicare che $n$ ha almeno un divisore $d$ tale da $a<d<b$.

src_canimath_2021_automne__Q11

Acute isosceles triangle, constructed points S,T,D,E; show CE bisects angle DCB

Let $ABC$ be a triangle with all angles acute and such that $AB=BC$. Let $S$ be the point on the half-line $[BC)$ such that $AS=BS$. Let $T$ be the point on the half-line $[BA)$ such that $BT=BC$. Let $D$ be the intersection of lines $(AS)$ and $(CT)$. Let $E$ be the point on segment $[BA]$ such that $BE=CD$. Show that line $(CE)$ is the angle bisector of $\widehat{DCB}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con uguale occhiaio, punti costruiti S,T,D,E; mostrare l’angolo di bisezione CE DCB

Che $ABC$ sia un triangolo con tutti gli angoli acuti e tale che $AB=BC$. Il punto $S$ deve essere il punto della metà della linea $[BC)$ in modo tale che $AS=BS$. $T$ deve essere il punto della metà della linea $[BA)$ in modo tale che $BT=BC$. Il $D$ deve essere l’intersezione delle linee $(AS)$ e $(CT)$. Il punto $E$ deve essere il punto del segmento $[BA]$ in modo tale che $BE=CD$. Indicare che la linea $(CE)$ è il bisettore angolare di $\widehat{DCB}$.

src_canimath_2021_automne__Q12

100-digit number N; product of 100×99 pairwise digit sums equals N?

Anna writes a number $N$ of 100 digits on the board, where the first digit is not zero. These 100 digits form $100\times 99$ ordered pairs, and Anna computes the sum of the two digits in each pair. Finally, she computes the product of all $100\times 99$ sums thus obtained. Is it possible that this product equals the number $N$ she started with?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

numero di 100 cifre N; prodotto di 100×99 somme di cifre in coppia pari a N?

Anna scrive un numero $N$ di 100 cifre sulla tavola, dove la prima cifra non è zero. Queste 100 cifre formano $100\times 99$ coppie ordinate, e Anna calcola la somma delle due cifre in ciascuna coppia. Infine, calcola il prodotto di tutte le somme $100\times 99$ così ottenute. È possibile che questo prodotto sia uguale al numero $N$ con cui ha iniziato?

src_canimath_2021_automne__Q13

Non-empty balanced subsets of {1,…,n} are odd in number

Let $n$ be a strictly positive integer. Let $T$ be a non-empty subset of $\{1,\dots ,n\}$. A number $m$ (not necessarily an integer) is called a median of $T$ if there are at least as many elements of $T$ that are less than or equal to $m$ as there are elements of $T$ greater than or equal to $m$. The set $T$ is called balanced if the average of the elements of $T$ is equal to a median of $T$. Show that the number of non-empty balanced subsets of $\{1,\dots ,n\}$ is odd.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Doppio conteggio, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I sottoinsiemi bilanciati non vuoti di {1,…,n} sono pari in numero

$n$ sia un numero intero rigorosamente positivo. $T$ sia un sottogruppo non vuoto di $\{1,\dots ,n\}$. Un numero $m$ (non necessariamente un numero intero) è chiamato mediano di $T$ se ci sono almeno quegli elementi di $T$ inferiori o uguali a $m$ come ci sono elementi di $T$ superiori o uguali a $m$. L’insieme $T$ è chiamato *equilibrato * se la media degli elementi di $T$ è uguale a una media di $T$. Indicare che il numero dei sottogruppi bilanciati non vuoti di $\{1,\dots ,n\}$ è pari.

src_canimath_2021_automne__Q14

Test with 3 problems scored 0–7; 61 or 40 students; find A dominating B on all problems

Tristan organizes a test. The test consists of three problems, and each of the three problems is scored from $0$ to $7$; the total score is always a whole number.

a) Suppose that 61 students take the test. Show that Tristan can find a student $A$ and a student $B$ such that $A$ has received a score greater than or equal to that of $B$ on each of the three problems.

b) Suppose instead that only 40 students take the test. Show that Tristan can still find a student $A$ and a student $B$ such that $A$ has received a score greater than or equal to that of $B$ on each of the three problems.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Test con 3 problemi ottenuto 07; 61 o 40 studenti; trovare A dominante B su tutti i problemi

Tristan organizza un test. Il test è composto da tre problemi, e ciascuno dei tre problemi viene valutato da $0$ a $7$; il punteggio totale è sempre un numero intero.

a) Supponiamo che 61 studenti facciano l’esame. Mostrare che Tristan può trovare uno studente $A$ e uno studente $B$ in modo tale che $A$ abbia ricevuto un punteggio superiore o uguale a quello di $B$ su ciascuno dei tre problemi.

b) Supponiamo invece che solo 40 studenti facciano l’esame. Mostrare che Tristan può ancora trovare uno studente $A$ e uno studente $B$ in modo tale che $A$ abbia ricevuto un punteggio superiore o uguale a quello di $B$ su ciascuno dei tre problemi.

src_canimath_2021_automne__Q15