Coupe Animath Printemps 2021

Compute a factorial-based fraction

Compute $\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1-5\times 4\times 3\times 2\times 1}{4\times 3\times 2\times 1}.$

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Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 25 Fonte: apri PDF

Calcolare una frazione basata su fattori

Calcolo $\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1-5\times 4\times 3\times 2\times 1}{4\times 3\times 2\times 1}.$

Solo una risposta numerica è prevista qui.

Risposta: 25 src_canimath_2021_printemps__Q01

Card deck ratio: black twice red, then add 4 black to make triple (college)

In a deck of cards composed only of red cards and black cards, there are $2$ times more black cards than red cards. If one adds $4$ black cards, there are then $3$ times more black cards than red cards. How many cards did the deck contain before the $4$ black cards were added?

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 12 Fonte: apri PDF

*Relazione del mazzo di carte: nero due volte rosso, poi aggiungere 4 neri per fare triplice (college) *

In un mazzo di carte composto solo da carte rosse e carte nere, ci sono $2$ volte più carte nere di quelle rosse. Se si aggiungono carte nere $4$, ci sono poi $3$ volte più carte nere di carte rosse. Quante carte contenevano il mazzo prima che le carte nere $4$ fossero aggiunte?

Solo una risposta numerica è prevista qui.

Risposta: 12 src_canimath_2021_printemps__Q02

Find angle DSC in a square with interior equilateral triangle ABS

Let $ABCD$ be a square and $S$ a point inside the square such that triangle $ABS$ is equilateral. Determine the angle $\widehat{DSC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $150^{\circ }$ Fonte: apri PDF

Trova angolo DSC in un quadrato con triangolo equilaterale interno ABS

Che $ABCD$ sia un quadrato e $S$ un punto all’interno del quadrato in modo tale che il triangolo $ABS$ sia equilaterale. Determinare l’angolo $\widehat{DSC}$.

Risposta: 150^\circ src_canimath_2021_printemps__Q03

Proper divisors of a multiple of 2020: sum of odd divisors below sum of even divisors

Aline chooses an integer $n$ divisible by $2020$ at the board. She then writes on the board all the integers $d$ that divide $n$ and such that $1\le d<n$. Prove that the sum of the odd numbers written on the board is less than the sum of the even integers written on the board.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Biiezione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

divisioni propri di un multiple di 2020: somma di divisori unici inferiori alla somma di divisori pari

Aline sceglie un numero intero $n$ divisibile da $2020$ alla tabella. Scrive poi sulla lavagna tutti i numeri interi $d$ che dividono $n$ e tali che $1\le d<n$. Prove che la somma dei numeri odd scritti sulla lavagna è inferiore alla somma dei numeri interi pari scritti sulla lavagna.

src_canimath_2021_printemps__Q04

Pair 0..13 into 7 pairs so the product of the pair-sums is a perfect square

Rémi distributes the integers $0,1,\dots ,13$ into seven pairwise disjoint pairs of integers. For each pair, he writes on the board the sum of its two elements. Prove that Rémi can proceed in such a way that the product of the seven numbers written on the board is a perfect square.

A perfect square is an integer that can be written in the form $n^2$, where $n$ is an integer.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Coppia 0..13 in 7 coppie in modo che il prodotto delle coppie-somme sia un quadrato perfetto

Rémi distribuisce i numeri interi $0,1,\dots ,13$ in sette coppie di numeri interi disgiunti in coppia. Per ogni coppia, scrive sulla lavagna la somma dei suoi due elementi. Prove che Rémi può procedere in modo tale che il prodotto dei sette numeri scritti sulla lavagna sia un quadrato perfetto.

Un quadrato perfetto è un intero che può essere scritto nella forma $n^2$, dove $n$ è un intero.

src_canimath_2021_printemps__Q05

Perimeter of triangle AMC at least perimeter of quadrilateral ABME

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral in which the sides $(AD)$ and $(BC)$ are parallel, $AB=CD$ and $AD<BC$. Let $M$ be the midpoint of the segment $[BC]$ and let $E$ be the point of intersection of the lines $(MD)$ and $(AC)$. Prove that the perimeter of triangle $AMC$ is greater than or equal to the perimeter of quadrilateral $ABME$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Perimetro del triangolo AMC almeno perimetro di ABME quadrilaterale

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convesso in cui i lati $(AD)$ e $(BC)$ sono paralleli, $AB=CD$ e $AD<BC$. $M$ sia il punto medio del segmento $[BC]$ e $E$ sia il punto di intersezione delle linee $(MD)$ e $(AC)$. Prova che il perimetro del triangolo $AMC$ è maggiore o uguale al perimetro del quadrilaterale $ABME$.

src_canimath_2021_printemps__Q06

Max length of a 0/1 sequence balanced in every 200 but unbalanced in every 202

Anna writes a sequence of $0$s and $1$s on the board. Anna notices that in every block of $200$ consecutive digits written on the board, there are as many digits $0$ as digits $1$. She also notices that in every block of $202$ consecutive digits written on the board, the number of $0$s and the number of $1$s are not equal. What is the maximum number of digits that Anna could have written on the board?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Lunghezza massima di una sequenza 0/1 bilanciata ogni 200 ma sbilanciata ogni 202

Anna scrive una sequenza di $0$s e $1$s sulla lavagna. Anna osserva che in ogni blocco di cifre consecutive $200$ scritte sulla lavagna, ci sono uguali cifre $0$ che cifre $1$. Essa osserva inoltre che in ogni blocco di $202$ cifre consecutive scritte sulla lavagna, il numero di $0$ e il numero di $1$ non sono uguali. Qual è il numero massimo di cifre che Anna avrebbe potuto scrivere sulla lavagna?

src_canimath_2021_printemps__Q07

n ants on the edges of a unit cube: two at geodesic distance at most 1, for n=13 and n=9

$n$ ants are placed on the edges of a cube whose edges have length $1$. For every positive real $d$, two ants are said to be at distance $d$ if the first ant must travel a distance of at least $d$ to reach the second ant, moving only along the edges of the cube.

1. Suppose that $n=13$. Prove that there exist, among the $13$ ants, two ants at distance less than or equal to $1$.
2. Suppose that $n=9$. Prove that there exist, among the $9$ ants, two ants at distance less than or equal to $1$.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Principio dei cassetti, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

n formiche sui bordi di un cubo unitario: due a distanza geodetica massima 1, per n=13 e n=9

Le formiche $n$ sono collocate sui bordi di un cubo i cui bordi hanno lunghezza $1$. Per ogni reale positivo $d$, si dice che due formiche siano a distanza $d$ se la prima formica deve percorrere una distanza di almeno $d$ per raggiungere la seconda formica, muovendosi solo lungo i bordi del cubo.

1. Supponiamo che $n=13$. Prove che tra le formiche $13$ esistono due formiche a distanza inferiore o uguale a $1$. 2. Supponiamo che $n=9$. Prove che tra le formiche $9$ esistono due formiche a distanza inferiore o pari a $1$.

src_canimath_2021_printemps__Q08

Card deck ratio: black twice red, then add 4 black to make triple (lycee)

In a deck of cards composed only of red cards and black cards, there are $2$ times more black cards than red cards. If one adds $4$ black cards, there are then $3$ times more black cards than red cards. How many cards did the deck contain before the $4$ black cards were added?

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 12 Fonte: apri PDF

*Relazione del mazzo di carte: nero due volte rosso, poi aggiungere 4 neri per fare il triplo (lycee) *

In un mazzo di carte composto solo da carte rosse e carte nere, ci sono $2$ volte più carte nere di quelle rosse. Se si aggiungono carte nere $4$, ci sono poi $3$ volte più carte nere di carte rosse. Quante carte contenevano il mazzo prima che le carte nere $4$ fossero aggiunte?

Solo una risposta numerica è prevista qui.

Risposta: 12 src_canimath_2021_printemps__Q09

Find angle DSC in a square with interior equilateral triangle ABS (lycee)

Let $ABCD$ be a square and $S$ a point inside the square such that triangle $ABS$ is equilateral. Determine the angle $\widehat{DSC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $150^{\circ }$ Fonte: apri PDF

*Trova angolo DSC in un quadrato con triangolo equilaterale interno ABS (lycee) *

Che $ABCD$ sia un quadrato e $S$ un punto all’interno del quadrato in modo tale che il triangolo $ABS$ sia equilaterale. Determinare l’angolo $\widehat{DSC}$.

Risposta: 150^\circ src_canimath_2021_printemps__Q10

Proper divisors of a multiple of 2020: sum of odd divisors below sum of even divisors (lycee)

Aline chooses an integer $n$ divisible by $2020$ at the board. She then writes on the board all the integers $d$ that divide $n$ and such that $1\le d<n$. Prove that the sum of the odd numbers written on the board is less than the sum of the even integers written on the board.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Biiezione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*divisioni propri di un multiple di 2020: somma di divisori unici inferiori alla somma di divisori pari (lycee) *

Aline sceglie un numero intero $n$ divisibile da $2020$ alla tabella. Scrive poi sulla lavagna tutti i numeri interi $d$ che dividono $n$ e tali che $1\le d<n$. Prove che la somma dei numeri odd scritti sulla lavagna è inferiore alla somma dei numeri interi pari scritti sulla lavagna.

src_canimath_2021_printemps__Q11

Count 3-colorings (blue/green/red) of 1..2021 with no two consecutive same color

In how many ways can one color the integers from $1$ to $2021$ so that each integer is colored either blue, green, or red, and so that two consecutive integers are never of the same color?

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $3\times 2^{2020}$ Fonte: apri PDF

Contare i 3 colori (blu/verde/rosso) del 1° gennaio 2021 senza due colori consecutivi dello stesso colore

In quanti modi si possono colorare gli integri da $1$ a $2021$ in modo che ogni numero intero sia colorato blu, verde o rosso, e in modo che due numeri interi consecutivi non siano mai dello stesso colore?

Risposta: 3\times 2^{2020} src_canimath_2021_printemps__Q12

6000 students’ grades; after a replacement the mean rises by 1/10; bound a count difference

Six thousand students took an exam and all obtained a grade that is an integer between $0$ and $8$ ($0$ and $8$ included). Vincent decides to replace all the grades equal to $1$, $2$ and $3$ by $0$ and all the grades equal to $5$, $6$ or $7$ by $8$. The other grades are unchanged. After this change, the mean of the scores increased by $\frac{1}{10}$.

Prove that there exist two integers $a$ and $b$ such that the difference between the number of students having obtained the grade $a$ and the number of students having obtained the grade $b$, before the modifications carried out by Vincent, is at least $100$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*6000 voti di studenti; dopo una sostituzione la media aumenta di 1/10; limita una differenza di conteggio *

Sei mila studenti hanno fatto un esame e tutti hanno ottenuto un punteggio compreso tra $0$ e $8$ ($0$ e $8$). Vincent decide di sostituire tutti i gradi uguali a $1$, $2$ e $3$ con $0$ e tutti i gradi uguali a $5$, $6$ o $7$ con $8$. Gli altri voti sono invariati. Dopo questa modifica, la media dei punteggi è aumentata di $\frac{1}{10}$.

Dimostrare che esistono due integri $a$ e $b$ in modo tale che la differenza tra il numero di studenti che hanno ottenuto il grado $a$ e il numero di studenti che hanno ottenuto il grado $b$, prima delle modifiche effettuate da Vincent, sia almeno $100$.

src_canimath_2021_printemps__Q13

Two parts: cevian-intersection inequality in a triangle; sum of distances in an isosceles trapezoid

1. Let $XYZ$ be a triangle. Let $L$ be a point on the segment $[XY]$ and $N$ a point on the segment $[XZ]$. Let $M$ be the point of intersection of the segments $[ZL]$ and $[YN]$. Prove that $MY+MZ\le XY+XZ.$

2. Let $ABCD$ be a convex quadrilateral in which the sides $(AD)$ and $(BC)$ are parallel, $AB=CD$, $AD<AB$ and $BC<AB$. Let $P$ be a point situated inside the quadrilateral $ABCD$. Prove that $PA+PB+PC+PD<4AB<2(PA+PB+PC+PD).$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due parti: disuguaglianza di intersezione ceviale in un triangolo; somma delle distanze in un trapezoide a isosceles

1. Lasciate che $XYZ$ sia un triangolo. Il punto $L$ deve essere un punto sul segmento $[XY]$ e il punto $N$ un punto sul segmento $[XZ]$. Il punto di intersezione dei segmenti $[ZL]$ e $[YN]$ è $M$. Provare che $MY+MZ\le XY+XZ.$

2. Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convexo in cui i lati $(AD)$ e $(BC)$ sono paralleli, $AB=CD$, $AD<AB$ e $BC<AB$. Il punto $P$ deve essere situato all’interno del quadrilaterale $ABCD$. Provare che $PA+PB+PC+PD<4AB<2(PA+PB+PC+PD).$

src_canimath_2021_printemps__Q14

Smallest n with reals in (-1,1) summing to 0 and squares summing to 2020

Determine the smallest integer $n$ such that there exist $n$ reals $x_1,\dots ,x_n$ all belonging to the interval $\left]-1,1\right[$ and for which $x_1+\dots +x_n=0$ and $x_1^2+\dots +x_n^2=2020$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

N minore con i reali in (-1,1) sommati a 0 e i quadrati sommati a 2020

Determinare il numero intero più piccolo $n$ in modo tale che esistano i valori $n$ $x_1,\dots ,x_n$ tutti appartenenti all’intervallo $\left]-1,1\right[$ e per i quali $x_1+\dots +x_n=0$ e $x_1^2+\dots +x_n^2=2020$.

src_canimath_2021_printemps__Q15

Partition {1,…,2021^2} into pairwise disjoint balanced sets

A non-empty set of integers is said to be balanced if its number of elements is equal to the mean of its elements. For example, the set $\{1,2,6\}$ is balanced, because it has $3$ elements whose mean equals $3$, but the set $\{1,2,\dots ,n\}$ is not balanced when $n\ge 2$, because it has $n$ elements whose mean equals $(n+1)/2$.

Is it possible to partition the set $\{1,2,\dots ,2021^2\}$ into several balanced sets that are pairwise disjoint?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Doppio conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Partitazione {1,…,2021^2} in gruppi equilibrati disgiunti in coppia

Si dice che un insieme di integri non vuoti sia equilibrato se il suo numero di elementi è uguale alla media dei suoi elementi. Ad esempio, l’insieme $\{1,2,6\}$ è equilibrato, perché ha $3$ elementi la cui media è uguale a $3$, ma l’insieme $\{1,2,\dots ,n\}$ non è equilibrato quando $n\ge 2$, perché ha $n$ elementi la cui media è uguale a $(n+1)/2$.

È possibile dividere l’insieme $\{1,2,\dots ,2021^2\}$ in diversi insiemi bilanciati che sono disgiunti in coppia?

src_canimath_2021_printemps__Q16

8 ants on the edges of a unit cube: two at geodesic distance at most 1 (lycee)

$8$ ants are placed on the edges of a cube whose edges have length $1$. For every positive real $d$, two ants are said to be at distance $d$ if the first ant must travel a distance of at least $d$ to reach the second ant, moving only along the edges of the cube. Prove that there exist two ants at distance less than or equal to $1$.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*8 formiche sui bordi di un cubo unitario: due a distanza geodetica massima 1 (licee) *

Le formiche $8$ sono collocate sui bordi di un cubo i cui bordi hanno lunghezza $1$. Per ogni reale positivo $d$, due formiche si dice siano a distanza $d$ se la prima formica deve percorrere una distanza di almeno $d$ per raggiungere la seconda formica, muovendosi solo lungo i bordi del cubo. Prove che esistono due formiche a distanza inferiore o pari a $1$.

src_canimath_2021_printemps__Q17