Coupe Animath Automne 2022

Compute an arithmetic fraction with triple products

Compute: $\frac{1\times 2\times 4+2\times 4\times 8+3\times 6\times 12+4\times 8\times 16}{1\times 3\times 9+2\times 6\times 18+3\times 9\times 27+4\times 12\times 36}$ Only a numerical answer is expected. The answer must be given as an irreducible fraction, i.e. as $\frac{a}{b}$ where $a$ and $b$ are positive integers with no common divisor.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2/9 Fonte: apri PDF

Calcolare una frazione aritmetica con prodotti triplici

Calcolo: $\frac{1\times 2\times 4+2\times 4\times 8+3\times 6\times 12+4\times 8\times 16}{1\times 3\times 9+2\times 6\times 18+3\times 9\times 27+4\times 12\times 36}$ Si prevede una sola risposta numerica. La risposta deve essere data in una frazione irriducibile, cioè: come $\frac{a}{b}$ in cui $a$ e $b$ sono integri positivi senza divisore comune.

Risposta: 2/9 src_canimath_2022_automne__Q01

Isosceles triangle; angle PCQ in terms of x

Let $ABC$ be an isosceles triangle at $A$ such that $AB<BC$. Let $P$ be the point of the line $(BC)$ situated outside the segment $[BC]$ such that $BP=BA$. Let $Q$ be the point of the line $(AP)$ different from $A$ such that $CQ=CA$. If $\widehat{QPC}=x$, determine the measure of the angle $\widehat{PCQ}$ as a function of $x$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles; angolo PCQ in termini di x

$ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni a $A$ tale che $AB<BC$. Il punto $P$ deve essere il punto della linea $(BC)$ situato al di fuori del segmento $[BC]$ in modo tale che $BP=BA$. Il punto della riga $(AP)$ deve essere $Q$ diverso da $A$ in modo tale che $CQ=CA$. Se $\widehat{QPC}=x$, determinare la misura dell’angolo $\widehat{PCQ}$ come funzione di $x$.

src_canimath_2022_automne__Q02

Five integers on board; any triple product divisible by 10

Aline has written five distinct integers on a board with the following property: whatever the choice of three distinct integers among those written, the product of the three numbers chosen is divisible by 10. Show that one of the five integers written on the board is divisible by 10.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Cinque numeri interi a bordo; qualsiasi prodotto triplo divisibile per 10

Aline ha scritto cinque numeri interi distinti su una lavagna con la seguente proprietà: qualunque sia la scelta di tre numeri interi distinti tra quelli scritti, il prodotto dei tre numeri scelti è divisibile per 10. Mostrare che uno dei cinque numeri interi scritti sulla tavola è divisibile per 10.

src_canimath_2022_automne__Q03

Rectangle ABCD; midpoints M, N; show angle MAN equals angle BPN

Let $ABCD$ be a rectangle. Let $M$ be the midpoint of the segment $[BC]$ and $N$ the midpoint of the segment $[CD]$. Let $P$ be the intersection point of the lines $(BN)$ and $(DM)$. Show that $\widehat{MAN}=\widehat{BPN}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rettangolo ABCD; punti medi M, N; angolo di mostra MAN è uguale all’angolo BPN

Lasciate che $ABCD$ sia un rettangolo. Il segmento $M$ è il punto medio del segmento $[BC]$ e il segmento $N$ è il punto medio del segmento $[CD]$. Il punto di intersezione delle linee $(BN)$ e $(DM)$ è $P$. Mostra che $\widehat{MAN}=\widehat{BPN}$.

src_canimath_2022_automne__Q04

Odd positive integer n; divisors of 2n; find odd divisor in (k, 2k]

Let $n$ be an odd positive integer and $k$ a strictly positive integer. Suppose that the number of positive divisors of $2n$ that are less than or equal to $k$ is odd. Show that there exists a divisor $d$ of $2n$ such that $k<d\le 2k$ and $d$ is odd.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Biiezione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Odd intero positivo n; divisori di 2n; trovare divisore pari in (k, 2k]

Che $n$ sia un intero positivo parziale e $k$ un intero rigorosamente positivo. Supponiamo che il numero di divisori positivi di $2n$ che sono inferiori o uguali a $k$ sia impar. Mostrare che esiste un divisore $d$ di $2n$ tale che $k<d\le 2k$ e $d$ siano pari.

src_canimath_2022_automne__Q05

n lines, each intersecting exactly 10 others; find possible n

Let $n$ be a non-zero positive integer. Suppose there exists a set of $n$ distinct lines in the plane such that each of them intersects exactly ten others. What are the possible values of $n$?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Doppio conteggio, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

n linee, ciascuna incrociata esattamente altre 10; trovare possibili n

$n$ sia un intero positivo non zero. Supponiamo che ci sia un insieme di $n$ linee distinte nel piano in modo tale che ciascuna di esse incrociate esattamente altre dieci. Quali sono i valori possibili di $n$?

src_canimath_2022_automne__Q06

Cyclic sum of n positive reals strictly between 1 and n-1

Let $n\ge 3$ be a strictly positive integer. Show that for all strictly positive reals $x_1,x_2,\dots ,x_n$, one has the inequality: $1<\frac{x_1}{x_1+x_2}+\frac{x_2}{x_2+x_3}+\cdots +\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_n}+\frac{x_n}{x_n+x_1}<n-1$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa ciclica di n valori reali positivi strettamente compresi tra 1 e n-1

$n\ge 3$ sia un numero intero rigorosamente positivo. Mostrare che per tutti i valori rigorosamente positivi $x_1,x_2,\dots ,x_n$, si ha la disuguaglianza: $1<\frac{x_1}{x_1+x_2}+\frac{x_2}{x_2+x_3}+\cdots +\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_n}+\frac{x_n}{x_n+x_1}<n-1$

src_canimath_2022_automne__Q07

Compute a nested radical expression

Compute: $\sqrt{7+\sqrt{1+\sqrt{7+\sqrt{1+\sqrt{7+\sqrt{1+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}}}}$ Only a numerical answer is expected.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Calcolare un’espressione radicale annidata

Calcolo: $\sqrt{7+\sqrt{1+\sqrt{7+\sqrt{1+\sqrt{7+\sqrt{1+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}}}}$ Si prevede una sola risposta numerica.

Risposta: 3 src_canimath_2022_automne__Q08

Isosceles triangle; angle PCQ in terms of x (lycée)

Let $ABC$ be an isosceles triangle at $A$ such that $AB<BC$. Let $P$ be the point of the line $(BC)$ situated outside the segment $[BC]$ such that $BP=BA$. Let $Q$ be the point of the line $(AP)$ different from $A$ such that $CQ=CA$. If $\widehat{QPC}=x$, determine the measure of the angle $\widehat{PCQ}$ as a function of $x$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo isosceles; angolo PCQ in termini di x (liceo) *

$ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni a $A$ tale che $AB<BC$. Il punto $P$ deve essere il punto della linea $(BC)$ situato al di fuori del segmento $[BC]$ in modo tale che $BP=BA$. Il punto della riga $(AP)$ deve essere $Q$ diverso da $A$ in modo tale che $CQ=CA$. Se $\widehat{QPC}=x$, determinare la misura dell’angolo $\widehat{PCQ}$ come funzione di $x$.

src_canimath_2022_automne__Q09

Ten integers on board; any triple product divisible by 10

At a board, Aline has written ten distinct integers verifying the following property: whatever the choice of three distinct integers among those written, the product of the three numbers chosen is divisible by 10. Show that one of the ten integers written on the board is divisible by 10.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Dici numeri interi a bordo; qualsiasi prodotto a triplice divisibile per 10

Su una lavagna, Aline ha scritto dieci numeri interi distinti che verificano la seguente proprietà: qualunque sia la scelta di tre numeri interi distinti tra quelli scritti, il prodotto dei tre numeri scelti è divisibile per 10. Mostrare che uno dei dieci numeri interi scritti sulla tavola è divisibile per 10.

src_canimath_2022_automne__Q10

Integers 1–31 on circle; counting neighbors; number opposite 11

The integers $1,2,\dots ,31$ are arranged around a circle in some order. For each of the 31 integers $k$, Matthieu counts:

• $a$: the number of integers among the 9 that follow $k$ clockwise and are less than $k$;
• $b$: the number of integers among the 9 that follow $k$ counterclockwise and are less than $k$; and computes $A(k)$ and $B(k)$. Matthieu notes that $A(k)=B(k)$ for all $k$. What is the number diametrically opposite to 11 on the circle?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Doppio conteggio, Simmetria Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Integri 131 sul cerchio; contando i vicini; numero opposto 11

I numeri interi $1,2,\dots ,31$ sono disposti attorno a un cerchio in un certo ordine. Per ciascuno dei 31 numeri interi $k$, Matthieu conta: - $a$: il numero di numeri interi tra i 9 che seguono $k$ in senso orario e sono inferiori a $k$; - $b$: il numero di numeri interi tra i 9 che seguono $k$ in senso controorario e sono inferiori a $k$; e calcola $A(k)$ e $B(k)$. Matthieu osserva che $A(k)=B(k)$ per tutti $k$. Qual è il numero diametralmente opposto a 11 sul cerchio?

src_canimath_2022_automne__Q11

Odd n; odd number of divisors of 2n up to k; find odd divisor in (k, 2k]

Let $n$ be an odd positive integer and $k$ a strictly positive integer. Suppose that the number of positive divisors of $2n$ that are less than or equal to $k$ is odd. Show that there exists a divisor $d$ of $2n$ such that $k<d\le 2k$ and $d$ is odd.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Biiezione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Odd n; numero impar di divisori di 2n fino a k; trovare divisore impar in (k, 2k]

Che $n$ sia un intero positivo parziale e $k$ un intero rigorosamente positivo. Supponiamo che il numero di divisori positivi di $2n$ che sono inferiori o uguali a $k$ sia impar. Mostrare che esiste un divisore $d$ di $2n$ tale che $k<d\le 2k$ e $d$ siano pari.

src_canimath_2022_automne__Q12

Trapezoid ABCD; midpoints E, F; parallel through E meets CD; right angle and ratio

Let $ABCD$ be a quadrilateral such that $AD=BC$, $(AB)$ and $(CD)$ are parallel, and $AB>CD$. Let $E$ be the midpoint of $[AC]$ and $F$ the midpoint of $[BD]$. The line parallel to $(BD)$ passing through $E$ meets $(CD)$ at the point $G$.

1. Show that the triangle $CGA$ is right-angled at $G$.

2. Set $CD=b$ and $AB=a$. Calculate the ratio $\frac{EG}{CF}$ as a function of $a$ and $b$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD trapezoide; punti intermedi E, F; parallelo attraverso E incontra CD; angolo retto e rapporto

Il $ABCD$ deve essere quadrilaterale in modo tale che $AD=BC$, $(AB)$ e $(CD)$ siano parallele e $AB>CD$. Il $E$ deve essere il punto medio di $[AC]$ e $F$ il punto medio di $[BD]$. La linea parallela a $(BD)$ che attraversa $E$ incontra $(CD)$ al punto $G$.

1. Indicare che il triangolo $CGA$ è angolato a destra a $G$.

2. Set $CD=b$ e $AB=a$. Calcolare il rapporto $\frac{EG}{CF}$ come funzione di $a$ e $b$.

src_canimath_2022_automne__Q13

Positive reals summing to 1; inequality involving sum of |xi-yi| and min ratios

Let $n$ be a strictly positive integer and $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ be strictly positive reals such that $x_1+\cdots +x_n=y_1+\cdots +y_n=1$. Show that: $|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+\cdots +|x_n-y_n|\le 2-{\min }_{1\le i\le n}\frac{x_i}{y_i}-{\min }_{1\le i\le n}\frac{y_i}{x_i}$

For reals $a_1,a_2,\dots ,a_n$, $\underset{u}{\min }{a}_u$ denotes the smallest of the $n$ numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi sommando a 1; disuguaglianza che comporta la somma di xxi-yi-yi e min ratios

Che $n$ sia un numero intero strettamente positivo e $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ sia un numero reale strettamente positivo tale che $x_1+\cdots +x_n=y_1+\cdots +y_n=1$. Indicare che: $|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+\cdots +|x_n-y_n|\le 2-{\min }_{1\le i\le n}\frac{x_i}{y_i}-{\min }_{1\le i\le n}\frac{y_i}{x_i}$

Per i numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$, $\underset{u}{\min }{a}_u$ indica il numero più piccolo dei numeri $n$ $a_1,a_2,\dots ,a_n$.

src_canimath_2022_automne__Q14

Largest r such that n reals contain r with no two at distance 1 (or alpha)

Let $n$ be a strictly positive integer.

1. Determine, in terms of $n$, the largest integer $r$ possessing the following property: for all reals $a_1,\dots ,a_n$, there exist $r$ reals $a_{i_1}<a_{i_2}<\cdots <a_{i_r}$ among them such that for all integers $k,\ell$ verifying $1\le k,\ell \le r$, one has $|a_{i_k}-a_{i_{\ell }}|\ne 1$.

2. Suppose $\alpha$ is an irrational number. Determine, in terms of $n$, the largest integer $r$ possessing the following property: for all reals $a_1,\dots ,a_n$, there exist $r$ reals $a_{i_1}<a_{i_2}<\cdots <a_{i_r}$ among them such that for all integers $k,\ell$ verifying $1\le k,\ell \le r$, one has $|a_{i_k}-a_{i_{\ell }}|\ne 1$ and $|a_{i_k}-a_{i_{\ell }}|\ne \alpha$.

An irrational number is a real number that cannot be written in the form $\frac{p}{q}$, where $p$ and $q$ are integers and $q\ne 0$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Casework, Induzione, Grafi Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*R più grande tale che n reali contengano r senza due a distanza 1 (o alfa) *

$n$ sia un numero intero rigorosamente positivo.

1. Determinare, in termini di $n$, il numero intero più grande $r$ che possieda la seguente proprietà: per tutti i reali $a_1,\dots ,a_n$, esistono tra di essi i reali $r$ $a_{i_1}<a_{i_2}<\cdots <a_{i_r}$ in modo tale che per tutti gli enti $k,\ell$ che verificano $1\le k,\ell \le r$, si abbia $|a_{i_k}-a_{i_{\ell }}|\ne 1$.

2. Supponiamo che $\alpha$ sia un numero irrazionale. Determinare, in termini di $n$, il numero intero più grande $r$ che possieda la seguente proprietà: per tutti i reali $a_1,\dots ,a_n$, tra loro esistono i reali $r$ $a_{i_1}<a_{i_2}<\cdots <a_{i_r}$ in modo tale che per tutti gli enti $k,\ell$ che verificano $1\le k,\ell \le r$, si abbia $|a_{i_k}-a_{i_{\ell }}|\ne 1$ e $|a_{i_k}-a_{i_{\ell }}|\ne \alpha$.

Un numero irrazionale è un numero reale che non può essere scritto nella forma $\frac{p}{q}$, dove $p$ e $q$ sono interi e $q\ne 0$.

src_canimath_2022_automne__Q15