Coupe Animath Printemps 2022

Compute a nested radical

Calculate $\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}}.$

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Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 16 Fonte: apri PDF

Calcolare un radicale annidato

Calcolare $\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}}.$

Qui si aspetta solo una risposta numerica.

Risposta: 16 src_canimath_2022_printemps__Q01

Isosceles triangle, symmetric point and altitude foot, find the three angles

Let $AMC$ be a triangle isosceles at $M$ and such that the angle $\widehat{AMC}$ is acute. Let $B$ be the symmetric of point $A$ with respect to point $M$, and let $H$ be the foot of the altitude from vertex $C$ in triangle $ABC$. Suppose that $AH=HM$. Calculate the values of the three angles of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles, punto simmetrico e piede di altitudine, trovare i tre angoli

Il $AMC$ deve essere un triangolo a uguale scala a $M$ e tale che l’angolo $\widehat{AMC}$ sia acuto. $B$ sia simmetrica del punto $A$ rispetto al punto $M$, e $H$ sia il piede dell’altitudine dal vertice $C$ nel triangolo $ABC$. Supponiamo che $AH=HM$. Calcolare i valori dei tre angoli del triangolo $ABC$.

src_canimath_2022_printemps__Q02

Twenty buildings in a circle, interesting buildings, bound on floor sum

Consider twenty buildings arranged around a circle. Each building has an integer number of floors between $1$ and $20$. Suppose that any two buildings always have a different number of floors. A building is called interesting if it has more floors than one of its neighbours and fewer floors than the other of its neighbours. The buildings are arranged in such a way that there are six interesting buildings in total.

1. Show that the sum of the numbers of floors of the interesting buildings is always greater than or equal to $27$.

2. Give a configuration of twenty buildings for which there are exactly six interesting buildings and for which the sum of the numbers of floors is exactly $27$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Venti edifici in cerchio, edifici interessanti, connessi sul piano totale *

Considerate venti edifici disposti attorno a un cerchio. Ogni edificio ha un numero intero di piani tra $1$ e $20$. Supponiamo che due edifici abbiano sempre un numero diverso di piani. Un edificio è chiamato interessante se ha più piani di uno dei suoi vicini e meno piani rispetto all’altro dei suoi vicini. Gli edifici sono disposti in modo tale che ci siano in totale sei edifici interessanti.

1. dimostrare che la somma dei piani degli edifici interessanti è sempre superiore o pari a $27$.

2. Indicare una configurazione di venti edifici per i quali ci sono esattamente sei edifici interessanti e per i quali la somma del numero di piani è esattamente $27$.

src_canimath_2022_printemps__Q03

Triangle with two equal-length points on the longest side, prove an angle identity

Let $ABC$ be a triangle in which $BC>AB$ and $BC>AC$. Let $P$ be the point of segment $[BC]$ such that $AB=BP$, and let $Q$ be the point of segment $[BC]$ such that $AC=CQ$. Show that $\widehat{BAC}+2\widehat{PAQ}=180^{\circ }.$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con due punti di lunghezza uguale sul lato più lungo, dimostrare un’identità angolare

Si deve $ABC$ essere un triangolo in cui $BC>AB$ e $BC>AC$. Il punto $P$ deve essere il punto del segmento $[BC]$ in modo tale che $AB=BP$, e il punto $Q$ deve essere il punto del segmento $[BC]$ in modo tale che $AC=CQ$. Indicare che $\widehat{BAC}+2\widehat{PAQ}=180^{\circ }.$

src_canimath_2022_printemps__Q04

Ten students each pick one of ten consecutive integers; maximize perfect-square gift winners

In a room there are ten students. Aline writes ten consecutive relative integers on the board. Each student chooses one of the ten integers written on the board, in such a way that any two students always choose two different integers. Each student then computes the sum of the nine integers chosen by the nine other students. Each student whose result is a perfect square then receives a gift.

What is the maximum number of students who can receive a gift?

A perfect square is an integer of the form $n^2$, where $n$ is a natural number.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dieci studenti scelgono ciascuno uno dei dieci numeri interi consecutivi; massimizzare i vincitori del regalo a quadrato perfetto

In una stanza ci sono dieci studenti. Aline scrive dieci numeri interi relativi consecutivi sulla lavagna. Ogni studente sceglie uno dei dieci numeri interi scritti sulla lavagna, in modo tale che ogni due studenti scelgano sempre due numeri interi diversi. Ogni studente calcola poi la somma dei nove numeri interi scelti dagli altri nove studenti. Ogni studente il cui risultato è un quadrato perfetto riceve un dono.

Qual è il numero massimo di studenti che possono ricevere un regalo?

Un quadrato perfetto è un numero intero della forma $n^2$, dove $n$ è un numero naturale.

src_canimath_2022_printemps__Q05

Find all real triples satisfying three cyclic quadratic equations

Determine all triples of real numbers $(a,b,c)$ satisfying the three equations $a^2+b=c^2,b^2+c=a^2,c^2+a=b^2.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli reali che soddisfano tre equazioni quadratiche cicliche

Determinare tutti i triples di numeri reali $(a,b,c)$ che soddisfano le tre equazioni $a^2+b=c^2,b^2+c=a^2,c^2+a=b^2.$

src_canimath_2022_printemps__Q06

Three-colored plane with all colors present; prove a right triangle with three different-colored vertices

Each point of the plane is colored with one of the three colors blue, green or red. For each color, suppose that there exists at least one point of the plane colored with that color. Show that there exists a right triangle whose three vertices are of pairwise different colors.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Piano a tre colori con tutti i colori presenti; dimostrare un triangolo rettangolo con tre vertici di colori diversi

Ogni punto del piano è colorato con uno dei tre colori blu, verde o rosso. Per ogni colore, supponiamo che ci sia almeno un punto del piano colorato con quel colore. Mostrare che esiste un triangolo rettangolo le cui tre vertici sono di coppie di colori diversi.

src_canimath_2022_printemps__Q07

Diamonds and crystals treasure split in half; find the initial total diamond value

The price (in euros) of a diamond corresponds to its mass (in grams) raised to the square and then multiplied by $100$. The price (in euros) of a crystal corresponds to three times its mass (in grams). Martin and Theodore unearth a treasure made up of precious stones which are either diamonds or crystals and whose total value is $5000000\text{euro}$. They cut each precious stone in two, and each takes one half of every stone. The total value of Martin’s stones is worth $2000000\text{euro}$. In euros, what was the initial total value of the diamonds contained in the treasure?

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Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Tesouro di diamanti e cristalli diviso a metà; trovare il valore totale iniziale di diamanti *

Il prezzo (in euro) di un diamante corrisponde alla sua massa (in grammi) sollevata al quadrato e poi moltiplicata per $100$. Il prezzo (in euro) di un cristallo corrisponde a tre volte la sua massa (in grammi). Martin e Theodore scoprono un tesoro composto da pietre preziose che sono diamanti o cristalli e il cui valore totale è $5000000\text{euro}$. Tagliavano ogni pietra preziosa in due, e ognuno prende la metà di ogni pietra. Il valore totale delle pietre di Martin vale $2000000\text{euro}$. In euro, quale era il valore totale iniziale dei diamanti contenuti nel tesoro?

Qui si aspetta solo una risposta numerica.

src_canimath_2022_printemps__Q08

Isosceles triangle, symmetric point and altitude foot, find the three angles (lycee)

Let $AMC$ be a triangle isosceles at $M$ and such that the angle $\widehat{AMC}$ is acute. Let $B$ be the symmetric of point $A$ with respect to point $M$, and let $H$ be the foot of the altitude from vertex $C$ in triangle $ABC$. Suppose that $AH=HM$. Calculate the values of the three angles of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo isosceles, punto simmetrico e piede di altitudine, trovare i tre angoli (lycee) *

Si deve $AMC$ essere un triangolo a uguale scala a $M$ e tale che l’angolo $\widehat{AMC}$ sia acuto. Il punto $B$ deve essere simmetrico del punto $A$ rispetto al punto $M$, e il punto $H$ deve essere il piede dell’altitudine dal vertice $C$ nel triangolo $ABC$. Supponiamo che $AH=HM$. Calcolare i valori dei tre angoli del triangolo $ABC$.

src_canimath_2022_printemps__Q09

Twenty buildings in a circle, interesting buildings, bound on floor sum (lycee)

Consider twenty buildings arranged around a circle. Each building has an integer number of floors between $1$ and $20$. Suppose that any two buildings always have a different number of floors. A building is called interesting if it has more floors than one of its neighbours and fewer floors than the other of its neighbours. The buildings are arranged in such a way that there are six interesting buildings in total.

1. Show that the sum of the numbers of floors of the interesting buildings is always greater than or equal to $27$.

2. Give a configuration of twenty buildings for which there are exactly six interesting buildings and for which the sum of the numbers of floors is exactly $27$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Venti edifici in cerchio, edifici interessanti, limitati sul piano (lisse) *

Considerate venti edifici disposti attorno a un cerchio. Ogni edificio ha un numero intero di piani tra $1$ e $20$. Supponiamo che due edifici abbiano sempre un numero diverso di piani. Un edificio è chiamato interessante se ha più piani di uno dei suoi vicini e meno piani rispetto all’altro dei suoi vicini. Gli edifici sono disposti in modo tale che ci siano in totale sei edifici interessanti.

1. dimostrare che la somma dei piani degli edifici interessanti è sempre superiore o pari a $27$.

2. Indicare una configurazione di venti edifici per i quali ci sono esattamente sei edifici interessanti e per i quali la somma del numero di piani è esattamente $27$.

src_canimath_2022_printemps__Q10

Ten students each pick one of ten consecutive integers; maximize perfect-square gift winners (lycee)

In a room there are ten students. Aline writes ten consecutive relative integers on the board. Each student chooses one of the ten integers written on the board, in such a way that any two students always choose two different integers. Each student then computes the sum of the nine integers chosen by the nine other students. Each student whose result is a perfect square then receives a gift.

What is the maximum number of students who can receive a gift?

A perfect square is an integer of the form $n^2$, where $n$ is a natural number.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Dieci studenti scelgono ciascuno uno dei dieci numeri interi consecutivi; massimizzazione dei vincitori del regalo a quadrato perfetto (liceo) *

In una stanza ci sono dieci studenti. Aline scrive dieci numeri interi relativi consecutivi sulla lavagna. Ogni studente sceglie uno dei dieci numeri interi scritti sulla lavagna, in modo tale che ogni due studenti scelgano sempre due numeri interi diversi. Ogni studente calcola poi la somma dei nove numeri interi scelti dagli altri nove studenti. Ogni studente il cui risultato è un quadrato perfetto riceve un dono.

Qual è il numero massimo di studenti che possono ricevere un regalo?

Un quadrato perfetto è un numero intero della forma $n^2$, dove $n$ è un numero naturale.

src_canimath_2022_printemps__Q11

Isosceles triangle, two angle bisectors, prove an angle equality

Let $ABC$ be a triangle isosceles at $B$. Let $D$ be the point of intersection of the bisector of the angle $\widehat{BAC}$ with the segment $[BC]$. Let $E$ be the point of segment $[AC]$ distinct from $C$ such that $DE=DC$. Let $F$ be the point of intersection of the bisector of the angle $\widehat{AED}$ with the side $[AB]$. Show that $\widehat{AFE}=\widehat{EFD}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles, due bisettori angolari, dimostrare un’eguaglianza angolare

$ABC$ sia un triangolo a uguale scala a $B$. Il punto di intersezione del bisettore dell’angolo $\widehat{BAC}$ con il segmento $[BC]$ è $D$. Il punto $E$ deve essere il punto del segmento $[AC]$ distinto da $C$ in modo tale che $DE=DC$. Il punto di intersezione del bisector dell’angolo $\widehat{AED}$ con il lato $[AB]$ è $F$. Mostra che $\widehat{AFE}=\widehat{EFD}$.

src_canimath_2022_printemps__Q12

Three-colored plane with all colors present; prove a right triangle with three different-colored vertices (lycee)

Each point of the plane is colored with one of the three colors blue, green or red. For each color, suppose that there exists at least one point of the plane colored with that color. Show that there exists a right triangle whose three vertices are of pairwise different colors.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*Piano a tre colori con tutti i colori presenti; dimostrare un triangolo rettangolo con tre vertici di colori diversi (lycee) *

Ogni punto del piano è colorato con uno dei tre colori blu, verde o rosso. Per ogni colore, supponiamo che ci sia almeno un punto del piano colorato con quel colore. Mostrare che esiste un triangolo rettangolo le cui tre vertici sono di coppie di colori diversi.

src_canimath_2022_printemps__Q13

Increasing positive integers with a divisibility hypothesis; prove two inequalities

Let $a_1<\dots <a_n$ be strictly positive integers. Suppose that for every pair of integers $(i,j)$ verifying $1\le i<j\le n$, the number $\frac{a_i}{a_j-a_i}$ is an integer.

1. Show that for every integer $m$ verifying $1\le m\le n-1$, $m{a}_{m+1}\le (m+1)a_m$.

2. Show that if $i$ and $j$ are integers verifying $1\le i<j\le n$, then $i{a}_j\le j{a}_i$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Aumentare i numeri interi positivi con un’ipotesi di divisibilità; dimostrare due disuguaglianze

$a_1<\dots <a_n$ siano numeri interi rigorosamente positivi. Supponiamo che per ogni coppia di integri $(i,j)$ che verifica $1\le i<j\le n$, il numero $\frac{a_i}{a_j-a_i}$ sia un intero.

1. Indicare che per ogni numero intero $m$ verificando $1\le m\le n-1$, $m{a}_{m+1}\le (m+1)a_m$.

2. Indicare che se $i$ e $j$ sono numeri interi che verificano $1\le i<j\le n$, allora $i{a}_j\le j{a}_i$.

src_canimath_2022_printemps__Q14

Power-sum dominance for two exponents; prove inequality persists and a refined bound

Let $n$ be a strictly positive integer, $x_1,\dots ,x_{n+1}$ strictly positive reals, and $p<q$ two strictly positive integers. Suppose that $x_{n+1}^p>x_1^p+\dots +x_n^p.$

1. Show that $x_{n+1}^q>x_1^q+\dots +x_n^q$.

2. Show that ${\left(x_{n+1}^p-(x_1^p+\dots +x_n^p)\right)}^q<{\left(x_{n+1}^q-(x_1^q+\dots +x_n^q)\right)}^p.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Dominanza della potenza-somma per due esponenti; dimostra che la disuguaglianza persiste e un limite raffinato *

$n$ sia un intero rigorosamente positivo, $x_1,\dots ,x_{n+1}$ rigorosamente positivi reali e $p<q$ due interi rigorosamente positivi. Supponiamo che $x_{n+1}^p>x_1^p+\dots +x_n^p.$

1. Indicare che $x_{n+1}^q>x_1^q+\dots +x_n^q$.

2. Indicare che ${\left(x_{n+1}^p-(x_1^p+\dots +x_n^p)\right)}^q<{\left(x_{n+1}^q-(x_1^q+\dots +x_n^q)\right)}^p.$

src_canimath_2022_printemps__Q15