Evaluate a numeric fraction of a product of even numbers over a product of small integers
Compute
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Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 32 Fonte: apri PDF
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Evaluare una frazione numerica di un prodotto di numeri pari su un prodotto di piccoli interi
Calcolo
Qui si aspetta solo una risposta numerica.
Risposta: 32 src_canimath_2023_automne__Q01
Unit square ABCD with E on diagonal AC and AE=1; find angle BEC in degrees
Let be a square with side . Let be the point on the segment such that . Compute, in degrees, the value of the angle .
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 112.5 Fonte: apri PDF
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Unità quadrata ABCD con E su diagonale AC e AE=1; trovare angolo BEC in gradi
sia un quadrato con lato . Il punto deve essere il punto del segmento in modo tale che . Calcolare in gradi il valore dell’angolo .
Risposta: 112.5 src_canimath_2023_automne__Q02
5x5 grid of positive integers with every row sum odd; prove some column sum is also odd
In each of the cells of a square table of size , one writes a strictly positive integer. Suppose that, for each row of the table, the sum of the integers written in the cells of that row is an odd integer. Show that there exists a column of the table such that the sum of the integers written in the cells of that column is also odd.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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- 5x5 griglia di numeri interi positivi con ogni riga somma impar; dimostrare che qualche colonna somma è anche impar*
In ciascuna delle celle di una tabella quadrata di dimensioni , si scrive un intero rigorosamente positivo. Supponiamo che, per ogni riga della tabella, la somma dei numeri interi scritti nelle celle di quella riga sia un numero intero impar. Mostrare che esiste una colonna della tabella tale che la somma dei numeri interi scritti nelle celle di quella colonna sia anche strana.
src_canimath_2023_automne__Q03
20 dwarves around a round table; neighbouring nugget counts differ by 2 or 3 and all are distinct; find the greatest possible spread
A group of dwarves coming out of the mine sits down around a round table to count the gold nuggets each one has mined. They make the following observations:
The difference between the numbers of nuggets of two neighbouring dwarves is always or .
All the dwarves have a different number of nuggets.
What is the greatest possible difference in nuggets between the dwarf who found the most nuggets and the one who found the fewest?
Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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20 nani attorno a una tavola rotonda; i conti di nugget vicini differiscono di 2 o 3 e sono tutti distinti; trovare la più grande diffusione possibile
Un gruppo di nani che uscivano dalla miniera si sedette attorno a una tavola rotonda per contare le nugget d’oro che ognuno di loro aveva estratto. Essi fanno le seguenti osservazioni:
La differenza tra i numeri di nugget di due nani vicini è sempre o .
Tutte le nane hanno un numero diverso di nugget.
Qual è la più grande differenza possibile tra la nana che ha trovato il maggior numero di nuggets e quella che ha trovato il minor numero di nuggets?
src_canimath_2023_automne__Q04
Two equilateral triangles OAB, OAC of side 1; build equilateral OBD, OCE; points P, Q at unit distances; prove B, P, Q collinear
Let , , and be four distinct points such that the triangles and are equilateral with side . Let and be two points, distinct and different from , such that the triangles and are also equilateral. Let be the point on the segment such that . Let be the point on the segment such that . Show that the points , and are collinear.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Due triangoli equilaterali OAB, OAC del lato 1; costruire OBD equilaterale, OCE; punti P, Q a distanze unitarie; dimostrare B, P, Q collineare
I punti , , e siano quattro punti distinti in modo tale che i triangoli e siano equilaterali con il lato . I punti e siano due punti distinti e diversi da , in modo che anche i triangoli e siano equilaterali. Il punto deve essere il punto del segmento in modo tale che . Il punto deve essere il punto del segmento in modo tale che . Indicare che i punti , e sono collineari.
src_canimath_2023_automne__Q05
Prove that if 2^n and 5^n have the same leading digit, that digit must be 3
For every strictly positive integer , the \emph{first digit} of denotes the leftmost digit in its decimal writing. Let be a strictly positive integer. Suppose that the two integers and have the same first digit. Show that this common first digit is .
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Prove che se 2^n e 5^n hanno la stessa cifra principale, quella cifra deve essere 3
Per ogni numero intero rigorosamente positivo , la \emph{prima cifra} di indica la cifra più sinistra nella sua scrittura decimale. Il è un numero intero rigorosamente positivo. Supponiamo che i due numeri interi e abbiano la stessa prima cifra. Mostra che questa prima cifra comune è .
src_canimath_2023_automne__Q06
Regular sets are arithmetic progressions; super-regular if the set and its reciprocals are both regular; find the largest n with a super-regular set of n distinct nonzero reals
A set of nonzero and pairwise distinct real numbers is called \emph{regular} if, when one writes these numbers on the board in increasing order, the difference between two neighbouring numbers is always the same, whichever two neighbouring numbers are chosen. For example, the set is regular because its elements are written and in increasing order, and indeed .
A set of nonzero and pairwise distinct real numbers is called \emph{super-regular} if it is regular and if the set formed by the inverses of the numbers of the set is also regular.
What is the largest integer such that there exists a super-regular set of nonzero and pairwise distinct real numbers?
Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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I set regolari sono progressioni aritmetiche; superregolari se il set e le sue reciprocità sono entrambi regolari; trovare il più grande n con un set superregolare di n reali non-zero distinti
Un insieme di numeri reali non zero e separati in coppia viene chiamato \emph{regular} se, quando si scrivono questi numeri sulla lavagna in ordine crescente, la differenza tra due numeri vicini è sempre la stessa, a seconda di quale dei due numeri vicini viene scelto. Ad esempio, l’insieme è regolare perché i suoi elementi sono scritti e in ordine crescente, e infatti .
Un insieme di numeri reali non zeri e pari distinti si chiama \emph{super-regolare} se è regolare e se l’insieme formato dagli inversi dei numeri del insieme è anche regolare.
Qual è il più grande numero intero tale che esista un insieme superregolare di non zero e numeri reali distinti in coppia?
src_canimath_2023_automne__Q07
Average of five grades is 16, three known grades are 13,14,17; find the sum of the two forgotten grades
Maena has received five grades this term but only remembers the first three, which are , and . She knows that the average (assuming the five grades have the same weight) of her five grades equals . What is the sum of the two grades Maena does not remember?
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Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 36 Fonte: apri PDF
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La media di cinque gradi è 16, tre conosciuti sono 13,14,17; trovare la somma dei due gradi dimenticati
Maena ha ricevuto cinque voti in questo periodo, ma ricorda solo le prime tre, che sono , e . Lei sa che la media (assumendo che le cinque classi abbiano lo stesso peso) delle sue cinque classi è uguale a . Qual è la somma dei due gradi che Maena non ricorda?
Qui si aspetta solo una risposta numerica.
Risposta: 36 src_canimath_2023_automne__Q08
Unit square ABCD with E on diagonal AC and AE=1; find angle BEC in degrees (lycee)
Let be a square with side . Let be the point on the segment such that . Compute, in degrees, the value of the angle .
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 112.5 Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
*Unità quadrata ABCD con E su diagonale AC e AE=1; trovare angolo BEC in gradi (lycee) *
sia un quadrato con lato . Il punto deve essere il punto del segmento in modo tale che . Calcolare in gradi il valore dell’angolo .
Risposta: 112.5 src_canimath_2023_automne__Q09
5x5 grid of positive integers with every row sum odd; prove some column sum is also odd (lycee)
In each of the cells of a square table of size , one writes a strictly positive integer. Suppose that, for each row of the table, the sum of the integers written in the cells of that row is an odd integer. Show that there exists a column of the table such that the sum of the integers written in the cells of that column is also odd.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
- 5x5 griglia di numeri interi positivi con ogni riga somma impar; dimostrare che qualche colonna somma è anche impar (lycee) *
In ciascuna delle celle di una tabella quadrata di dimensioni , si scrive un intero rigorosamente positivo. Supponiamo che, per ogni riga della tabella, la somma dei numeri interi scritti nelle celle di quella riga sia un numero intero impar. Mostrare che esiste una colonna della tabella tale che la somma dei numeri interi scritti nelle celle di quella colonna sia anche strana.
src_canimath_2023_automne__Q10
20 dwarves around a round table; neighbouring nugget counts differ by 2 or 3 and all distinct; greatest possible spread (lycee)
A group of dwarves coming out of the mine sits down around a round table to count the gold nuggets each one has mined. They make the following observations:
The difference between the numbers of nuggets of two neighbouring dwarves is always or .
All the dwarves have a different number of nuggets.
What is the greatest possible difference in nuggets between the dwarf who found the most nuggets and the one who found the fewest?
Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
*20 nani attorno a una tavola rotonda; i conti di nugget vicini differiscono di 2 o 3 e sono tutti distinti; maggiore diffusione possibile (lycee) *
Un gruppo di nani che uscivano dalla miniera si sedette attorno a una tavola rotonda per contare le nugget d’oro che ognuno di loro aveva estratto. Essi fanno le seguenti osservazioni:
La differenza tra i numeri di nugget di due nani vicini è sempre o .
Tutte le nane hanno un numero diverso di nugget.
Qual è la più grande differenza possibile tra la nana che ha trovato il maggior numero di nuggets e quella che ha trovato il minor numero di nuggets?
src_canimath_2023_automne__Q11
Prove that if 2^n and 5^n share the same leading digit, that digit is 3 (lycee)
For every strictly positive integer , the \emph{first digit} of denotes the leftmost digit in its decimal writing. Let be a strictly positive integer. Suppose that the two integers and have the same first digit. Show that this common first digit is .
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Prove che se 2^n e 5^n condividono la stessa cifra principale, quella cifra è 3 (lycee)
Per ogni numero intero rigorosamente positivo , la \emph{prima cifra} di indica la cifra più sinistra nella sua scrittura decimale. Il è un numero intero rigorosamente positivo. Supponiamo che i due numeri interi e abbiano la stessa prima cifra. Mostra che questa prima cifra comune è .
src_canimath_2023_automne__Q12
Regular sets are arithmetic progressions; super-regular if both the set and its reciprocals are regular; largest n with a super-regular set of n distinct nonzero reals (lycee)
A set of nonzero and pairwise distinct real numbers is called \emph{regular} if, when one writes these numbers on the board in increasing order, the difference between two neighbouring numbers is always the same, whichever two neighbouring numbers are chosen. For example, the set is regular because its elements are written and in increasing order, and indeed .
A set of nonzero and pairwise distinct real numbers is called \emph{super-regular} if it is regular and if the set formed by the inverses of the numbers of the set is also regular.
What is the largest integer such that there exists a super-regular set of nonzero and pairwise distinct real numbers?
Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
*Setti regolari sono progressioni aritmetiche; superregolari se sia l’insieme che le sue reciprocità sono regolari; più grande n con un insieme superregolare di n reali non-zero distinte (lycee) *
Un insieme di numeri reali non zeri e separati in coppia viene chiamato \emph{regular} se, quando si scrivono questi numeri sulla lavagna in ordine crescente, la differenza tra due numeri vicini è sempre la stessa, a seconda di quale dei due numeri vicini viene scelto. Ad esempio, l’insieme è regolare perché i suoi elementi sono scritti e in ordine crescente, e infatti .
Un insieme di numeri reali non zeri e pari distinti si chiama \emph{super-regolare} se è regolare e se l’insieme formato dagli inversi dei numeri del insieme è anche regolare.
Qual è il più grande numero intero tale che esista un insieme superregolare di non zero e numeri reali distinti in coppia?
src_canimath_2023_automne__Q13
Rectangle ABCD, M midpoint of CD; a line parallel to AB meets AD, AM, BM, BC at P, Q, R, S; line DR meets AM at X and BC at Y; given DX=6, XR=4, find RY
Let be a rectangle and the midpoint of the segment . A line parallel to meets the segments , , , respectively at the points , , and . The line meets the segment at and the segment at . If and , what is the length of the segment ?
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Rectangle ABCD, M punto medio del CD; una linea parallela a AB incontra AD, AM, BM, BC a P, Q, R, S; la linea DR incontra AM a X e BC a Y; data DX=6, XR=4, trovi RY
sia un rettangolo e il punto medio del segmento . Una linea parallela a incontra i segmenti , , , rispettivamente nei punti , , e . La linea incontra il segmento a e il segmento a . Se e , quale è la lunghezza del segmento ?
src_canimath_2023_automne__Q14
Tokens in a 30x30 grid: at most one per cell, every empty cell shares row/column with a token, every token has at most one other token in its row or column; find the smallest k so that every k x k subsquare always contains a token
Theo places tokens in the cells of a table of size while respecting the following rules:
Each cell contains at most one token.
For each empty cell, there is, among the cells of the same row or the same column, at least one cell containing a token.
For each token placed, there is, among the cells of the same row or the same column, at most one other cell containing a token.
Determine the smallest integer satisfying the following property: whatever the arrangement chosen by Theo, every square of the grid contains at least one cell with a token.
Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Token in una griglia 30x30: al massimo uno per ogni cella, ogni cella vuota condivide riga/colonna con un token, ogni token ha al massimo un altro token nella sua riga o colonna; trovare il k più piccolo in modo che ogni sottoquadrato k x k contiene sempre un token
Theo colloca i token nelle celle di una tabella di dimensioni rispettando le seguenti regole:
Ogni cella contiene al massimo un token.
Per ogni cella vuota, tra le celle della stessa riga o della stessa colonna, c’è almeno una cella contenente un token.
Per ogni token inserito, tra le celle della stessa riga o della stessa colonna, c’è al massimo un’altra cella che contiene un token.
Determinare il numero intero più piccolo che soddisfa la seguente proprietà: qualunque sia l’arrangimento scelto da Theo, ogni quadrato della griglia contiene almeno una cella con un token.