Coupe Animath Printemps 2023

Compute the value of 4^8/8^4.

Compute the number $\frac{4^8}{8^4}.$

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 16 Fonte: apri PDF

Calcolare il valore di 4^8/8^4.

Calcolare il numero $\frac{4^8}{8^4}.$

Solo una risposta numerica è prevista qui.

Risposta: 16 src_canimath_2023_printemps__Q01

In triangle ABC with angle CAB = 20 degrees, D the midpoint of [AB], and angle CDB = 40 degrees; find angle ABC.

Let $ABC$ be a triangle satisfying $\widehat{CAB}=20^{\circ }$. Let $D$ be the midpoint of the segment $[AB]$. Suppose that $\widehat{CDB}=40^{\circ }$. What is the angle $\widehat{ABC}$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo ABC con angolo CAB = 20 gradi, D il punto medio di [AB], e angolo CDB = 40 gradi; trovare angolo ABC.

$ABC$ sia un triangolo soddisfacente $\widehat{CAB}=20^{\circ }$. Il segmento $[AB]$ deve essere il punto medio di $D$. Supponiamo che $\widehat{CDB}=40^{\circ }$. Qual è l’angolo $\widehat{ABC}$?

src_canimath_2023_printemps__Q02

In a 5x5 grid of 25 white cells, find the smallest number of cells to color red so that every 2x3 and 3x2 rectangle contains at least one red cell.

Consider a $5\times 5$ grid, made up of $25$ white cells. Vincent wants to color some cells of the grid red so that every $2\times 3$ or $3\times 2$ rectangle contains at least one colored cell. What is the smallest number of cells that he can color?

(Below, on the left a $5\times 5$ grid where a $2\times 3$ rectangle is hatched, on the right a $5\times 5$ grid where a $3\times 2$ rectangle is hatched.)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In una griglia 5x5 di 25 cellule bianche, trovare il numero più piccolo di cellule da colorare in rosso in modo che ogni rettangolo 2x3 e 3x2 contenga almeno una cellula rossa.

Si consideri una griglia $5\times 5$, composta da celle bianche $25$. Vincent vuole colorare alcune cellule della griglia in rosso in modo che ogni rettangolo $2\times 3$ o $3\times 2$ contenga almeno una cellula colorata. Qual è il numero più piccolo di cellule che può colorare?

Sotto, a sinistra, una griglia di $5\times 5$ dove è inghiottito un rettangolo di $2\times 3$, a destra una griglia di $5\times 5$ dove è inghiottito un rettangolo di $3\times 2$.)

src_canimath_2023_printemps__Q03

In a pentagon ABCDE with all sides equal, with angles BCD and CDE right angles and A not inside quadrilateral BCDE, P the intersection of lines (AC) and (BD); prove AP = PD.

Let $ABCDE$ be a pentagon all of whose sides have the same length, such that the angles $\widehat{BCD}$ and $\widehat{CDE}$ are right angles, and such that the point $A$ does not lie inside the quadrilateral $BCDE$. Let $P$ be the point of intersection of the lines $(AC)$ and $(BD)$. Show that $AP=PD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un pentagono ABCDE con tutti i lati uguali, con angoli BCD e CDE angoli rettangolari e A non all’interno di BCDE quadrilaterale, P l’intersezione di linee (AC) e (BD); dimostrare AP = PD.

Che $ABCDE$ sia un pentagono i cui lati hanno la stessa lunghezza, in modo tale che gli angoli $\widehat{BCD}$ e $\widehat{CDE}$ siano angoli rettangolari, e in modo tale che il punto $A$ non si trovi all’interno del quadrilaterale $BCDE$. Il punto di intersezione delle linee $(AC)$ e $(BD)$ è $P$. Mostra che $AP=PD$.

src_canimath_2023_printemps__Q04

Theo’s grades are integers from 1 to 5 with average at most 3; he replaces every grade equal to 1 with a 3; show the new average remains at most 4.

Theo has received his grades for the trimester, which are all integers between $1$ and $5$ (inclusive). He notes that the average of his grades is less than or equal to $3$. Thus, so as not to be deprived of dessert for a week, he intends to replace, on his report, all his grades equal to $1$ by as many grades equal to $3$. Show that after this transformation, the average of the grades remains less than or equal to $4$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le classi di Theo sono numeri interi da 1 a 5 con una media massima di 3; sostituisce ogni nota uguale a 1 con una 3; mostra che la nuova media rimane massima di 4.

Theo ha ricevuto i suoi voti per il trimestre, che sono tutti numeri interi tra $1$ e $5$ (inclusivo). Egli osserva che la media dei suoi voti è inferiore o uguale a $3$. Per non essere privato di dessert per una settimana, intende quindi sostituire, nella sua relazione, tutti i suoi voti pari a $1$ con tanti voti pari a $3$. Mostrare che dopo questa trasformazione, la media delle classi rimane inferiore o uguale a $4$.

src_canimath_2023_printemps__Q05

A pair (x,y) with 1<=y<x is ‘joli’ if x and y have exactly x-y common positive divisors; with s(n) the number of joli pairs with 1<=y<x<=n, decide whether s(n)=2022 or s(n)=2023 is achievable.

Let $x,y$ be positive integers such that $1⩽y<x$. We say that the pair $(x,y)$ is joli if $x$ and $y$ have exactly $x-y$ common positive divisors. For example, $30$ and $42$ have exactly $4$ common divisors: $1,2,3$ and $6$. Since $42-30=12\ne 4$, the pair $(42,30)$ is therefore not joli. On the other hand, the pair $(8,6)$ is joli, because $6$ and $8$ have $8-6=2$ common positive divisors: $1$ and $2$.

For every integer $n⩾2$, let $s(n)$ denote the number of pairs of integers $(x,y)$ such that $1⩽y<x⩽n$ and $(x,y)$ is joli.

a) Does there exist an integer $n⩾2$ such that $s(n)=2022$?

b) Does there exist an integer $n⩾2$ such that $s(n)=2023$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Una coppia (x,y) con 1<=y<x è ‘joli’ se x e y hanno esattamente divisori positivi comuni x-y; con s(n) il numero di coppie joli con 1<=y<x<=n, decide se s(n)=2022 o s(n)=2023 è raggiungibile.

$x,y$ siano integri positivi come $1⩽y<x$. Diciamo che la coppia $(x,y)$ è joli se $x$ e $y$ hanno esattamente $x-y$ divisori positivi comuni. Ad esempio, $30$ e $42$ hanno esattamente $4$ divisori comuni: $1,2,3$ e $6$. Poiché $42-30=12\ne 4$, la coppia $(42,30)$ non è quindi joli. D’altra parte, la coppia $(8,6)$ è joli, perché $6$ e $8$ hanno $8-6=2$ divisori positivi comuni: $1$ e $2$.

Per ogni numero intero $n⩾2$, $s(n)$ indichi il numero di coppie di numeri interi $(x,y)$ in modo tale che $1⩽y<x⩽n$ e $(x,y)$ siano joli.

a) Esiste un numero intero $n⩾2$ tale da $s(n)=2022$?

b) Esiste un numero intero $n⩾2$ tale da $s(n)=2023$?

src_canimath_2023_printemps__Q06

In a 10x10 grid with rows numbered 1 (top) to 10 (bottom) and columns 1 (left) to 10 (right), Martin colors cells so that each colored cell c has at most one other colored cell with both column number and row number greater than or equal to those of c; find the maximum number of colored cells.

Consider a $10\times 10$ grid, made up of $100$ cells. The rows of the grid are numbered from top to bottom in order from $1$ to $10$: the top row has number $1$, the bottom row has number $10$. The columns of the grid are numbered from left to right in order from $1$ to $10$: the leftmost column has number $1$, the rightmost column has number $10$. Martin colors certain cells of the grid in such a way that, for every colored cell $c$, there is at most one colored cell different from $c$ whose column number is greater than or equal to that of the column of $c$ and whose row number is greater than or equal to that of the row of $c$.

What is the maximum number of cells that Martin can color?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In una griglia 10x10 con righe numerate da 1 (alto) a 10 (infine) e colonne da 1 (sinistra) a 10 (destra), Martin colora le celle in modo che ogni cella colorata abbia al massimo un’altra cella colorata con numero di colonna e numero di righe maggiore o uguale a quelli di c; trovare il numero massimo di celle colorate.

Si consideri una griglia $10\times 10$, composta da celle $100$. Le righe della griglia sono numerate dall’alto al basso in ordine da $1$ a $10$: la riga superiore ha il numero $1$, la riga inferiore ha il numero $10$. Le colonne della griglia sono numerate da sinistra a destra in ordine da $1$ a $10$: la colonna più sinistra ha il numero $1$, la colonna più destra ha il numero $10$. Martin colora alcune celle della griglia in modo tale che, per ogni cella di colore $c$, vi sia almeno una cella di colore diversa da $c$ il cui numero di colonne è maggiore o uguale a quello della colonna di $c$ e il cui numero di righe è maggiore o uguale a quello della riga di $c$.

Qual è il numero massimo di cellule che Martin può colorare?

src_canimath_2023_printemps__Q07

Count the integers n such that n/3 and 3n are both integers between 1 and 1000 inclusive.

How many integers $n$ are there such that $\frac{n}{3}$ and $3n$ are both integers between $1$ and $1000$ (with $1$ and $1000$ included)?

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 111 Fonte: apri PDF

Conta i numeri interi n in modo tale che n/3 e 3n siano entrambi numeri interi tra 1 e 1000 inclusi.

Quanti integri $n$ esistono tali che $\frac{n}{3}$ e $3n$ siano entrambe integri tra $1$ e $1000$ (con $1$ e $1000$ inclusi)?

Solo una risposta numerica è prevista qui.

Risposta: 111 src_canimath_2023_printemps__Q08

In triangle ABC with angle CAB = 20 degrees, D the midpoint of [AB], and angle CDB = 40 degrees; find angle ABC.

Let $ABC$ be a triangle satisfying $\widehat{CAB}=20^{\circ }$. Let $D$ be the midpoint of the segment $[AB]$. Suppose that $\widehat{CDB}=40^{\circ }$. What is the angle $\widehat{ABC}$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo ABC con angolo CAB = 20 gradi, D il punto medio di [AB], e angolo CDB = 40 gradi; trovare angolo ABC.

$ABC$ sia un triangolo soddisfacente $\widehat{CAB}=20^{\circ }$. Il segmento $[AB]$ deve essere il punto medio di $D$. Supponiamo che $\widehat{CDB}=40^{\circ }$. Qual è l’angolo $\widehat{ABC}$?

src_canimath_2023_printemps__Q09

Using the numbers 1 to 22 exactly once each as numerators and denominators, Antoine writes 11 fractions; find the maximum possible number of fractions having integer values.

Using the numbers from $1$ to $22$ exactly once each, Antoine writes $11$ fractions: for example, he could write the fractions $\frac{10}{2},\frac{4}{3},\frac{15}{5},\frac{7}{6},\frac{8}{9},\frac{11}{19},\frac{12}{14},\frac{13}{17},\frac{22}{21},\frac{18}{16}\text{and}\frac{20}{1}.$

Antoine wants to have as many fractions with integer values as possible among the fractions he writes: in the example above, it can be seen that he wrote three fractions with integer values, namely $\frac{10}{2}=5$, $\frac{15}{5}=3$ and $\frac{20}{1}=20$. What is the maximum number of fractions that can have integer values?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Usando i numeri da 1 a 22 esattamente una volta ciascuno come numeratori e denominatori, Antoine scrive 11 frazioni; trovare il numero massimo possibile di frazioni con valori interi.*

Usando i numeri da $1$ a $22$ esattamente una volta ogni volta, Antoine scrive $11$ frazioni: ad esempio, potrebbe scrivere le frazioni $\frac{10}{2},\frac{4}{3},\frac{15}{5},\frac{7}{6},\frac{8}{9},\frac{11}{19},\frac{12}{14},\frac{13}{17},\frac{22}{21},\frac{18}{16}\text{and}\frac{20}{1}.$

Antoine vuole avere il maggior numero possibile di frazioni con valori interi tra le frazioni che scrive: nell’esempio sopra, si può vedere che ha scritto tre frazioni con valori interi, vale a dire $\frac{10}{2}=5$, $\frac{15}{5}=3$ e $\frac{20}{1}=20$. Qual è il numero massimo di frazioni che possono avere valori interi?

src_canimath_2023_printemps__Q10

Given 100 distinct integers 1 <= a_1 < a_2 < … < a_100 <= 400 with d_i = a_{i+1} - a_i, show that at least 15 of d_1,…,d_99 are equal to one another.

Let $a_1,\dots ,a_{100}$ be $100$ distinct integers such that $1⩽a_1<a_2<\cdots <a_{100}⩽400$. For every integer $i$ such that $1⩽i⩽99$, set $d_i=a_{i+1}-a_i$. Show that at least $15$ of the numbers among $d_1,d_2,\dots ,d_{99}$ are equal to one another.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dati 100 interi distinti 1 <= a_1 < a_2 < … < a_100 <= 400 con d_i = a_{i+1} - a_i, mostrare che almeno 15 di d_1,…, d_99 sono uguali l’uno all’altro.

$a_1,\dots ,a_{100}$ siano $100$ numeri interi distinti come $1⩽a_1<a_2<\cdots <a_{100}⩽400$. Per ogni numero intero $i$ tale da $1⩽i⩽99$, impostare $d_i=a_{i+1}-a_i$. Mostrare che almeno $15$ dei numeri tra $d_1,d_2,\dots ,d_{99}$ sono uguali l’uno all’altro.

src_canimath_2023_printemps__Q11

In a rhombus ABCD with E the intersection of the diagonals, F the midpoint of [BE], G the midpoint of [AD], I the intersection of (FG) and (AC), and K the reflection of A across I; find EK/EA.

Let $ABCD$ be a rhombus, and let $E$ be the point of intersection of the diagonals. Let $F$ be the midpoint of the segment $[BE]$, and $G$ the midpoint of the segment $[AD]$. Let $I$ be the point of intersection of the lines $(FG)$ and $(AC)$, and let $K$ be the symmetric point of $A$ with respect to the point $I$. What is the value of $\frac{EK}{EA}$?

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un rombo ABCD con E l’intersezione dei diagonali, F il punto medio di [BE], G il punto medio di [AD], I l’intersezione di (FG) e (AC), e K il riflesso di A attraverso I; trovare EK/EA.

Che $ABCD$ sia un rombo e che $E$ sia il punto di intersezione delle diagonali. Il segmento $F$ è il punto medio del segmento $[BE]$ e il segmento $G$ è il punto medio del segmento $[AD]$. Il $I$ è il punto di intersezione delle linee $(FG)$ e $(AC)$, e il $K$ è il punto simmetrico di $A$ rispetto al punto $I$. Qual è il valore di $\frac{EK}{EA}$?

src_canimath_2023_printemps__Q12

In a 10x10 grid with rows numbered 1 (top) to 10 (bottom) and columns 1 (left) to 10 (right), Martin colors cells so that each colored cell c has at most one other colored cell with both column number and row number greater than or equal to those of c; find the maximum number of colored cells.

Consider a $10\times 10$ grid, made up of $100$ cells. The rows of the grid are numbered from top to bottom in order from $1$ to $10$: the top row has number $1$, the bottom row has number $10$. The columns of the grid are numbered from left to right in order from $1$ to $10$: the leftmost column has number $1$, the rightmost column has number $10$. Martin colors certain cells of the grid in such a way that, for every colored cell $c$, there is at most one colored cell different from $c$ whose column number is greater than or equal to that of the column of $c$ and whose row number is greater than or equal to that of the row of $c$.

What is the maximum number of cells that Martin can color?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In una griglia 10x10 con righe numerate da 1 (alto) a 10 (infine) e colonne da 1 (sinistra) a 10 (destra), Martin colora le celle in modo che ogni cella colorata abbia al massimo un’altra cella colorata con numero di colonna e numero di righe maggiore o uguale a quelli di c; trovare il numero massimo di celle colorate.

Si consideri una griglia $10\times 10$, composta da celle $100$. Le righe della griglia sono numerate dall’alto al basso in ordine da $1$ a $10$: la riga superiore ha il numero $1$, la riga inferiore ha il numero $10$. Le colonne della griglia sono numerate da sinistra a destra in ordine da $1$ a $10$: la colonna più sinistra ha il numero $1$, la colonna più destra ha il numero $10$. Martin colora alcune celle della griglia in modo tale che, per ogni cella di colore $c$, vi sia al massimo una cella di colore diversa da $c$ il cui numero di colonne è maggiore o uguale a quello della colonna di $c$ e il cui numero di righe è maggiore o uguale a quello della riga di $c$.

Qual è il numero massimo di cellule che Martin può colorare?

src_canimath_2023_printemps__Q13

For which positive integers n can Aline write 2n real numbers, not all equal, such that for every choice of n of them the sum of the chosen n equals the product of the other n?

Let $n$ be a strictly positive integer. Aline wants to write $2n$ real numbers on the board in such a way that:

$▹$ the $2n$ numbers written are not all equal;

$▹$ if Aline circles $n$ of the numbers written on the board, then, whatever Aline’s choice is, the sum of the $n$ circled numbers is equal to the product of the $n$ numbers that are not circled.

For which values of $n$ can Aline realize her wish?

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per quali integri positivi n Aline può scrivere 2n numeri reali, non tutti uguali, in modo tale che per ogni scelta di n di essi la somma della n scelta è uguale al prodotto dell’altro n?

$n$ sia un numero intero rigorosamente positivo. Aline vuole scrivere $2n$ numeri reali sulla lavagna in modo tale che:

$▹$ i numeri $2n$ scritti non sono tutti uguali;

$▹$ se Aline circonda $n$ dei numeri scritti sulla lavagna, allora, qualunque sia la scelta di Aline, la somma dei numeri circondati $n$ è pari al prodotto dei numeri $n$ non circondati.

Per quali valori di $n$ Aline può realizzare il suo desiderio?

src_canimath_2023_printemps__Q14

For a fixed integer n>=2, a positive integer S is ‘special’ if for every k and every ordered decomposition of n into k positive parts n_1<=…<=n_k there exist integers 0<=a_1<a_2<…<a_k with sum a_i n_i = S; show n^2-2n is not special and find all special numbers.

Let $n⩾2$ be a fixed integer. A number $S$ is said to be special if, for every strictly positive integer $k$ and for every decomposition of $n$ as a sum of $k$ strictly positive integers $n=n_1+n_2+\cdots +n_k,$ with $n_1⩽n_2⩽\cdots ⩽n_k$, one can find integers $0⩽a_1<a_2<\cdots <a_k$ such that $a_1{n}_1+a_2{n}_2+\cdots +a_k{n}_k=S.$

a) Show that $n^2-2n$ is not special.

b) Find all the special numbers.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per un intero fisso n>=2, un intero positivo S è ‘speciale’ se per ogni k e ogni decomposizione ordinata di n in parti positive n_1<=…<=n_k esistono interi 0<=a_1<a_2<…<a_k con somma a_i n_i = S; mostra n^2-2n non è speciale e trova tutti i numeri speciali.

$n⩾2$ sia un numero intero fisso. Un numero $S$ è detto speciale se, per ogni intero rigorosamente positivo $k$ e per ogni decomposizione di $n$ come somma di $k$ interi rigorosamente positivi $n=n_1+n_2+\cdots +n_k,$ con $n_1⩽n_2⩽\cdots ⩽n_k$, si possono trovare interi $0⩽a_1<a_2<\cdots <a_k$ tali che $a_1{n}_1+a_2{n}_2+\cdots +a_k{n}_k=S.$

a) Indicare che $n^2-2n$ è ** non ** speciale.

b) Trova tutti i numeri speciali.

src_canimath_2023_printemps__Q15