Coupe Animath Automne 2024

Compute (2039−2024)²/9

Compute $\frac{(2039-2024{)}^2}{9}.$

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 25 Fonte: apri PDF

Computo (2039−2024) 2/9

Calcolo $\frac{(2039-2024{)}^2}{9}.$

Qui si aspetta solo una risposta numerica.

Risposta: 25 src_canimath_2024_automne__Q01

Find angle QDP using two angle bisectors from point D on triangle side

Let $ABC$ be a triangle and $D$ a point on segment $[BC]$ (other than $B$ and $C$). Let $P$ be the point on segment $[AB]$ such that $(DP)$ is the angle bisector of $\widehat{ADB}$, and $Q$ the point on segment $[AC]$ such that $(DQ)$ is the angle bisector of $\widehat{CDA}$.

What is the angle $\widehat{QDP}$?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 90 Fonte: apri PDF

Find angolo QDP utilizzando due bisettori angolari dal punto D sul lato del triangolo

Il $ABC$ deve essere un triangolo e $D$ un punto sul segmento $[BC]$ (diversi da $B$ e $C$). Il punto $P$ deve essere il punto del segmento $[AB]$ in modo tale che $(DP)$ sia il bisettore d’angolo di $\widehat{ADB}$, e $Q$ il punto del segmento $[AC]$ in modo tale che $(DQ)$ sia il bisettore d’angolo di $\widehat{CDA}$.

Qual è l’angolo $\widehat{QDP}$?

Risposta: 90 src_canimath_2024_automne__Q02

Positive integers a,b,n with a,b | n and n=a+b+ab; show a=b

Let $a$, $b$, and $n$ be three strictly positive integers such that $a$ and $b$ both divide $n$, and $n=a+b+ab$. Show that $a=b$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I numeri interi positivi a,b,n con a,b. n e n=a+b+ab; mostrare a=b

Lasciate che $a$, $b$ e $n$ siano tre integri rigorosamente positivi in modo tale che $a$ e $b$ dividano entrambi $n$ e $n=a+b+ab$. Mostra che $a=b$.

src_canimath_2024_automne__Q03

Octagon with blue integers on sides; can vertex products be 1,2,…,8 in some order?

On each side of an octagon, Anna writes in blue a strictly positive integer (the 8 integers she writes are not necessarily distinct). Then, on each vertex of the octagon, she writes in red the product of the two blue integers written at the ends of the two sides meeting at that vertex. Can Anna choose the blue integers so that the red integers written on the vertices are exactly $1,2,3,4,5,6,7,8$ (not necessarily in that order)?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Octogono con integri blu sui lati; i prodotti verticali possono essere 1,2,…,8 in qualche ordine?

Su ciascun lato di un ottagono, Anna scrive in blu un intero rigorosamente positivo (gli 8 interi che scrive non sono necessariamente distinti). Poi, su ciascun vertice dell’ottagono, scrive in rosso il prodotto dei due numeri interi blu scritti alle estremità dei due lati che si incontrano a quel vertice. Anna può scegliere i numeri interi blu in modo che i numeri interi rossi scritti sui vertici siano esattamente $1,2,3,4,5,6,7,8$ (non necessariamente in quell’ordine)?

src_canimath_2024_automne__Q04

2024×2024 grid, k colors; min k so any coloring has 3 cells with distinct colors in L-shape

Consider a $2024\times 2024$ grid. Quentin has $k$ colors and colors each of the $2024^2$ cells of the grid with one of the $k$ colors, so that each color is used at least once. Determine the smallest positive integer $k$ verifying the following property:

Whatever Quentin’s coloring, one can always find three cells $C_1$, $C_2$, and $C_3$ of pairwise distinct colors such that $C_1$ and $C_2$ are in the same row, and $C_2$ and $C_3$ are in the same column.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Colorazione, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

2024×2024 griglia, k colori; min k in modo che ogni colorazione abbia 3 celle con colori distinti in forma L

Considera una griglia $2024\times 2024$. Quentin ha $k$ colori e colori per ciascuna delle celle $2024^2$ della griglia con uno dei colori $k$, in modo che ogni colore sia utilizzato almeno una volta. Determinare il numero intero positivo più piccolo $k$ verificando la seguente proprietà:

Qualunque sia il colore di Quentin, si possono sempre trovare tre celle $C_1$, $C_2$ e $C_3$ di colori distinti in coppia in modo tale che $C_1$ e $C_2$ sono nella stessa riga, e $C_2$ e $C_3$ sono nella stessa colonna.

src_canimath_2024_automne__Q05

Square ABCD, equilateral triangles ABE and DAF exterior; midpoint H of EF, G = (BF)∩(CE); show GH=GC

Let $ABCD$ be a square, and $E$ and $F$ points exterior to $ABCD$ such that triangles $ABE$ and $DAF$ are equilateral. Let $H$ be the midpoint of $[EF]$ and $G$ the intersection point of lines $(BF)$ and $(CE)$. Show that $GH=GC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrato, triangoli equilaterali ABE e DAF esteriori; punto medio H di EF, G = (BF) ∩(CE); mostra GH=GC

$ABCD$ sia quadrato e $E$ e $F$ puntino l’esterno di $ABCD$ in modo tale che i triangoli $ABE$ e $DAF$ siano equilaterali. $H$ sia il punto medio di $[EF]$ e $G$ il punto di intersezione delle linee $(BF)$ e $(CE)$. Mostra che $GH=GC$.

src_canimath_2024_automne__Q06

Reals a,b,c>0 with pairwise sum ≥ product; show a+b+c ≥ (3/4)abc

Let $a$, $b$, and $c$ be strictly positive real numbers such that $a+b\ge ab,b+c\ge bc,c+a\ge ca.$ Show that $a+b+c\ge \frac{3}{4}abc$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali a,b,c>0 con il prodotto di somma in coppia ≥; mostrare a+b+c ≥ (3/4) abc

Che $a$, $b$ e $c$ siano numeri reali rigorosamente positivi in modo tale che $a+b\ge ab,b+c\ge bc,c+a\ge ca.$ Mostri che $a+b+c\ge \frac{3}{4}abc$.

src_canimath_2024_automne__Q07

Compute 1/x + 1/y given x+y = 2024xy

Let $x$ and $y$ be nonzero real numbers such that $x+y=2024xy$. Compute $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.$

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 2024 Fonte: apri PDF

Calcola 1/x + 1/y data x+y = 2024xy

$x$ e $y$ siano numeri reali non zero come $x+y=2024xy$. Calcolo $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.$

Qui si aspetta solo una risposta numerica.

Risposta: 2024 src_canimath_2024_automne__Q08

Integers a≥2,b≥2 with (a−1)/(b−1)−a/b=1; show a/b and (a−1)/(b−1) are integers

Let $a\ge 2$ and $b\ge 2$ be two integers. Suppose that $\frac{a-1}{b-1}-\frac{a}{b}=1.$ Show that $\frac{a}{b}$ and $\frac{a-1}{b-1}$ are integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Integra a≥2,b≥2 con (a−1)/(b−1)−a/b=1; mostrare a/b e (a−1)/(b−1) sono integri

$a\ge 2$ e $b\ge 2$ siano due integri. Supponiamo che $\frac{a-1}{b-1}-\frac{a}{b}=1.$ Mostri che $\frac{a}{b}$ e $\frac{a-1}{b-1}$ sono numeri interi.

src_canimath_2024_automne__Q09

Existence of 5 points with quadrilateral and equal-length conditions

Determine whether there exist five distinct points $A$, $B$, $C$, $D$, and $P$ in the plane, verifying the following conditions: \begin{itemize} \item the quadrilateral $ABCD$ is non-self-intersecting; \item the point $P$ lies strictly inside this quadrilateral; \item the segments $[AP]$, $[BP]$, $[CP]$, and $[DP]$ are all contained in the interior of quadrilateral $ABCD$; \item the equalities of lengths $AP=AB$, $BP=BC$, $CP=CD$, and $DP=DA$. \end{itemize}

Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Esistenza di 5 punti con condizioni quadrilaterali e di lunghezza uguale

Determinare se nel piano esistono cinque punti distinti $A$, $B$, $C$, $D$ e $P$, verificando le seguenti condizioni: \begin{itemize} \item il quadrilaterale $ABCD$ non si interseca; \item il punto $P$ si trova rigorosamente all’interno di questo quadrilaterale; \item i segmenti $[AP]$, $[BP]$, $[CP]$ e $[DP]$ sono tutti contenuti all’interno del quadrilaterale $ABCD$; \item le equalità delle lunghezze $AP=AB$, $BP=BC$, $CP=CD$ e $DP=DA$. # Finire #

src_canimath_2024_automne__Q10

2024×2024 grid, k colors; min k so any coloring has 3 cells with distinct colors in L-shape (lycéen version)

Consider a $2024\times 2024$ grid. Quentin has $k$ colors and colors each of the $2024^2$ cells of the grid with one of the $k$ colors, so that each color is used at least once. Determine the smallest positive integer $k$ verifying the following property:

Whatever Quentin’s coloring, one can always find three cells $C_1$, $C_2$, and $C_3$ of pairwise distinct colors such that $C_1$ and $C_2$ are in the same row, and $C_2$ and $C_3$ are in the same column.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Colorazione, Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Stima, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

2024×2024 griglia, k colori; min k in modo che ogni colorazione abbia 3 celle con colori distinti in forma di L (versione lycéen)

Considera una griglia $2024\times 2024$. Quentin ha $k$ colori e colori per ciascuna delle celle $2024^2$ della griglia con uno dei colori $k$, in modo che ogni colore sia utilizzato almeno una volta. Determinare il numero intero positivo più piccolo $k$ verificando la seguente proprietà:

Qualunque sia il colore di Quentin, si possono sempre trovare tre celle $C_1$, $C_2$ e $C_3$ di colori distinti in coppia in modo tale che $C_1$ e $C_2$ sono nella stessa riga, e $C_2$ e $C_3$ sono nella stessa colonna.

src_canimath_2024_automne__Q11

Square ABCD, equilateral triangles ABP and DAQ exterior; compute NM/NC

Let $ABCD$ be a square, and $P$ and $Q$ points exterior to $ABCD$ such that triangles $ABP$ and $DAQ$ are equilateral. Let $N$ be the midpoint of $[PQ]$ and $M$ the intersection point of lines $(BQ)$ and $(DP)$. Compute $\frac{NM}{NC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrato, triangoli equilaterali ABP e DAQ esteriore; calcolo NM/NC

$ABCD$ sia quadrato e $P$ e $Q$ puntino l’esterno di $ABCD$ in modo tale che i triangoli $ABP$ e $DAQ$ siano equilaterali. $N$ sia il punto medio di $[PQ]$ e $M$ il punto di intersezione delle linee $(BQ)$ e $(DP)$. Calcolare $\frac{NM}{NC}$.

src_canimath_2024_automne__Q12

Infinite integer sequence: k+l | a_k+a_l; show k−l | a_k−a_l for k≠l

Let $a_1,a_2,\dots$ be an infinite sequence of integers. Suppose that for all integers $k\ge 1$ and $l\ge 1$, $k+l$ divides $a_k+a_l$. Show that for all integers $k\ge 1$ and $l\ge 1$ with $k\ne l$, $k-l$ divides $a_k-a_l$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi infiniti: k+l ∙ a_k+a_l; mostrare k−l ∙ a_k−a_l per k≠l ∙*

Lasciate che $a_1,a_2,\dots$ sia una sequenza infinita di numeri interi. Supponiamo che per tutti gli integri $k\ge 1$ e $l\ge 1$, $k+l$ divida $a_k+a_l$. Indicare che per tutti gli integri $k\ge 1$ e $l\ge 1$ con $k\ne l$, $k-l$ divide $a_k-a_l$.

src_canimath_2024_automne__Q13

100 reals on circle, each ≤ sum of two neighbors; max number of strictly positive ones

One hundred real numbers are placed around a circle, so that each number is at most equal to the sum of its two neighbors (going clockwise). Determine the maximum number of strictly positive real numbers that can appear on this circle.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*100 reales su un cerchio, ogni ≤ somma di due vicini; numero massimo di quelli strettamente positivi *

Un centinaio di numeri reali sono posizionati attorno a un cerchio, in modo che ogni numero sia al massimo uguale alla somma dei suoi due vicini (andando in senso orario). Determinare il numero massimo di numeri reali rigorosamente positivi che possono apparire su questo cerchio.

src_canimath_2024_automne__Q14

Find largest α such that for all x_1,…,x_2024 some index i gives sum of fractional parts ≤ α

Determine the largest real number $\alpha$ having the following property:

For all real numbers $x_1,\dots ,x_{2024}$, there always exists an index $i$ with $1\le i\le 2024$ such that $\{x_i-x_1\}+\{x_i-x_2\}+\{x_i-x_3\}+\cdots +\{x_i-x_{2024}\}\le \alpha .$

We recall that $\{x\}$ denotes the fractional part of the real number $x$, that is, $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ where $\lfloor x\rfloor$ is the integer part of $x$ (the largest integer less than or equal to $x$). For example, $\{1.2\}=0.2$, $\{3\}=0$, and $\{-2.4\}=0.6$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Estremalità, Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Stima, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca la più grande α tale che per tutte le x_1,…,x_2024 qualche indice i dia la somma delle parti frazionarie ≤ α

Determinare il numero reale più grande $\alpha$ che ha la seguente proprietà:

Per tutti i numeri reali $x_1,\dots ,x_{2024}$, esiste sempre un indice $i$ con $1\le i\le 2024$ tale che $\{x_i-x_1\}+\{x_i-x_2\}+\{x_i-x_3\}+\cdots +\{x_i-x_{2024}\}\le \alpha .$

Ricordiamo che $\{x\}$ indica la parte frazionaria del numero reale $x$, cioè $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ dove $\lfloor x\rfloor$ è la parte integrale di $x$ (il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$). Per esempio, $\{1.2\}=0.2$, $\{3\}=0$ e $\{-2.4\}=0.6$.

src_canimath_2024_automne__Q15