Coupe Animath Printemps 2024

Three numbers sum to 96 with ratio and difference conditions

The sum of three numbers is 96. The first of them is 6 times the third, and the third is 40 less than the second. What is the value of the first number?

Only a numerical answer is expected.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 42 Fonte: apri PDF

Tre numeri sommano 96 con condizioni di rapporto e di differenza

La somma di tre numeri è 96. La prima è 6 volte la terza, e la terza è 40 meno della seconda. Qual è il valore del primo numero?

Solo una risposta numerica è prevista.

Risposta: 42 src_canimath_2024_printemps__Q01

Parallelogram with equal segments, angle bisector perpendicular to KL

Let $A B C D$ be a parallelogram. Let $K$ be a point on segment $[B C]$ and $L$ a point on segment $[C D]$ such that $C K = C L$ . Show that the bisector of $D A B$ and the line $(K L)$ are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Parallelogramma con segmenti uguali, bisettore angolare perpendicolare a KL

$A B C D$ sia un parallelo. Il $K$ deve essere un punto del segmento $[B C]$ e $L$ un punto del segmento $[C D]$ tale che $C K = C L$ . Indicare che il bisettore di $D A B$ e la linea $(K L)$ sono perpendicolari.

src_canimath_2024_printemps__Q02

Smallest n so product of n consecutive positives always divisible by 45

Determine the smallest positive integer $n$ such that the product of $n$ consecutive positive integers is always divisible by 45.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Il più piccolo n so prodotto di n positivi consecutivi sempre divisibili per 45

Determinare il più piccolo intero positivo $n$ in modo tale che il prodotto di $n$ interi positivi consecutivi sia sempre divisibile per 45.

Risposta: 6 src_canimath_2024_printemps__Q03

Color n positive reals blue/green/red so each color’s sum is less than sum of others

Baptiste writes $n$ strictly positive real numbers on a board (not necessarily distinct). He then notices that each real number written on the board is strictly less than the sum of the $n - 1$ other real numbers. Baptiste would like to color each real number blue, green, or red, so that the sum of the reals of each given color is strictly less than the sum of the other reals. Can Baptiste fulfil his wish:

if $n = 4$ ?

if $n = 5$ ?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Colore n positivo reale blu/verde/rosso così che la somma di ogni colore è inferiore alla somma degli altri

Baptiste scrive $n$ numeri reali rigorosamente positivi su una lavagna (non necessariamente distinti). Egli nota poi che ogni numero reale scritto sulla lavagna è strettamente inferiore alla somma degli altri numeri reali $n - 1$ . Baptiste vorrebbe colorare ogni numero reale in blu, verde o rosso, in modo che la somma dei numeri reali di ciascun dato colore sia rigorosamente inferiore alla somma degli altri numeri reali. Baptiste può soddisfare il suo desiderio:

if $n = 4$ ?

if $n = 5$ ?

src_canimath_2024_printemps__Q04

Graph connectivity: between any two cities, path via concrete roads with at most 2 intermediates

At the Animath camp there are at least four cities. Any two cities are connected either by a concrete road or by a dirt path (but not both at the same time). She does not wish to use any dirt paths. She notices that to travel from her home city to any other city, using only concrete roads, she must always pass through at least two intermediate cities.

Show that between any two cities it is always possible to travel from one to the other using only concrete roads and passing through at most two intermediate cities.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Connectività grafica: tra due città, percorso su strade di cemento con al massimo 2 intermedi

Nel campo di Animath ci sono almeno quattro città. Le due città sono collegate sia da una strada di cemento che da un sentiero di terra (ma non entrambe contemporaneamente). Lei non vuole usare alcun sentiero di terra. Si accorge che per viaggiare dalla sua città natale in un’altra città, utilizzando solo strade di cemento, deve sempre attraversare almeno due città intermedi.

Mostrare che tra due città è sempre possibile viaggiare da una ad un’altra utilizzando solo strade di cemento e passando per un massimo di due città intermedi.

src_canimath_2024_printemps__Q05

Find all values of symmetric product expression given equal ratios

Let $x, y, z$ be three non-zero real numbers (not necessarily positive) such that $\frac{x + y}{z} = \frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} .$ Find all values that the number $\frac{( x + y ) ( y + z ) ( z + x )}{x y z}$ can take.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca tutti i valori dell’espressione del prodotto simmetrico dati rapporti uguali *

Lasciate che $x, y, z$ siano tre numeri reali non zero (non necessariamente positivi) in modo tale che $\frac{x + y}{z} = \frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} .$ Trova tutti i valori che il numero $\frac{( x + y ) ( y + z ) ( z + x )}{x y z}$ può prendere.

src_canimath_2024_printemps__Q06

Isosceles triangle geometry: show BH bisects angle GBA

Let $A B C$ be an isosceles triangle with apex $A$ . Let $D$ be the midpoint of segment $[A C]$ and $G$ the centroid of triangle $A B C$ . The line $(B D)$ intersects the circle of diameter $[A C]$ at point $E$ , in such a way that $E$ and $B$ are on either side of $(A C)$ . The perpendicular bisector of segment $[E C]$ meets the line $(A G)$ at point $H$ .

Show that the line $(B H)$ is the bisector of angle $GB A$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Geometria triangolare di isosceles: mostra l’angolo GBA

$A B C$ sia un triangolo di uguali braccia con l’apice $A$ . Che $D$ sia il punto medio del segmento $[A C]$ e $G$ il centroide del triangolo $A B C$ . La linea $(B D)$ interseca il cerchio di diametro $[A C]$ al punto $E$ in modo tale che $E$ e $B$ siano su entrambi i lati di $(A C)$ . Il bisettore perpendicolare del segmento $[E C]$ incontra la linea $(A G)$ al punto $H$ .

Indicare che la linea $(B H)$ è il bisettore dell’angolo $GB A$ .

src_canimath_2024_printemps__Q07

Compute a simple expression with powers of 3

Compute $\frac{3 ^{3} + 3 ^{3}}{54} .$

Only a numerical answer is expected.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Calcolare un’espressione semplice con potenze di 3

Calcolo $\frac{3 ^{3} + 3 ^{3}}{54} .$

Solo una risposta numerica è prevista.

Risposta: 1 src_canimath_2024_printemps__Q08

Two linear equations in a,b,c imply a^2+b^2=2c^2

Let $a$ , $b$ and $c$ be three reals satisfying both equations $4 a + 3 b = c$ and $3 a - 4 b = 7 c$ . Show that $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ .

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due equazioni lineari in a,b,c implicano a^2+b^2=2c^2

Che $a$ , $b$ e $c$ siano tre reali che soddisfano entrambe le equazioni $4 a + 3 b = c$ e $3 a - 4 b = 7 c$ . Mostra che $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ .

src_canimath_2024_printemps__Q09

Triangle with incenter: show angle BID is at least 90 degrees

Let $A B C$ be a non-flat triangle. Let $I$ be the center of its inscribed circle and $D$ the point of intersection of the bisector of angle $B A C$ with the segment $[B C]$ . Show that $B I D \geq 9 0^{\circ}$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con incentro: angolo di mostra BID è di almeno 90 gradi

Lasciate che $A B C$ sia un triangolo non piatto. $I$ sia il centro del suo cerchio inscritto e $D$ il punto di intersezione del bisettore di angolo $B A C$ con il segmento $[B C]$ . Mostra che $B I D \geq 9 0^{\circ}$ .

src_canimath_2024_printemps__Q10

Color n positive reals blue/green/red so each color’s sum is less than sum of others (lycee)

Baptiste writes $n$ strictly positive real numbers on a board (not necessarily distinct). He then notices that each real number written on the board is strictly less than the sum of the $n - 1$ other real numbers. Baptiste would like to color each real number blue, green, or red, so that the sum of the reals of each given color is strictly less than the sum of the other reals. Can Baptiste fulfil his wish:

if $n = 4$ ?

if $n = 5$ ?

*Colore n positivo reale blu/verde/rosso in modo che la somma di ciascun colore sia inferiore alla somma degli altri (lycee) *

Baptiste scrive $n$ numeri reali rigorosamente positivi su una lavagna (non necessariamente distinti). Egli nota poi che ogni numero reale scritto sulla lavagna è strettamente inferiore alla somma degli altri numeri reali $n - 1$ . Baptiste vorrebbe colorare ogni numero reale in blu, verde o rosso, in modo che la somma dei numeri reali di ogni dato colore sia strettamente inferiore alla somma degli altri numeri reali. Baptiste può soddisfare il suo desiderio:

if $n = 4$ ?

if $n = 5$ ?

src_canimath_2024_printemps__Q11

Find all primes p such that 1..p can be partitioned into groups of equal consecutive sums

Determine all prime numbers $p$ satisfying the following property: if one writes the integers from $1$ to $p$ on a board, one can separate them into several groups where the sum of the integers in each group is the same, and within each group the integers form a set of consecutive integers.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le prime p in modo che 1..p possa essere suddivisa in gruppi di uguali somme consecutive

Determinare tutti i numeri primi $p$ che soddisfano la seguente proprietà: se si scrivono i numeri interi da $1$ a $p$ su una tavola, si possono separare in diversi gruppi in cui la somma dei numeri interi in ogni gruppo è la stessa, e all’interno di ciascun gruppo i numeri interi formano un insieme di numeri interi consecutivi.

src_canimath_2024_printemps__Q12

Minimum operations to checkerboard-color a 100x100 grid by recoloring 99 cells per row/column

Consider a $100 \times 100$ grid where all cells are initially white. An operation consists of choosing a row or a column of the grid and changing the color of 99 of the cells in that row or column. What is the smallest number of operations needed to go from the all-white configuration to a checkerboard coloring?

A checkerboard coloring is a coloring in which any two cells sharing a side always have different colors.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di operazioni per colorare una griglia da 100x100 su scacchi mediante la ricolorazione di 99 celle per riga/colonna

Considera una griglia $100 \times 100$ in cui tutte le celle sono inizialmente bianche. Un’operazione consiste nel selezionare una riga o una colonna della griglia e nel cambiare il colore di 99 delle celle di quella riga o colonna. Qual è il minor numero di operazioni necessarie per passare dalla configurazione completamente bianca a una vernice da scacchi?

Un colore di scacchiatura è un colore in cui due celle che condividono un lato hanno sempre colori diversi.

src_canimath_2024_printemps__Q13

Isosceles triangle geometry: BH bisects angle GEA; EF parallel to BH

Let $A B C$ be an isosceles triangle with apex $A$ . Let $D$ be the midpoint of segment $[A C]$ and $G$ the centroid of triangle $A B C$ . The line $(B D)$ intersects the circle of diameter $[A C]$ at point $E$ , in such a way that $E$ and $B$ are on either side of $(A C)$ . The perpendicular bisector of segment $[E C]$ meets the line $(A G)$ at point $H$ .

Show that the line $(B H)$ is the bisector of angle $GE A$ .

Let $F$ be the foot of the altitude from vertex $A$ in triangle $A B C$ . Show that lines $(E F)$ and $(B H)$ are parallel.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Geometria triangolare isosceles: BH bisecta angolo GEA; EF parallelo a BH

$A B C$ sia un triangolo di uguali braccia con l’apice $A$ . Che $D$ sia il punto medio del segmento $[A C]$ e $G$ il centroide del triangolo $A B C$ . La linea $(B D)$ interseca il cerchio di diametro $[A C]$ al punto $E$ in modo tale che $E$ e $B$ siano su entrambi i lati di $(A C)$ . Il bisettore perpendicolare del segmento $[E C]$ incontra la linea $(A G)$ al punto $H$ .

Indicare che la linea $(B H)$ è il bisettore dell’angolo $GE A$ .

Che $F$ sia il piede dell’altitudine dal vertice $A$ nel triangolo $A B C$ . Indicare che le linee $(E F)$ e $(B H)$ sono parallele.

src_canimath_2024_printemps__Q14

Find largest c so that sum of 1/z_i < c guarantees Theo can give every student a liked gift

At the Animath camp, there are $n$ students, numbered from $1$ to $n$ , where $n \geq 2$ is a natural number. Théo has infinitely many different gifts, each existing in only one copy. Moreover, student number $i$ likes a finite number $z_{i} > 0$ of the gifts proposed by Théo.

Determine, as a function of $n$ , the largest real $c > 0$ satisfying the following property: for any positive integers $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ such that $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}} < c$ , Théo can always arrange things so that each student receives a gift they like (with each gift going to at most one student).

Topic: Combinatoria Metodo: Biiezione, Estremalità, Induzione Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Trova il più grande c in modo che la somma di 1/z_i < c garantisca che Theo possa dare a ogni studente un regalo *

Nel campo di Animath ci sono $n$ studenti, numerati da $1$ a $n$ , dove $n \geq 2$ è un numero naturale. Théo ha infiniti doni diversi, ognuno esistente in una sola copia. Inoltre, al numero di studenti $i$ piace un numero finito $z_{i} > 0$ dei regali proposti da Théo.

Determinare, come funzione di $n$ , il più grande reale $c > 0$ che soddisfi la seguente proprietà: per qualsiasi numero intero positivo $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ tale che $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}} < c$ , Théo può sempre organizzare le cose in modo che ogni studente riceva un regalo che gli piace (con ogni regalo che va a un studente al massimo).

src_canimath_2024_printemps__Q15

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