Coupe Animath Automne 2025

Find central angle AOC from two given angles OBA and OBC on a circle

Let $A$, $B$ and $C$ be three points on a circle with center $O$, placed so that $A$, $O$ and $C$ are not aligned, so that $B$ lies on the minor arc $AC$, and respecting the following angle equalities: $\widehat{OBA}=77^{\circ }$ and $\widehat{OBC}=33^{\circ }$. What is the measure of the angle $\widehat{AOC}$?

Only a numerical answer is expected here.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 140 degrees Fonte: apri PDF

Trovare l’angolo centrale AOC da due angoli dati OBA e OBC su un cerchio

Le $A$, $B$ e $C$ siano tre punti su un cerchio con il centro $O$, posizionati in modo tale che $A$, $O$ e $C$ non siano allineati, in modo tale che $B$ si trovi sull’arco minore $AC$, e rispettando le seguenti uguali angolari: $\widehat{OBA}=77^{\circ }$ e $\widehat{OBC}=33^{\circ }$. Qual è la misura dell’angolo $\widehat{AOC}$?

Solo una risposta numerica è prevista qui.

Risposta: 140 degrees src_canimath_2025_automne__Q01

Maximum candies from 2-coloring 9 connected circles

In the following figure there are $9$ circles. We say that two of these circles are connected if they are joined by a segment that passes through no other circle. Eva colors each of the circles either green or red. Once all the circles are colored, she wins one candy for each pair of two connected circles of different colors. Determine the maximal number of candies that Eva can obtain in this way.

Topic: Combinatoria, topic_combinatoria Metodo: Grafi, Colorazione, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massimo dolci di 2 colori 9 cerchi collegati

Nella figura seguente ci sono cerchi $9$. Diciamo che due di questi cerchi sono collegati se sono uniti da un segmento che non passa attraverso nessun altro cerchio. Eva colora ciascuna delle cerchie in verde o rosso. Una volta che tutti i cerchi sono colorati, vince un caramello per ogni coppia di due cerchi collegati di colori diversi. Determina il numero massimo di caramelle che Eva può ottenere in questo modo.

src_canimath_2025_automne__Q02

Show D, E, F, X are concyclic in a triangle with reflected points

Let $ABC$ be a triangle whose smallest side is $[BC]$, and let $D$ be a point on the segment $[BC]$. Let $E$ be on the segment $[AC]$ such that $CD=CE$, and $F$ on the segment $[AB]$ such that $BD=BF$. Let further $P$ be the symmetric point of $D$ with respect to $B$, and $Q$ the symmetric point of $D$ with respect to $C$. Let $X$ be the intersection point of the lines $(QE)$ and $(PF)$. Show that the points $D$, $E$, $F$ and $X$ lie on the same circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mostra che D, E, F, X sono conciclici in un triangolo con punti riflessi

Che $ABC$ sia un triangolo il cui lato più piccolo è $[BC]$, e che $D$ sia un punto sul segmento $[BC]$. Il segmento $E$ deve essere $[AC]$ in modo tale che $CD=CE$ e $F$ nel segmento $[AB]$ in modo tale che $BD=BF$. Infine $P$ è il punto simmetrico di $D$ rispetto a $B$ e $Q$ il punto simmetrico di $D$ rispetto a $C$. Il punto di intersezione delle linee $(QE)$ e $(PF)$ è $X$. Indicare che i punti $D$, $E$, $F$ e $X$ si trovano sullo stesso cerchio.

src_canimath_2025_automne__Q03

Find all b given remainders 2 and 4 in two Euclidean divisions

Hadriel has chosen two strictly positive integers $a$ and $b$. When he does the Euclidean division of $a$ by $b$, the remainder is $2$. When he does the Euclidean division of $b$ by $a$, the remainder is $4$. Determine all the possible values that $b$ can take.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le b con i rimanenti 2 e 4 in due divisioni euclidiche

Hadriel ha scelto due enti rigorosamente positivi $a$ e $b$. Quando fa la divisione euclidica di $a$ per $b$, il rimanente è $2$. Quando fa la divisione euclidica di $b$ per $a$, il rimanente è $4$. Determinare tutti i valori possibili che $b$ può assumere.

src_canimath_2025_automne__Q04

Among four positive reals, a pair’s difference is less than a third of the sum of the other two

Show that among four strictly positive real numbers, there always exist two of them whose difference (that is to say the larger of the two minus the smaller) is strictly less than one third of the sum of the other two.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tra quattro reali positivi, la differenza di una coppia è inferiore a un terzo della somma delle altre due

Mostrate che tra quattro numeri reali rigorosamente positivi, esistono sempre due di essi la cui differenza (cioè la più grande delle due meno la più piccola) è rigorosamente inferiore a un terzo della somma delle altre due.

src_canimath_2025_automne__Q05

Equal areas of parallelogram ABCD and constructed parallelogram AEFG

Let $ABCD$ be a parallelogram. Let $E$ be a point on the segment $[BC]$. We draw the parallel to the line $(AE)$ passing through $D$, on which we place two points, $F$ and $G$, such that $D$ lies on the segment $[FG]$ and such that the quadrilateral $AEFG$ is a parallelogram. Show that the areas of the two parallelograms $ABCD$ and $AEFG$ are equal.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Equivalenti superfici del parallelogramma ABCD e del parallelogramma costruito AEFG

$ABCD$ sia un parallelo. Il punto $E$ deve essere un punto del segmento $[BC]$. Tracciamo il parallelo alla linea $(AE)$ che attraversa $D$, su cui posizionamo due punti, $F$ e $G$, in modo tale che $D$ si trova sul segmento $[FG]$ e in modo tale che il quadrilaterale $AEFG$ sia un parallelo. Indicare che le superfici dei due parallelogrammi $ABCD$ e $AEFG$ sono uguali.

src_canimath_2025_automne__Q06

Grid with equal row/column sums at nonzero cells implies m=n

Aurélien fills a grid with $m$ rows and $n$ columns with non-negative real numbers, in such a way that each row and each column contains at least one non-zero element. He also wants that for every cell containing a non-zero element, the sum of the elements of its row and the sum of the elements of its column are identical. Show that if he has succeeded in filling his grid while respecting these constraints, then $m=n$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Grid con somme di righe/colonne uguali nelle celle non zero implica m=n

Aurélien riempie una griglia con righe $m$ e colonne $n$ con numeri reali non negativi, in modo tale che ogni riga e ogni colonna contengano almeno un elemento non zero. Vuole anche che per ogni cella che contiene un elemento non zero, la somma degli elementi della sua riga e la somma degli elementi della sua colonna siano identiche. Mostrare che se è riuscito a riempire la griglia rispettando questi vincoli, $m=n$.

src_canimath_2025_automne__Q07

Evaluate a nested product of radicals

Calculate $\sqrt{12\sqrt{45\sqrt{250\sqrt{\frac{400}{\sqrt{16}}}}}}.$

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Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Evaluare un prodotto di radicali annidati

Calcolare $\sqrt{12\sqrt{45\sqrt{250\sqrt{\frac{400}{\sqrt{16}}}}}}.$

Solo una risposta numerica è prevista qui.

src_canimath_2025_automne__Q08

Right-triangle area equals sum of two lune-like regions between semicircles

Let $B$, $C$ be two points of the plane, $K_1$ a semicircle of diameter $[BC]$ and $A$ a point on $K_1$. Let $K_2$ be the semicircle of diameter $[CA]$ and $K_3$ the semicircle of diameter $[AB]$, situated outside the triangle $ABC$. We denote by $S$ the area of the triangle $ABC$, by $S_1$ the area comprised between the arc $\widehat{AB}$ of $K_1$ and the arc $\widehat{AB}$ of $K_3$, and by $S_2$ the area comprised between the arc $\widehat{AC}$ of $K_1$ and the arc $\widehat{AC}$ of $K_2$. Show that $S=S_1+S_2$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area del triangolo rettangolo è uguale alla somma di due regioni simili alla luna tra semicircoli

$B$, $C$ siano due punti del piano, $K_1$ un semicircolo di diametro $[BC]$ e $A$ un punto su $K_1$. Il $K_2$ deve essere il semicircolo di diametro $[CA]$ e $K_3$ il semicircolo di diametro $[AB]$, situato al di fuori del triangolo $ABC$. Indichiamo con $S$ la superficie del triangolo $ABC$, con $S_1$ la superficie compresa tra l’arco $\widehat{AB}$ di $K_1$ e l’arco $\widehat{AB}$ di $K_3$, e con $S_2$ la superficie compresa tra l’arco $\widehat{AC}$ di $K_1$ e l’arco $\widehat{AC}$ di $K_2$. Mostra che $S=S_1+S_2$.

src_canimath_2025_automne__Q09

Three distinct integers making x+n, x+m, x+l a geometric progression forces x rational

Hadriel has chosen a real number $x$. He found three pairwise distinct positive integers $n$, $m$ and $l$ such that the numbers $x+n$, $x+m$ and $x+l$ are in geometric progression. Show that $x$ is a rational number, that is to say that it is written in the form $\frac{a}{b}$ where $a$ and $b$ are integers with $b\ne 0$.

We say that real numbers $a$, $b$, $c$ are in geometric progression if there exists a non-zero real number $k$ such that $c=kb=k^{2}a$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tre numeri interi distinti che rendono x+n, x+m, x+l una progressione geometrica forze x razionale

Hadriel ha scelto un numero reale $x$. Ha trovato tre integri positivi distinti in coppia $n$, $m$ e $l$ in modo tale che i numeri $x+n$, $x+m$ e $x+l$ siano in progressione geometrica. Mostrare che $x$ è un numero razionale, cioè che è scritto nella forma $\frac{a}{b}$ dove $a$ e $b$ sono interi con $b\ne 0$.

Diciamo che i numeri reali $a$, $b$, $c$ sono in progressione geometrica se esiste un numero reale non zero $k$ tale che $c=kb=k^{2}a$.*

src_canimath_2025_automne__Q10

Show a 20-island graph with 172 ferry edges has diameter at most 2

There are $20$ islands in Animathland; some are connected to each other by ferry routes that go in both directions. Each pair of islands is connected by at most one route, and there are in total $172$ routes. Show that it is possible to travel from any island to any other one by changing ferry at most once (that is to say, passing through at most one other island).

Topic: Combinatoria, topic_combinatoria Metodo: Grafi, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Mostra un grafico di 20 isole con 172 bordi di traghetto con diametro massimo 2

Ci sono isole $20$ in Animatland; alcune sono collegate tra loro da rotte di traghetto che vanno in entrambe le direzioni. Ogni coppia di isole è collegata da un percorso massimo e ci sono in totale percorsi $172$. Mostrare che è possibile viaggiare da un’isola a un’altra cambiando il traghetto una volta al massimo (cioè passando per un’altra isola al massimo).

src_canimath_2025_automne__Q11

Show Marie never writes 5 in the iterated product-plus-one, largest-prime-divisor process

Marie writes the number $2$ on a board. Then, each minute, she computes the product of all the numbers written on the board and adds $1$. If $n$ is the result of this operation, Marie then writes on the board the largest prime divisor of $n$. Marie never erases any of the numbers from the board. Show that Marie will never write the number $5$ on the board.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra che Marie non scrive mai 5 nel processo iterato di prodotto più uno, più grande di primo divisore

Marie scrive il numero $2$ su una lavagna. Poi, ogni minuto, calcola il prodotto di tutti i numeri scritti sulla lavagna e aggiunge $1$. Se $n$ è il risultato di questa operazione, Marie scrive sulla lavagna il più grande divisore primo di $n$. Marie non cancella mai i numeri dalla lavagna. Mostrare che Marie non scriverà mai il numero $5$ sulla lavagna.

src_canimath_2025_automne__Q12

Grid with equal row/column sums at nonzero cells implies m=n (lycée version)

Aurélien fills a grid with $m$ rows and $n$ columns with non-negative real numbers, in such a way that each row and each column contains at least one non-zero element. He also wants that for every cell containing a non-zero element, the sum of the elements of its row and the sum of the elements of its column are identical. Show that if he has succeeded in filling his grid while respecting these constraints, then $m=n$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Grid con somma di righe/colonne uguale nelle celle non a zero implica m=n (versione liceale)

Aurélien riempie una griglia con righe $m$ e colonne $n$ con numeri reali non negativi, in modo tale che ogni riga e ogni colonna contengano almeno un elemento non zero. Vuole anche che per ogni cella che contiene un elemento non zero, la somma degli elementi della sua riga e la somma degli elementi della sua colonna siano identiche. Mostrare che se è riuscito a riempire la griglia rispettando questi vincoli, $m=n$.

src_canimath_2025_automne__Q13

Show triangle DYZ is isosceles in a midpoint/semicircle configuration

Let $ABC$ be a triangle that is not isosceles at $A$. Let $D$, $E$ and $F$ be the midpoints of the sides $[BC]$, $[AC]$ and $[AB]$ respectively. The circle of diameter $[BC]$ cuts the half-lines $[DE)$ and $[DF)$ at $P$ and $Q$ respectively. The lines $(BP)$ and $(CQ)$ cut each other at $X$. The line $(AX)$ cuts the lines $(DE)$ and $(DF)$ at $Y$ and $Z$ respectively. Show that the triangle $DYZ$ is isosceles.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mostra che il triangolo DYZ è uguale a quello di una configurazione di punto medio/semicircolo

Che $ABC$ sia un triangolo che non è uguale a $A$. $D$, $E$ e $F$ siano i punti di mezzo dei lati $[BC]$, $[AC]$ e $[AB]$ rispettivamente. Il cerchio di diametro $[BC]$ taglia rispettivamente le metà linee $[DE)$ e $[DF)$ a $P$ e $Q$. Le linee $(BP)$ e $(CQ)$ si tagliano a $X$. La riga $(AX)$ taglia rispettivamente le righe $(DE)$ e $(DF)$ a $Y$ e $Z$. Indicare che il triangolo $DYZ$ è uguale.

src_canimath_2025_automne__Q14

Largest and smallest a-b for positive reals with running averages between 0 and 1

Let $n\ge 2$ be a fixed integer. Gaëtan chooses real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ such that among the $n$ numbers $\frac{x_1}{1},\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\dots ,\frac{x_1+\cdots +x_n}{n},$ the largest value taken is $1$ and the smallest value taken is $0$. Among the numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$, we denote by $a$ the largest and by $b$ the smallest. Gaëtan computes $a-b$ and writes this difference on the board. What is the largest number that Gaëtan can write on the board? What is the smallest?

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

A-b più grande e più piccola per i reali positivi con medie correnti comprese tra 0 e 1

$n\ge 2$ sia un numero intero fisso. Gaëtan sceglie i numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_n$ in modo tale che tra i numeri $n$ $\frac{x_1}{1},\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\dots ,\frac{x_1+\cdots +x_n}{n},$ il valore più grande preso sia $1$ e il valore più piccolo preso sia $0$. Tra i numeri $x_1,x_2,\dots ,x_n$, indichiamo con $a$ il più grande e con $b$ il più piccolo. Gaëtan calcola $a-b$ e scrive questa differenza sulla lavagna. Qual è il numero più grande che Gaëtan può scrivere sulla lavagna? Qual è il più piccolo?

src_canimath_2025_automne__Q15