Coupe Animath Printemps 2025

Compute a simple arithmetic expression with fractions

Compute $\frac{13}{6}+\frac{7}{10}+\frac{2}{15}.$ Only a simplified numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Calcolare un’espressione aritmetica semplice con frazioni

Calcolare $\frac{13}{6}+\frac{7}{10}+\frac{2}{15}.$ Qui si prevede una risposta numerica semplificata.

src_canimath_2025_printemps__Q01

Find angle PXQ in rectangle using two angle conditions

Let $ABCD$ be a rectangle with $AB>AD$. Let $P$ be the point on the half-line $(DA)$ such that $\widehat{DCP}=30^{\circ }$, and let $Q$ be the point on the segment $[CD]$ such that $\widehat{DAQ}=45^{\circ }$. Let $X$ be the intersection of the angle bisector of $\angle AQC$ with the line $(CP)$.

Determine the measure of angle $\widehat{PXQ}$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca angolo PXQ nel rettangolo utilizzando due condizioni angolari

Il $ABCD$ deve essere un rettangolo con $AB>AD$. Che $P$ sia il punto della metà $(DA)$ in modo tale che $\widehat{DCP}=30^{\circ }$, e che $Q$ sia il punto del segmento $[CD]$ in modo tale che $\widehat{DAQ}=45^{\circ }$. Il $X$ deve essere l’intersezione del bisettore angolare di $\angle AQC$ con la linea $(CP)$.

Determinare la misura dell’angolo $\widehat{PXQ}$.

src_canimath_2025_printemps__Q02

Find all real pairs (a,b) satisfying two rational equations

Find all real numbers $a$ and $b$ such that $a+b\ne 0$, $3a-b\ne 0$, and both of the following equations hold: $a=\frac{2}{a+b}\text{and}b=\frac{2}{3a-b}.$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie reali (a,b) che soddisfano due equazioni razionali

Trovare tutti i numeri reali $a$ e $b$ in modo tale che $a+b\ne 0$, $3a-b\ne 0$, e entrambe le seguenti equazioni siano valide: $a=\frac{2}{a+b}\text{and}b=\frac{2}{3a-b}.$

src_canimath_2025_printemps__Q03

Show a product of pairwise differences under permutation is even

Let $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ be five distinct positive integers. Let $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ be the same five integers written in some order (possibly the same order, possibly a different one).

Show that the product $(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)(a_4-b_4)(a_5-b_5)$ is even.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Mostra un prodotto di differenze in coppia sotto permutazione è pari

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ siano cinque numeri interi positivi distinti. Lasciate che $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ siano gli stessi cinque numeri interi scritti in qualche ordine (possibilmente lo stesso ordine, possibilmente un altro).

Indicare che il prodotto $(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)(a_4-b_4)(a_5-b_5)$ è pari.

src_canimath_2025_printemps__Q04

Prove PY = QX using incenter and equal-radius circles

Let $ABC$ be a triangle and $I$ the centre of its inscribed circle. The line parallel to $(BI)$ passing through $C$ meets the line $(CI)$ at $Q$. The line parallel to $(CI)$ passing through $B$ meets the line $(BI)$ at $P$. The segment $[PQ]$ meets the circle with centre $P$ passing through $B$ at $X$, and the circle with centre $Q$ passing through $C$ at $Y$.

Show that $PY=QX$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove PY = QX utilizzando cerchi di incentro e di raggio uguale

Che $ABC$ sia un triangolo e $I$ il centro del suo cerchio inciso. La linea parallela a $(BI)$ che passa attraverso $C$ incontra la linea $(CI)$ a $Q$. La linea parallela a $(CI)$ che passa attraverso $B$ incontra la linea $(BI)$ a $P$. Il segmento $[PQ]$ incontra il cerchio con il centro $P$ che attraversa $B$ a $X$, e il cerchio con il centro $Q$ che attraversa $C$ a $Y$.

Mostra che $PY=QX$.

src_canimath_2025_printemps__Q05

Prove all collinear integer-distance points have even pairwise distances

Let $n\ge 1$ be an integer. Rémi chose $2n+1$ collinear, pairwise distinct points such that all pairwise distances between these points are integers. Elsa observes that, for any point she picks among the $2n+1$ points, when she computes the $2n$ distances from that point to each of the other $2n$ points, she obtains an even count of odd distances.

Show that all pairwise distances between these $2n+1$ points are even integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Congruenze, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove che tutti i punti di distanza intera collineare hanno distanze pari

$n\ge 1$ sia un numero intero. Rémi ha scelto $2n+1$ collineare, punti separati in coppia in modo che tutte le distanze in coppia tra questi punti siano interi. Elsa osserva che, per qualsiasi punto sceglie tra i punti $2n+1$, quando calcola le distanze $2n$ da quel punto a ciascuno degli altri punti $2n$, ottiene un numero pari di distanze odd.

Mostrare che tutte le distanze in coppia tra questi punti $2n+1$ sono numeri interi.

src_canimath_2025_printemps__Q06

Max distinct values on board under a 2025-of-2027 divisibility condition

On a board are written 2027 strictly positive integers, not necessarily distinct. Whatever 2025 numbers one chooses from these 2027 numbers, each of the two remaining numbers divides the sum of the 2025 chosen numbers.

What is the maximum number of distinct values that can appear on the board?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Maximi valori distinti a bordo secondo una condizione di divisibilità 2025-2027

Su una lavagna sono scritti 2027 enti rigorosamente positivi, non necessariamente distinti. Qualunque numero 2025 si scelga tra questi numeri 2027, ciascuno dei due numeri rimanenti divide la somma dei numeri 2025 scelti.

Qual è il numero massimo di valori distinti che possono apparire sulla tabella?

src_canimath_2025_printemps__Q07

Compute nested radical expression involving square roots

Compute $\sqrt{\sqrt{27}\cdot \sqrt{75}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}\cdot \sqrt{54}}.$ Only a simplified numerical answer is expected here.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Espressione radicale incastonata di calcolo che coinvolge radici quadrate

Calcolare $\sqrt{\sqrt{27}\cdot \sqrt{75}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}\cdot \sqrt{54}}.$ Qui si prevede una risposta numerica semplificata.

src_canimath_2025_printemps__Q08

Find angle PXQ in rectangle using two angle conditions (lycée)

Let $ABCD$ be a rectangle with $AB>AD$. Let $P$ be the point on the half-line $(DA)$ such that $\widehat{DCP}=30^{\circ }$, and let $Q$ be the point on the segment $[CD]$ such that $\widehat{DAQ}=45^{\circ }$. Let $X$ be the intersection of the angle bisector of $\angle AQC$ with the line $(CP)$.

Determine the measure of angle $\widehat{PXQ}$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Ricerca angolo PXQ nel rettangolo utilizzando due condizioni angolari (liceo) *

Il $ABCD$ deve essere un rettangolo con $AB>AD$. Che $P$ sia il punto della semilinea $(DA)$ in modo tale che $\widehat{DCP}=30^{\circ }$, e che $Q$ sia il punto del segmento $[CD]$ in modo tale che $\widehat{DAQ}=45^{\circ }$. Il $X$ deve essere l’intersezione del bisettore angolare di $\angle AQC$ con la linea $(CP)$.

Determinare la misura dell’angolo $\widehat{PXQ}$.

src_canimath_2025_printemps__Q09

Max number of people in room with friendship/enmity constraint

In a room, certain people are friends. A person is never friends with herself. If person $A$ is friends with person $B$, then $B$ is friends with $A$. We observe the rule: ‘the enemy of my friend is my friend’, meaning that for any choice of three people $A$, $B$, $C$: if $A$ and $B$ are friends, and $B$ and $C$ are not friends, then $A$ and $C$ are friends. Each person in the room has exactly $1$ friend.

How many people can there be at most in the room?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità, Grafi Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Nombre massimo di persone in una stanza con vincolo di amicizia/intimità

In una stanza, certe persone sono amiche. Una persona non è mai amica di se stessa. Se la persona $A$ è amica di persona $B$, allora $B$ è amica di $A$. Osserviamo la regola: “il nemico del mio amico è il mio amico”, il che significa che per qualsiasi scelta di tre persone $A$, $B$, $C$: se $A$ e $B$ sono amici, e $B$ e $C$ non sono amici, allora $A$ e $C$ sono amici. Ogni persona nella stanza ha esattamente $1$ amico.

Quante persone possono esserci nella stanza al massimo?

src_canimath_2025_printemps__Q10

Prove PM bisects angle NPB in isosceles triangle ABC

Let $ABC$ be a triangle isosceles at $A$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of segments $[BC]$ and $[AC]$ respectively, and let $P$ be the foot of the altitude from $C$ in triangle $ABC$.

Show that $[PM]$ is the angle bisector of $\angle NPB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Prove che il PM divide l’angolo NPB in triangolo ABC *

$ABC$ sia un triangolo a uguale scala a $A$. Il segmento $M$ e il segmento $N$ sono rispettivamente i punti di mezzo dei segmenti $[BC]$ e $[AC]$, e il segmento $P$ è il piede dell’altitudine da $C$ nel triangolo $ABC$.

Indicare che $[PM]$ è il bisettore angolare di $\angle NPB$.

src_canimath_2025_printemps__Q11

Find all n>=2 for which two cyclic-sum sets each cover n consecutive integers

Determine all strictly positive integers $n\ge 2$ for which there exist strictly positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ such that both sets $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}\text{and}\{a_1+a_2,a_2+a_3,\dots ,a_{n-1}+a_n,a_n+a_1\}$ each consist of $n$ consecutive integers.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le n>=2 per le quali due set di somma ciclica coprono ciascuno n numeri interi consecutivi

Determinare tutti gli enti rigorosamente positivi $n\ge 2$ per i quali esistono enti rigorosamente positivi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ in modo tale che entrambe le serie $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}\text{and}\{a_1+a_2,a_2+a_3,\dots ,a_{n-1}+a_n,a_n+a_1\}$ siano ciascuna costituita da $n$ integri consecutivi.

src_canimath_2025_printemps__Q12

Max distinct values on board under 2023-of-2025 divisibility condition

On a board are written 2025 strictly positive integers, not necessarily distinct. Whatever 2023 numbers one chooses from these 2025 numbers, each of the two remaining numbers divides the sum of the 2023 chosen numbers.

What is the maximum number of distinct values that can appear on the board?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Maximi valori distinti a bordo in base alla condizione di divisibilità 2023-2025

Su una lavagna sono scritti 2025 numeri interi rigorosamente positivi, non necessariamente distinti. Qualunque numero 2023 si scelga tra questi numeri 2025, ciascuno dei due numeri rimanenti divide la somma dei numeri scelti 2023.

Qual è il numero massimo di valori distinti che possono apparire sulla tabella?

src_canimath_2025_printemps__Q13

Max and min of sum of consecutive absolute differences over n-permutations

Let $n\ge 2$ be an integer. Suppose $x_1,x_2,\dots ,x_n$ is an $n$-permutation, meaning each element of $\{1,2,\dots ,n\}$ appears exactly once among $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Determine, as a function of $n$, the maximum value and the minimum value that the sum $|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+|x_4-x_3|+\cdots +|x_n-x_{n-1}|$ can take over all $n$-permutations $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$.

(Here $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.)

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Max e min della somma delle differenze assolute consecutive su n-permutazioni

$n\ge 2$ sia un numero intero. Supponiamo che $x_1,x_2,\dots ,x_n$ sia una permutazione $n$, il che significa che ogni elemento di $\{1,2,\dots ,n\}$ appare esattamente una volta tra $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Determinare, come funzione di $n$, il valore massimo e il valore minimo che la somma $|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+|x_4-x_3|+\cdots +|x_n-x_{n-1}|$ può assumere su tutte le $n$-permutazioni $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$.

(Qui $\lfloor x\rfloor$ indica il più grande numero intero inferiore o uguale a $x$.)

src_canimath_2025_printemps__Q14

Min spies on 2025x2025 grid to identify any 1025x1025 sub-square

Martin places spies in certain cells of a $2025\times 2025$ grid (which has $2025^2$ cells). Aurélien then picks a $1025\times 1025$ square inside the grid (composed of $1025^2$ cells) and tells Martin exactly which spies are in the square he chose.

What is the minimum number of spies Martin must place in order to always be able to determine which square Aurélien chose?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Min spioni sulla griglia 2025x2025 per identificare eventuali sub-quadrati 1025x1025

Martin colloca gli spioni in alcune cellule di una griglia $2025\times 2025$ (che ha cellule $2025^2$). Aurélien sceglie un quadrato $1025\times 1025$ all’interno della griglia (composto da cellule $1025^2$) e dice a Martin esattamente quali spie sono nella quadrata che ha scelto.

Qual è il numero minimo di spie che Martin deve mettere per poter sempre determinare quale quadrato Aurélien ha scelto?

src_canimath_2025_printemps__Q15