Gara Nazionale Cesenatico 1998

Somma di floor(sqrt n) da 1 a 1000000

Se $x$ è un numero reale positivo si denoti con $[x]$ la parte intera di $x$, cioè il massimo intero $n\le x$. Si calcoli la somma ${\sum }_{n=1}^{1000000}\left[\sqrt{n}\right]=\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\cdots +\left[\sqrt{999999}\right]+\left[\sqrt{1000000}\right].$ [Lo studente può utilizzare, se crede, la seguente formula: ${\sum }_{i=1}^k{i}^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6},$ la cui dimostrazione non è richiesta.]

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

sum of floors (sqrt n) from 1 to 1000000

If $x$ is a positive real number, $[x]$ denotes the whole part of $x$, i.e. the maximum integer $n\le x$. Calculate the sum ${\sum }_{n=1}^{1000000}\left[\sqrt{n}\right]=\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\cdots +\left[\sqrt{999999}\right]+\left[\sqrt{1000000}\right].$ [The student may use, if he believes so, the following formula: ${\sum }_{i=1}^k{i}^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6},$ for which proof is not required.]

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due facce con stesso numero di lati

Si dimostri che in ogni poliedro convesso ci sono almeno due facce con lo stesso numero di lati.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Principio dei cassetti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.1

two faces with the same number of sides

It turns out that in every convex polyhedron there are at least two faces with the same number of sides.

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Probabilita che si giochi a poker stasera

Alberto vuole organizzare per questa sera una partita di poker. Egli sa che Bruno e Barbara si recano insieme in palestra una sera su tre, e che Carla, Corrado, Dario e Davide sono impegnati una sera su due (ma non necessariamente negli stessi giorni). Inoltre, sa che Dario non vuole giocare con Davide poiché questi gli ha portato via la ragazza. Poiché per giocare a poker occorrono almeno quattro persone (compreso Alberto), qual è la probabilità che stasera si giochi?

Topic: Probabilita e statistica Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Chances are you’ll be playing poker tonight.

Alberto wants to organize a poker game for tonight. He knows that Bruno and Barbara go to the gym together one in three evenings, and that Carla, Corrado, Dario and David are engaged one in two evenings (but not necessarily on the same days). Moreover, he knows that Darius does not want to play with David because he has taken the girl away from him. Since it takes at least four people (including Alberto) to play poker, what is the probability that it will be played tonight?

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BC^2=CD·CE in trapezio con diagonali perpendicolari

Sia $ABCD$ un trapezio con base maggiore $AB$ tale che le diagonali $AC$ e $BD$ siano perpendicolari. Sia $O$ il centro della circonferenza circoscritta al triangolo $ABC$ e sia $E$ il punto di intersezione tra la retta $OB$ e la retta $CD$. Dimostrare che $B{C}^2=CD\cdot CE.$

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

BC^2=CD·CE in trapezoidal with perpendicular diagonals

Whether $ABCD$ a trapezoid with a greater base $AB$ such that the diagonal $AC$ and $BD$ are perpendicular. either $O$ the center of circumference surrounding the $ABC$ triangle and $E$ the intersection point between the $OB$ straight line and the $CD$ straight line. Show that $B{C}^2=CD\cdot CE.$

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non esiste n con P(n)=12

Siano $a_1,a_2,a_3,a_4$ quattro numeri interi distinti e sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1.(\star )$ (i) Dimostrare che non esiste nessun numero intero $n$ tale che $P(n)=12$.

(ii) Esistono un polinomio $P(x)$ che soddisfa la condizione $(\star )$ ed un intero $n$ tale che $P(n)=1998$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

• does not exist n with P(n)=12*

Let $a_1,a_2,a_3,a_4$ be four distinct integers and let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that $P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1.(\star )$ (i) Show that there is no integer $n$ such that $P(n)=12$.

(ii) Is there a polynomial $P(x)$ that satisfies the condition $(\star )$ and an integer $n$ such that $P(n)=1998$?

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Funzione crescente moltiplicativa f(n)=n

Sia $f$ una funzione definita nell’insieme degli interi positivi a valori interi positivi. Diciamo che:

• $f$ è crescente se $n<m$ implica $f(n)<f(m)$
• $f$ è moltiplicativa se $\text{MCD}(m,n)=1$ implica $f(nm)=f(n)\cdot f(m)$
• $f$ è completamente moltiplicativa se $f(nm)=f(n)\cdot f(m)$ per ogni $n,m$.

(i) Si dimostri che se $f$ è crescente allora $f(n)\ge n$ per ogni $n$.

(ii) Si dimostri che se $f$ è crescente, completamente moltiplicativa e $f(2)=2$ allora $f(n)=n$ per ogni $n$.

(iii) L’affermazione (ii) resta vera se si elimina l’avverbio completamente?

Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Increasing multiplication function f(n)=n

Whether $f$ is a function defined in the set of positive integers to positive integers. Let’s say that: - $f$ is increasing if $n<m$ implies $f(n)<f(m)$ - $f$ is * multiplied* if $\text{MCD}(m,n)=1$ implies $f(nm)=f(n)\cdot f(m)$ - $f$ is * completely multiplied* if $f(nm)=f(n)\cdot f(m)$ for each $n,m$.

(i) It is shown that if $f$ is increasing then $f(n)\ge n$ for every $n$.

(ii) It is shown that if $f$ is increasing, fully multiplied and $f(2)=2$ then $f(n)=n$ for each $n$.

(iii) Does the statement (ii) remain true if the adverb * is completely removed *?

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