Gara Nazionale Cesenatico 1999

Area triangolo sovrapposizione piegando lungo diagonale

Dato un foglio rettangolare di lati $a$ e $b$, con $a>b$, determinare l’area del triangolo che risulta dalla sovrapposizione dei due lembi che si ottengono piegando il foglio lungo una diagonale (il triangolo colorato in grigio nella figura). (vedi figura)

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Area triangle overlay by folding diagonal length

Given a rectangular sheet of $a$ and $b$ sides, with $a>b$, determine the area of the triangle resulting from the overlap of the two sides obtained by folding the sheet along a diagonal (the triangle coloured in grey in the figure). (see figure)

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Esiste solo numero finito di numeri equilibrati

Diciamo che un numero naturale è equilibrato se si scrive con tante cifre quanti sono i suoi divisori primi distinti (per esempio, $15$ è equilibrato, mentre $49$ non lo è). Dimostrare che c’è solo un numero finito di numeri equilibrati.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

There is only a finite number of balanced numbers

Let’s say a natural number is balanced if you write with as many digits as its distinct prime divisors (for example, $15$ is balanced, while $49$ is not). Prove that there is only a finite number of balanced numbers.

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AB passa per intersezione sse r1+r2=r (cerchi tangenti)

Siano ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ tre circonferenze di raggi rispettivamente $r_1,r_2,r_3$ con $0<r_1<r_2<r_3$. Le circonferenze ${\gamma }_1$ e ${\gamma }_2$ sono tangenti internamente a ${\gamma }_3$ in due punti distinti $A$ e $B$ e si intersecano fra loro in due punti distinti. Dimostrare che il segmento $AB$ passa per uno dei punti di intersezione fra ${\gamma }_1$ e ${\gamma }_2$ se e solo se $r_1+r_2=r_3$.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*AB passes through the intersection with r1+r2=r (tangent circles) *

Three radial circumferences of ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ and $0<r_1<r_2<r_3$ respectively shall be $r_1,r_2,r_3$. The circumferences ${\gamma }_1$ and ${\gamma }_2$ are tangent internally to ${\gamma }_3$ at two distinct points $A$ and $B$ and intersect each other at two distinct points. Demonstrate that the $AB$ segment passes through one of the intersection points between ${\gamma }_1$ and ${\gamma }_2$ if and only if $r_1+r_2=r_3$.

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Strategia vincente gioco dei cerini

Alberto e Barbara fanno il seguente gioco. Su di un tavolo ci sono $1999$ cerini: a turno ogni giocatore deve togliere dal tavolo un numero di cerini a sua scelta, purché maggiore o uguale ad uno, e minore o uguale alla metà del numero dei cerini che in quel momento sono sul tavolo. Il giocatore che lascia sul tavolo un solo cerino perde. Barbara è la prima a giocare. Determinare per quale dei due giocatori esiste una strategia vincente e descrivere tale strategia.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Winning strategy game of dice

Alberto and Barbara play the following game. On a table there are $1999$ dice: in turn each player must remove from the table a number of dice of his choice, provided that it is greater than or equal to one, and less than or equal to half the number of dice that are on the table at that time. The player who leaves one cherry on the table loses. Barbara’s the first to play. Determine for which of the two players there is a winning strategy and describe that strategy.

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Valori m,n,p per villaggio di capanne con ponti

Su un lago c’è un villaggio di capanne poste su palafitte nei nodi di un reticolo rettangolare $m\times n$ (vedi esempio in figura). Dalla piattaforma di ogni capanna partono esattamente $p$ ponti, che la collegano ad una o più delle capanne contigue (rispetto al reticolo, quindi non in diagonale). Per quali valori interi positivi $m$, $n$ e $p$ è possibile collocare i ponti in modo che da ogni capanna si raggiunga qualsiasi altra capanna? (Ovviamente tra due capanne contigue si possono collocare più ponti). (vedi figura)

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Teoria dei grafi Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Values m,n,p per village of huts with bridges

On a lake there is a village of huts placed on pallets in the nodes of a rectangular lattice $m\times n$ (see example in figure). From the platform of each shed exactly $p$ bridges start, which connect it to one or more of the adjacent sheds (as opposed to the lattice, so not diagonally). For which positive integers $m$, $n$ and $p$ can bridges be placed so that any other hut is reached from each hut? (Of course, between two adjacent huts, more bridges can be placed.) (see figure)

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Coppie (x,k) con 3^k-1=x^n

(a) Determinare tutte le coppie $(x,k)$ di interi positivi che soddisfano l’equazione $3^k-1=x^3.$ (b) Dimostrare che se $n$ è un intero maggiore di $1$ e diverso da $3$ non esistono coppie $(x,k)$ di interi positivi che soddisfano l’equazione $3^k-1=x^n.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

*Pairs (x,k) with 3 k-1=x^n *

(a) Determine all pairs $(x,k)$ of positive integers satisfying the $3^k-1=x^3.$ equation. (b) Demonstrate that if $n$ is an integer greater than $1$ and different from $3$ there are no pairs $(x,k)$ of positive integers satisfying the $3^k-1=x^n.$ equation.

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