Gara Nazionale Cesenatico 2000

Numeri speciali con cifre 0-9 e divisibilita

Diciamo che tre numeri dispari $a<b<c$ sono consecutivi se $c-b=b-a=2$. Chiamiamo “speciali” quei numeri interi che hanno tutte le cifre uguali e che si possono scrivere come somma dei quadrati di tre numeri dispari consecutivi. (a) Determinare tutti i numeri speciali di 4 cifre. (b) Esistono numeri speciali di 2000 cifre?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Special numbers with digits 0-9 and divisibility

Let’s say that three odd numbers are consecutive if they’re$c-b=b-a=2$. We call “special” those integers that have all the same digits and that can be written as the sum of the squares of three consecutive odd numbers. (a) Determine all special four-digit numbers. (b) Are there special numbers of 2000 digits?

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Punti di tangenza e griglia su piramide quadrata

Sia $ABCD$ un quadrilatero convesso; poniamo $\widehat{DAB}=\alpha$, $\widehat{ADB}=\beta$, $\widehat{ACB}=\gamma$, $\widehat{DBA}=\delta$. Sapendo che $\alpha <90°$, $\beta +\gamma =90°$, $\delta +2\alpha =180°$, dimostrare che $(DB+BC{)}^2=A{B}^2+A{C}^2.$

Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Tangent and grid points on square pyramid

Whether $ABCD$ is a convex quadrilateral; let’s put $\widehat{DAB}=\alpha$, $\widehat{ADB}=\beta$, $\widehat{ACB}=\gamma$, $\widehat{DBA}=\delta$. Knowing that $\alpha <90°$, $\beta +\gamma =90°$, $\delta +2\alpha =180°$, prove that $(DB+BC{)}^2=A{B}^2+A{C}^2.$

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Sequenza geocaching Alberto e Barbara

È data una piramide avente per base un quadrilatero $ABCD$ e vertice $V$, inscritta in una sfera. Sia $AD=2BC$, e che le rette ottenute prolungando $AB$ e $CD$ si incontrano in un punto $E$ dalla parte del segmento $BC$. Calcolare il rapporto fra il volume della piramide avente per base il triangolo $AED$ e vertice $V$ e il volume della piramide data.

Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

This is a list of geocaching sequences in alphabetical order.

It is given a pyramid having a base $ABCD$ quadrilateral and a vertex $V$, inscribed in a sphere. Both $AD=2BC$ and the lines obtained by extending $AB$ and $CD$ meet at a point $E$ on the part of the $BC$ segment. Calculate the ratio between the volume of the pyramid having the base $AED$ triangle and summit $V$ and the volume of the given pyramid.

src_cesenatico_2000__Q03

Salda re dispari di scacchiere/lunghezze

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
  \draw (0,0) grid (5,5);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Fissato un intero $n>1$, Alberto e Barbara giocano il seguente gioco:

1. Alberto sceglie un intero positivo.
2. Barbara sceglie un intero maggiore di 1 che sia multiplo o sottomultiplo del numero di Alberto (compreso il numero stesso).
3. Alberto restituisce a Barbara il numero da lei detto, eventualmente aggiungendo o togliendo 1.

Il gioco prosegue ripetendo alternativamente i passi 2 e 3. Barbara vince se riesce a scegliere $n$ entro 50 mosse. Per quali valori di $n$ Barbara può vincere contro qualunque strategia di Alberto?

Topic: Combinatoria Metodo: parita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

*Sparse weight of chessboard/lengths *

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
  \draw (0,0) grid (5,5);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Fixed an entire $n>1$, Alberto and Barbara play the following game: 1. Alberto chooses a positive whole. 2. Barbara chooses an integer greater than 1 that is multiple or submultiply the number of Albert (including the number itself). 3. Alberto returns to Barbara the number you said, possibly adding or subtracting 1.

The game continues by alternately repeating steps 2 and 3. Barbara wins if she can pick $n$ within 50 moves. For what values of$n$can Barbara win against any strategy of Alberto?

src_cesenatico_2000__Q04

Quadrupede inscrivibile in circonferenza, rapporto aree

Un saldatore dispone di sbarre metalliche di lunghezza 2, e vuole costruire una griglia costituita da $n\times n$ quadratini di lato 1 (esempio $5\times 5$ a fianco). Gli è permesso segnare a metà le sbarre e saldarle fra loro, ma senza sovrapporle o incrociarle. Qual è il minimo numero di sbarre che occorre segnare per ottenere la griglia? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Quadruple inscrutable in circumference, area ratio

A welder has length 2 metal bars, and wants to build a grid consisting of $n\times n$ squares on side 1 (e.g. $5\times 5$ side by side). They are allowed to mark the bars in half and weld them together, but without overlapping or crossing them. What is the minimum number of bars to mark to get the grid? (see figure)

src_cesenatico_2000__Q05

valori P(1)

Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che $p(0)=0$ e $0\le p(1)\le 10^7$. Sapendo che esistono due interi positivi $a$, $b$ tali che $p(a)=1999$ e $p(b)=2001$, si determinino i valori possibili di $p(1)$.

(Nota: si osservi che 1999 è un numero primo.)

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

*P values 1) *

Whether $p(x)$ is an integer coefficient polynomial such as $p(0)=0$ and $0\le p(1)\le 10^7$. Knowing that there are two positive integers $a$, $b$ such as $p(a)=1999$ and $p(b)=2001$, the possible values of $p(1)$ are determined.

(Note: note that 1999 is a prime number.)

src_cesenatico_2000__Q06