trovare quella del 25 dicembre
Analizzando di nuovo la divisibilità per 3, si ottiene che anche x1 e y1 devono essere divisibili per 3, e dunque l’equazione può essere nuovamente semplificata dividendo per 9. Procedendo in questo modo, si arriverà al punto in cui l’equazione si riduce alla forma 3 · 6682005 = x2 n + y2 n. Ma di nuovo, questa equazione è possibile solo se xn e yn sono divisibili per 3, e quindi x2 n + y2 n è divisibile per 9. Poich´e però 3 · 6682005 non è divisibile per 9, una tale equazione non ha soluzioni.
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: -3 gradi Fonte: apri PDF p.1
find the one from December 25
By re-analysing divisibility by 3, we get that x1 and y1 must also be divisible by 3, and so the equation can be further simplified by dividing by 9. If we do this, we’ll get to the point where the equation comes down to the form 3 · 6682005 = x2n + y2n. But again, this equation is only possible if xn and yn are divisible by 3, and so x2 n + y2 n is divisible by 9. But since 3 · 6682005 is not divisible by 9, such an equation has no solutions.
Answer: -3 gradi src_cesenatico_2004__Q01
Luogo dei punti di tangenza di coppie di circonferenze tra due rette
- Date nel piano due rette parallele r, s e due punti P, Q con P ∈r e Q ∈s, si considerino coppie di circonferenze (CP, CQ), la prima tangente a r in P e la seconda tangente a s in Q, che siano anche tangenti esternamente tra loro, in un punto che chiamiamo T. Determinare il luogo di tali punti T al variare di tutte le possibili coppie di circonferenze. Soluzione: Il luogo cercato è l’unione del segmento aperto PQ e della parte della circonferenza di diametro PQ che si trova al di fuori della striscia delimitata da r ed s. Ciascuna circonferenza può essere tangente alla rispettiva retta in due modi: in un caso interseca la striscia S compresa tra le due rette, nell’altro non la interseca affatto. In tutti e due i casi il centro della circonferenza (risp. OP, OQ) si trova lungo la perpendi
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: unione del segmento PQ e arco circonferenza di diametro PQ Fonte: apri PDF p.1
Location of tangent points of pairs of circumferences between two lines
- Given in the plane two parallel lines r, s and two points P, Q with P ∈r and Q ∈s, are considered pairs of circumferences (CP, CQ), the first tangent a r in P and the second tangent a s in Q, which are also tangents externally to each other, at a point we call T. Determine the location of these T-points by varying all possible pairs of circumferences. Solution: The location sought is the union of the open segment PQ and the part of the circumference of the diameter PQ that lies outside the strip bounded by r and s. Each circumference can be tangent to its respective straight line in two ways: in one case it intersects the strip S between the two lines, in the other it does not intersect it at all. In both cases the centre of circumference (resp. OP, OQ) is located along the perpendicular
Answer: unione del segmento PQ e arco circonferenza di diametro PQ src_cesenatico_2004__Q02
20052004 e 20042005 sono somma di due quadrati perfetti positivi?
- (a) Determinare se 20052004 e somma di due quadrati perfetti positivi. (b) Determinare se 20042005 e somma di due quadrati perfetti positivi. Soluzione: (a) 20052004 e somma di due quadrati perfetti positivi. Si osservi che 52 = 32 + 42 e che 20052004 = 52m2, dove m = 51001 4011002. Moltiplicando la prima relazione per m2 si ottiene 20052004 = (5m)2 = (3m)2 + (4m)2: (b) 20042005 non e somma di due quadrati perfetti positivi. Si osservi innanzitutto che 20042005 = 32005 6682005 e divisibile per 3. Controllando il resto della divisione per 3 del quadrato di un numero intero x, si vede che se x e divisibile per 3 esso e 0, mentre se non lo e, e quindi x = 3k 1, allora x2 = 9k2 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (a) si, (b) no Fonte: apri PDF p.2
20052004 and 20042005 are the sum of two positive perfect squares?
- (a) Determine whether 20052004 is the sum of two positive perfect squares. (b) Determine whether 20042005 is the sum of two positive perfect squares. Solution: (a) 20052004 and sum of two positive perfect squares. Note that 52 = 32 + 42 and that 20052004 = 52m2, where m = 51001 4011002. Multiplying the first ratio by m2 gives 20052004 = (5m) 2 = (3m) 2 + (4m) 2: (b) 20042005 is not the sum of two positive perfect squares. It should be noted first that 20042005 = 32005 6682005 and is divisible by 3. Looking at the rest of the division by 3 of the square of an integer x, you can see that if x is divisible by 3 it’s 0, whereas if it’s not, and then x is equal to 3k 1, then x2 is equal to 9k2 6.
Answer: (a) si, (b) no src_cesenatico_2004__Q03
chi ha strategia vincente
Antonio e Bernardo giocano al seguente gioco: sono date due pile di gettoni, una con m gettoni e l’altra con n gettoni. Ogni giocatore sceglie a turno una delle seguenti mosse: • prendere un gettone da una delle pile; • prendere un gettone da ciascuna delle pile; • spostare un gettone da una pila ad un’altra. Perde chi non può più muovere. Comincia Antonio. Determinare, in funzione di m ed n, se uno dei due giocatori ha una strategia vincente, e in caso affermativo specificare di quale giocatore si tratta.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Antonio se almeno uno tra m,n dispari; Bernardo se entrambi pari Fonte: apri PDF p.3
who has a winning strategy
Antonio and Bernardo play the following game: two piles of tokens are given, one with m tokens and the other with n tokens. Each player chooses one of the following moves in turn: • take a token from one of the stacks; • take a token from each of the stacks; • move a token from one stack to another. He loses those who can’t move. Let’s start with Antonio. Determine, depending on m and n, whether one of the two players has a winning strategy and, if so, specify which player it is.
Answer: Antonio se almeno uno tra m,n dispari; Bernardo se entrambi pari src_cesenatico_2004__Q04
Enunciato su successioni reali decomposte in due con somme parziali
Determinare se il seguente enunciato è vero o falso: “Per ogni successione x1, x2, x3, … di numeri reali maggiori o uguali a zero esistono due successioni a1, a2, a3, … e b1, b2, b3, … di numeri reali maggiori o uguali a zero tali che • xn = an + bn per ogni n; • a1 + … + an ≤n per infiniti valori di n; • b1 + … + bn ≤n per infiniti valori di n, eventualmente diversi dai precedenti.”
Topic: successioni Metodo: Analisi per casi Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: vero Fonte: apri PDF p.3
*Real successions broken down in two by partial sums *
Determine whether the following statement is true or false: For each succession x1, x2, x3, … of real numbers greater than or equal to zero there are two successions a1, a2, a3, … e b1, b2, b3, … of real numbers greater than or equal to zero such that • xn = an + bn for each n; • a1 + … + an ≤n for infinite values of n; • b1 + … + bn ≤n for infinite values of n, possibly different from the previous ones.
Answer: vero src_cesenatico_2004__Q05
dimostrare xyz = x+y+z+2
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,0);
\coordinate (C) at (2.2,4.2);
\coordinate (P) at (2.6,1.5);
\coordinate (Ap) at (3.942,2.274);
\coordinate (Bp) at (1.126,2.15);
\coordinate (Cp) at (2.822,0);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (A)--(Ap);
\draw (B)--(Bp);
\draw (C)--(Cp);
\foreach \pt in {A,B,C,P,Ap,Bp,Cp}{\fill (\pt) circle (1.4pt);}
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[above right] at (P) {$P$};
\node[right] at (Ap) {$A'$};
\node[left] at (Bp) {$B'$};
\node[below] at (Cp) {$C'$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Sia P un punto interno ad un triangolo ABC. Le rette AP, BP e CP intersecano i lati di ABC in A′, B′ e C′ rispettivamente. Ponendo x = AP PA′, y = BP PB′, z = CP PC′, dimostrare che xyz = x + y + z + 2. A B C P C′ A′ E B′ D G F
Topic: Geometria piana Metodo: Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: identita dimostrata Fonte: apri PDF p.3
to show that xyz = x+y+z+2
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,0);
\coordinate (C) at (2.2,4.2);
\coordinate (P) at (2.6,1.5);
\coordinate (Ap) at (3.942,2.274);
\coordinate (Bp) at (1.126,2.15);
\coordinate (Cp) at (2.822,0);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (A)--(Ap);
\draw (B)--(Bp);
\draw (C)--(Cp);
\foreach \pt in {A,B,C,P,Ap,Bp,Cp}{\fill (\pt) circle (1.4pt);}
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[above right] at (P) {$P$};
\node[right] at (Ap) {$A'$};
\node[left] at (Bp) {$B'$};
\node[below] at (Cp) {$C'$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Let P be an interior point in an ABC triangle. The AP, BP and CP lines intersect the sides of ABC in A′, B′ and C′ respectively. By placing x = AP PA′, y = BP PB′, z = CP PC′, prove that xyz = x + y + z + 2. A B C P C′ A′ E B′ D G F
Answer: identita dimostrata src_cesenatico_2004__Q06