Triangolo rettangolo, altezza, valori del rapporto AH/CH
Sia ABC un triangolo rettangolo, con ipotenusa AC, e sia H il piede dell’altezza condotta da B ad AC. Sapendo che le lunghezze AB, BC e BH costituiscono i lati di un nuovo triangolo rettangolo, determinare i possibili valori di AH CH .
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: (sqrt5-1)/2 oppure (sqrt5+1)/2 Fonte: apri PDF p.1
Rectangle, height, value of the ratio AH/CH
Whether ABC is a right triangle, with hypotenuse AC, and whether H is the foot of the height from B to AC. Knowing that the lengths AB, BC and BH form the sides of a new rectangular triangle, determine the possible values of AH CH.
Answer: (sqrt5-1)/2 oppure (sqrt5+1)/2 src_cesenatico_2005__Q01
uno divisibile per somma cifre
Dimostrare che, comunque si prendano 18 numeri interi positivi consecutivi minori o uguali a 2005, ce ne è almeno uno divisibile per la somma delle sue cifre.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: dimostrato Fonte: apri PDF p.1
*one divisible by sum of digits *
Demonstrate that, however you take 18 consecutive positive integers less than or equal to 2005, there is at least one divisible by the sum of its digits.
Answer: dimostrato src_cesenatico_2005__Q02
Tabella 4x4 di cifre 1 e 2 con somme dei 3x3 multiple di 4
In ciascuna delle caselle di una tabella quadrata 4×4 è scritta la cifra 1 o la cifra 2. Si sa che la somma delle 9 cifre contenute in ciascuno dei 4 quadrati 3 × 3 contenuti nella tabella è multipla di 4, mentre la somma di tutte le 16 cifre non è multipla di 4. Determinare il massimo ed il minimo valore possibile per la somma di tutte le 16 cifre.
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: massimo 30, minimo 19 Fonte: apri PDF p.1
Table 4x4 of digits 1 and 2 with sums of 3x3 multiples of 4
In each of the boxes in a square table 4×4 the figure 1 or the figure 2 is written. We know that the sum of the 9 digits in each of the 4 squares 3 × 3 in the table is multiple of 4, while the sum of all 16 digits is not multiple of 4. Determine the maximum and minimum possible value for the sum of all 16 digits.
Answer: massimo 30, minimo 19 src_cesenatico_2005__Q03
n interi a due a due con fattore comune ma a tre a tre coprimi
Determinare per quali n ≥3 è possibile trovare n numeri interi positivi tali che a due a due abbiano almeno un fattore in comune diverso da 1, ma a tre a tre siano primi tra loro. Se si aggiunge la condizione che tutti i numeri interi siano minori di 5000, qual è il massimo valore di n possibile?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, Teoria dei grafi Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: per ogni n>=3; con limite <5000 il massimo n e 4 Fonte: apri PDF p.1
n integers two to two with common factor but three to three coatings
Determine for which n ≥3 it is possible to find n positive integers such that two to two have at least one common factor other than 1, but three to three are prime to each other. If we add the condition that all integers are less than 5000, what is the maximum value of n possible?
Answer: per ogni n>=3; con limite <5000 il massimo n e 4 src_cesenatico_2005__Q04
per quali h torna a 1
Sia h un numero intero positivo e sia an la successione definita per ricorrenza nel modo seguente: a0
1 an+1
(an 2 se an è pari, an + h se an è dispari. (Ad esempio, se h = 27 si ha: a1 = 28, a2 = 14, a3 = 7, a4 = 34, a5 = 17, a6 = 44, …) Per quali valori di h esiste n > 0 per cui an = 1?
Topic: successioni Metodo: monovarianti, Ricorsione Area: Algebra e Analisi Risposta: tutti gli interi positivi dispari Fonte: apri PDF p.1
- for which h returns to 1*
Both h is a positive integer and an is the sequence defined for recurrence as follows: a0 = 1 an+1 = (an 2 if an is equal, an + h if an is odd. (For example, if h = 27 we have: a1 = 28, a2 = 14, a3 = 7, a4 = 34, a5 = 17, a6 = 44, …) For which values of h exists n > 0 for which an = 1?
Answer: tutti gli interi positivi dispari src_cesenatico_2005__Q05
Due circonferenze, arco EF bisecato dalla retta CD
Siano date nel piano due circonferenze γ1 e γ2 di centri A e B rispettivamente, e intersecantesi in due punti C e D. Si supponga che la circonferenza passante per A, B e C intersechi ulteriormente γ1 e γ2 in E ed F rispettivamente, e che l’arco EF non contenente C giaccia fuori dai due cerchi delimitati da γ1 e γ2. Dimostrare che l’arco EF non contenente C è bisecato dalla retta CD.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: dimostrato (D incentro di CEF) Fonte: apri PDF p.1
Two circumferences, EF arc bisected by the straight CD
In the plane two circumferences γ1 and γ2 of centers A and B are given, respectively, and intersected at two points C and D. Assume that the passing circumference for A, B and C further intersects γ1 and γ2 in E and F respectively, and that the non-C EF arc lies outside the two circles bounded by γ1 and γ2. Demonstrate that the non-C EF arc is bisected by the straight CD.
Answer: dimostrato (D incentro di CEF) src_cesenatico_2005__Q06