Gara a Squadre Cesenatico 2005 - Semifinale A

Angolo in configurazione di triangoli isosceli annidati

Siano dati un triangolo $ABC$ isoscele in $C$ e un punto $A^{\prime }$ sul lato $AC$ tale che il triangolo $A{A}^{\prime }B$ sia isoscele in $A$. Siano poi $B^{\prime }$ un punto sul lato $BC$ e $C^{\prime }$ il punto di intersezione tra $A{B}^{\prime }$ e $A^{\prime }B$. Sapendo che anche i triangoli $AB{B}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }C$ e $A^{\prime }BC$ sono isosceli, calcolare il valore (in gradi) dell’angolo $A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0077 Fonte: apri PDF p.1

Angle in the configuration of nested isosceles triangles

A $ABC$ isosceles triangle in $C$ and a $A^{\prime }$ dot on the $AC$ side so that the $A{A}^{\prime }B$ triangle is isosceles in $A$ shall be given. Then $B^{\prime }$ a point on the $BC$ side and $C^{\prime }$ the intersection point between $A{B}^{\prime }$ and $A^{\prime }B$. Knowing that the $AB{B}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }C$ and $A^{\prime }BC$ triangles are also isosceles, calculate the value (in degrees) of the angle $A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

Answer: 0077 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q01

Area massima di due semicerchi da stoffa 100x50

Da un pezzo di stoffa lungo $100\text{cm}$ e largo $50\text{cm}$ si vogliono ricavare due semicerchi in modo da utilizzare più stoffa possibile. Qual è l’area totale della stoffa utilizzata?

Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico, Stima e approssimazione Area: Geometria Risposta: 4263 Fonte: apri PDF p.1

Maximum area of two semicircles of fabric 100x50

Two semicircles are to be made from one piece of fabric long and wide so that as much fabric as possible is used. What is the total area of the fabric used?

Answer: 4263 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q02

Somma aree di quattro triangoli in dodecagono regolare

Si consideri un dodecagono regolare di vertici $A_1{A}_2\dots A_{12}$ e lato di lunghezza $11$. Tracciando i segmenti $A_1{A}_6$, $A_5{A}_{10}$ e $A_9{A}_7$ si formano quattro triangoli all’interno del dodecagono. Calcolare la somma delle aree di questi quattro triangoli.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0314 Fonte: apri PDF p.1

sum of areas of four triangles in a regular dodecagon

Consider a regular dodecahedron of vertices $A_1{A}_2\dots A_{12}$ and side length $11$. Tracing the segments $A_1{A}_6$, $A_5{A}_{10}$ and $A_9{A}_7$ forms four triangles within the dodecahedron. Calculate the sum of the areas of these four triangles.

Answer: 0314 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q03

Coppie ordinate (c,d) che piastrellano stanza 546x330

Un piastrellista vuole ricoprire una stanza rettangolare $546\times 330$ con piastrelle rettangolari di misura $c\times d$. Per quante coppie (ordinate) di dimensioni $(c,d)$ questo è possibile?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0074 Fonte: apri PDF p.1

Ordered pairs (c,d) tiled room 546x330

A tile-maker wants to cover a rectangular room $546\times 330$ with rectangular tiles measuring $c\times d$. For how many pairs (orders) of size $(c,d)$ is this possible?

Answer: 0074 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q04

Massimo intero non esprimibile come 23k+17h (Frobenius)

Trovare il massimo intero positivo che non può essere espresso nella forma $23k+17h$, con $h,k>0$.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0351 Fonte: apri PDF p.1

*Maximum integer not to be expressed as 23k+17h (Frobenius) *

Find the maximum positive integer that cannot be expressed as $23k+17h$, with $h,k>0$.

Answer: 0351 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q05

Coppie (a,b) con a^4+4b^4+12ab-9 primo

Quante sono le coppie ordinate di interi $(a,b)$ per cui $a^4+4b^4+12ab-9$ è un numero primo?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.1

Couples (a,b) with a^4+4b^4+12ab-9 first

How many pairs of integers are ordered $(a,b)$ so $a^4+4b^4+12ab-9$ is a prime number?

Answer: 0004 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q06

Ultime 2 cifre numero modi di dividere 2005 in 401 squadre

I $2005$ partecipanti ad un torneo di basket vogliono dividersi in $401$ squadre, di $5$ giocatori ognuna, per giocare ad un torneo. Scrivere le ultime $2$ cifre del numero di modi diversi in cui possono dividersi.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0076 Fonte: apri PDF p.1

Last 2 digits number ways to divide 2005 into 401 teams

$2005$ participants in a basketball tournament want to divide into $401$ teams, of $5$ players each, to play a tournament. Write the last $2$ digits of the number of different ways they can be divided.

Answer: 0076 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q07

Modi per andare dal centro al bordo scacchiera in n mosse

Su una scacchiera del tipo in figura (ma la riga centrale ha $23$ caselle), quanti modi ci sono per andare dalla casella centrale a un bordo in esattamente $n$ mosse, muovendo ogni volta in una casella adiacente orizzontalmente o verticalmente? (vedi figura)

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8188 Fonte: apri PDF p.2

Mode to go from centre to chessboard edge in n moves

On a chessboard of the type shown in the figure (but the middle row has $23$ boxes), how many ways are there to go from the middle box to an edge in exactly $n$ moves, moving each time in an adjacent box horizontally or vertically? (see figure)

Answer: 8188 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q08

Modi di distribuire 27 caramelle a tre con esattamente due tipi

Andrea, Bernardo e Chiara vogliono dividersi un pacchetto di caramelle. Il pacchetto contiene $9$ caramelle alla fragola, $9$ al limone e $9$ alla menta. In quanti modi è possibile distribuire le $27$ caramelle (anche in parti non uguali) tra i tre, in modo che ognuno abbia caramelle di esattamente due tipi?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7104 Fonte: apri PDF p.2

How to distribute 27 candies to three with exactly two types

Andrea, Bernardo and Chiara want to share a pack of candy. The pack contains $9$ strawberry candy, $9$ lemon and $9$ mint. How many ways can the $27$ candies (even in unequal parts) be distributed between the three, so that each has exactly two candies?

Answer: 7104 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q09

Massime parti finite del piano divise da 5 rettangoli

Dati $5$ rettangoli, in quante parti finite, al massimo, possono dividere il piano?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Induzione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0081 Fonte: apri PDF p.2

Most finite parts of the plane divided by 5 rectangles

Rectangular data, how many finite parts can the plane be divided into at most?

Answer: 0081 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q10

Resto di 3^211 diviso 2^14

Calcolare il resto della divisione di $3^{3^{3^3}}$ per $2^{14}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8193 Fonte: apri PDF p.2

Remaining of 3^211 divided by 2^14

Calculate the remainder of the division of $3^{3^{3^3}}$ by $2^{14}$.

Answer: 8193 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q11

Piu grande ultraprimo di 3 cifre

Un ultraprimo è un numero primo tale che, permutando le sue cifre, il numero ottenuto rimane primo. Qual è il più grande numero di $3$ cifre ultraprimo?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0991 Fonte: apri PDF p.2

Large ultra first of 3 digits

An ultraprime is a prime number such that, by exchanging its digits, the number obtained remains prime. What is the largest number of $3$ ultraprime digits?

Answer: 0991 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q12

Cateto minore di triangolo rettangolo con condizione incentro

Sia dato un triangolo rettangolo in cui l’incentro è equidistante dal vertice dell’angolo retto e dal punto medio dell’ipotenusa. Sapendo che l’ipotenusa misura $1000$, calcolare il cateto minore del triangolo.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0500 Fonte: apri PDF p.2

Lesser set of rectangular triangle with center condition

A rectangular triangle is given where the encounter is equidistant from the top of the right angle and the middle point of the hypotenuse. Knowing that the hypotenuse measures $1000$, calculate the minor triangle length.

Answer: 0500 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q13

Misura dell’angolo CAD nel quadrilatero con angoli dati

Il quadrilatero $ABCD$ in figura ha gli angoli $\angle ABD=30°$, $\angle DBC=50°$, $\angle BCA=60°$ e $\angle ACD=20°$. Quanto misura l’angolo $\angle CAD$? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.2

Measurement of the CAD angle in the quadrilateral with data angles

The $ABCD$ quadrilateral in the figure has the angles $\angle ABD=30°$, $\angle DBC=50°$, $\angle BCA=60°$ and $\angle ACD=20°$. What is the angle $\angle CAD$? (see figure)

Answer: 0030 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q14

Cubetti attraversati dalla diagonale di parallelepipedo 126x60x70

Un parallelepipedo di lati $126$, $60$ e $70$ è fatto da cubetti di lato $1$. Quanti cubetti vengono attraversati, al loro interno, dalla diagonale del parallelepipedo?

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0228 Fonte: apri PDF p.2

Cubs crossed by the diagonal of parallel piped 126x60x70

A parallel piped $126$, $60$ and $70$ side is made of side cubes $1$. How many cubes are traversed inside by the diagonal of the parallelepiped?

Answer: 0228 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_a__Q15