Gara a Squadre Cesenatico 2005 - Semifinale B

Somma aree di quattro triangoli in dodecagono regolare (lato 13)

Si consideri un dodecagono regolare di vertici $A_1{A}_2\dots A_{12}$ e lato di lunghezza $13$. Tracciando i segmenti $A_1{A}_6$, $A_5{A}_{10}$ e $A_9{A}_7$ si formano quattro triangoli all’interno del dodecagono. Calcolare la somma delle aree di questi quattro triangoli.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0439 Fonte: apri PDF p.1

*Summary of areas of four triangles in regular dodecagon (side 13) *

Consider a regular dodecagon of vertices $A_1{A}_2\dots A_{12}$ and side length $13$. Tracing the segments $A_1{A}_6$, $A_5{A}_{10}$ and $A_9{A}_7$ forms four triangles within the dodecahedron. Calculate the sum of the areas of these four triangles.

Answer: 0439 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q01

Modi per andare dal centro al bordo scacchiera in n mosse

Su una scacchiera del tipo in figura (ma la riga centrale ha 21 caselle), quanti modi ci sono per andare dalla casella centrale a un bordo in esattamente $n$ mosse, muovendo ogni volta in una casella adiacente orizzontalmente o verticalmente? (vedi figura)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4092 Fonte: apri PDF p.1

Mode to go from centre to chessboard edge in n moves

On a chessboard of the type shown in the figure (but the central row has 21 boxes), how many ways are there to go from the central box to an edge in exactly $n$ moves, moving each time into an adjacent box horizontally or vertically? (see figure)

Answer: 4092 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q02

Piu grande ultraprimo di 3 cifre

Un ultraprimo è un numero primo tale che, permutando le sue cifre, il numero ottenuto rimane primo. Qual è il più grande numero di 3 cifre ultraprimo?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0991 Fonte: apri PDF p.1

Large ultra first of 3 digits

An ultraprime is a prime number such that, by exchanging its digits, the number obtained remains prime. What’s the greatest number of three ultraprime digits?

Answer: 0991 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q03

Cubetti attraversati dalla diagonale di parallelepipedo 150x84x105

Un parallelepipedo di lati $150$, $84$ e $105$ è fatto da cubetti di lato $1$. Quanti cubetti vengono attraversati, al loro interno, dalla diagonale del parallelepipedo?

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0300 Fonte: apri PDF p.1

Cubs crossed by the diagonal of the parallel piped 150x84x105

A parallel piped $150$, $84$ and $105$ sides is made of $1$ side cubes. How many cubes are traversed inside by the diagonal of the parallelepiped?

Answer: 0300 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q04

Ultime 2 cifre numero modi di dividere 2005 in 401 squadre

I $2005$ partecipanti a un torneo di basket vogliono dividersi in $401$ squadre, di $5$ giocatori ognuna, per giocare a un torneo. Scrivere le ultime $2$ cifre del numero di modi diversi in cui possono dividersi.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0076 Fonte: apri PDF p.1

Last 2 digits number ways to divide 2005 into 401 teams

$2005$ participants in a basketball tournament want to divide into $401$ teams, of $5$ players each, to play in a tournament. Write the last $2$ digits of the number of different ways they can be divided.

Answer: 0076 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q05

Angolo in configurazione di triangoli isosceli annidati

Siano dati un triangolo $ABC$ isoscele in $C$ e un punto $A^{\prime }$ sul lato $AC$ tale che il triangolo $A{A}^{\prime }B$ sia isoscele in $B$. Siano poi $B^{\prime }$ un punto sul lato $BC$ e $C^{\prime }$ il punto di intersezione tra $A{B}^{\prime }$ e $A^{\prime }B$. Sapendo che anche i triangoli $AB{B}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }C$ e $A^{\prime }BC$ sono isosceli, calcolare il valore (in gradi) dell’angolo $A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0108 Fonte: apri PDF p.1

Angle in the configuration of nested isosceles triangles

A $ABC$ isosceles triangle in $C$ and a $A^{\prime }$ point on the $AC$ side so that the $A{A}^{\prime }B$ triangle is isosceles in $B$ shall be given. Then $B^{\prime }$ a point on the $BC$ side and $C^{\prime }$ the intersection point between $A{B}^{\prime }$ and $A^{\prime }B$. Since the $AB{B}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }C$ and $A^{\prime }BC$ triangles are also isosceles, calculate the value (in degrees) of the angle $A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

Answer: 0108 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q06

Misura dell’angolo CAD nel quadrilatero con angoli dati

Il quadrilatero $ABCD$ in figura ha gli angoli $\angle ABD=30°$, $\angle DBC=50°$, $\angle BCA=60°$ e $\angle ACD=20°$. Quanto misura l’angolo $\angle CAD$? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.2

Measurement of the CAD angle in the quadrilateral with data angles

The $ABCD$ quadrilateral in the figure has the angles $\angle ABD=30°$, $\angle DBC=50°$, $\angle BCA=60°$ and $\angle ACD=20°$. What is the angle $\angle CAD$? (see figure)

Answer: 0030 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q07

Massime parti finite del piano divise da 5 rettangoli

Dati $5$ rettangoli, in quante parti finite, al massimo, possono dividere il piano?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0081 Fonte: apri PDF p.2

Most finite parts of the plane divided by 5 rectangles

Rectangular data, how many finite parts can the plane be divided into at most?

Answer: 0081 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q08

Modi di distribuire 27 caramelle a tre con esattamente due tipi

Andrea, Bernardo e Chiara vogliono dividersi un pacchetto di caramelle. Il pacchetto contiene $9$ caramelle alla fragola, $9$ al limone e $9$ alla menta. In quanti modi è possibile distribuire le $27$ caramelle (anche in parti non uguali) tra i tre, in modo che ognuno abbia caramelle di esattamente due tipi?

Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7104 Fonte: apri PDF p.2

How to distribute 27 candies to three with exactly two types

Andrea, Bernardo and Chiara want to share a pack of candy. The pack contains $9$ strawberry candy, $9$ lemon and $9$ mint. How many ways can the $27$ candies (even in unequal parts) be distributed between the three, so that each has exactly two candies?

Answer: 7104 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q09

Coppie (a,b) con a^4+4b^4+12ab-9 primo

Quante sono le coppie ordinate di interi $(a,b)$ per cui $\frac{a^2+4044}{12ab-9}$ è un numero primo?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.2

Couples (a,b) with a^4+4b^4+12ab-9 first

How many pairs of integers are ordered $(a,b)$ so $\frac{a^2+4044}{12ab-9}$ is a prime number?

Answer: 0004 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q10

Resto di 3^210 diviso 2^13

Calcolare il resto della divisione di $3^{2^{10}}$ per $2^{13}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4097 Fonte: apri PDF p.2

Remaining of 3^210 divided by 2^13

Calculate the remainder of the division of $3^{2^{10}}$ by $2^{13}$.

Answer: 4097 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q11

Cateto maggiore di triangolo rettangolo con condizione incentro

Sia dato un triangolo rettangolo in cui l’incentro è equidistante dal vertice dell’angolo retto e dal punto medio dell’ipotenusa. Sapendo che l’ipotenusa misura $1000$, calcolare il cateto maggiore del triangolo.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0866 Fonte: apri PDF p.2

Major set of rectangular triangle with center condition

A rectangular triangle is given where the encounter is equidistant from the top of the right angle and the middle point of the hypotenuse. Knowing that the hypotenuse measures $1000$, calculate the major square of the triangle.

Answer: 0866 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q12

Massimo intero non esprimibile come 23k+17h (Frobenius)

Trovare il massimo intero positivo che non può essere espresso nella forma $23k+17h$, con $h,k>0$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0351 Fonte: apri PDF p.2

*Maximum integer not to be expressed as 23k+17h (Frobenius) *

Find the maximum positive integer that cannot be expressed as $23k+17h$, with $h,k>0$.

Answer: 0351 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q13

Coppie ordinate (c,d) che piastrellano stanza 462x390

Un piastrellista vuole ricoprire una stanza rettangolare $462\times 390$ con piastrelle rettangolari di misura $c\times d$. Per quante coppie (ordinate) di dimensioni $(c,d)$ questo è possibile?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0074 Fonte: apri PDF p.2

Ordered pairs (c,d) tiled room 462x390

A tile-maker wants to cover a rectangular room $462\times 390$ with rectangular tiles measuring $c\times d$. For how many pairs (orders) of size $(c,d)$ is this possible?

Answer: 0074 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q14

Area massima di due semicerchi da stoffa 140x70

Da un pezzo di stoffa lungo $140$ cm e largo $70$ cm si vogliono ricavare due semicerchi in modo da utilizzare più stoffa possibile. Qual è l’area totale della stoffa utilizzata?

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico, Stima e approssimazione Area: Geometria Risposta: 8357 Fonte: apri PDF p.2

Maximum area of two semicircles of fabric 140x70*

Two semicircles are to be made from a piece of fabric $140$ cm long and $70$ cm wide so as to use as much fabric as possible. What is the total area of the fabric used?

Answer: 8357 src_cesenatico_2005_squadre_semifinale_b__Q15