XXII Olimpiade Italiana Cesenatico 2006

valore della carta di Rosa

Rosa e Savino fanno il seguente gioco con le carte napoletane (40 carte numerate da 1 a 10 di 4 semi diversi): inizialmente si dividono le 40 carte (20 per ciascuno), poi a turno appoggiano sul tavolo una carta. Quando alcune delle carte presenti sul tavolo hanno dei valori la cui somma fa esattamente 15, queste carte vengono eliminate dal gioco (se ci sono più modi di ottenere somma 15, il giocatore che ha appoggiato l’ultima carta decide quali sono le carte con somma di valori uguale a 15 da eliminare). Alla fine della partita sono rimaste 2 carte in mano a Savino (un 5 ed un 3), una carta sul tavolo (un 9) e una carta in mano a Rosa. Qual è il valore della carta di Rosa?

Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 34 Fonte: apri PDF p.1

Rose paper value

Rosa and Savino play the following game with the Neapolitan cards (40 cards numbered 1 to 10 of 4 different seeds): initially they divide the 40 cards (20 for each), then in turn they place a card on the table. When some of the cards on the table have values whose sum is exactly 15, these cards are deleted from the game (if there are more than one way to get a sum of 15, the player who supported the last card decides which cards have a sum of values equal to 15 to eliminate). At the end of the game, two cards remained in Savino’s hand (one 5 and one 3), one card on the table (one 9) and one card in Rosa’s hand. What’s the value of the Rose card?

Answer: 34 src_cesenatico_2006__Q01

Determinare valori di (a,b,c) con c=ab e ab=a^2 e relazioni

Determinare tutti i valori di $m$, $n$ tali che $p^n+144=m^2$, dove $m$ ed $n$ sono interi positivi e $p$ è un numero primo.

Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (20,2,40),(4,3,12),(12,1,12) Fonte: apri PDF p.1

• Determine values of (a,b,c) with c=ab and ab=a^2 and relationships*

Determine all values of $m$, $n$ such as $p^n+144=m^2$, where $m$ and $n$ are positive integers and $p$ is a prime number.

Answer: (20,2,40),(4,3,12),(12,1,12) src_cesenatico_2006__Q02

Circonferenza e due punti A,B; locus dei punti C

Sia $\Gamma$ una circonferenza e siano $A$ e $B$ due punti distinti di $\Gamma$ non diametralmente opposti. Sia $P$ un punto variabile in $\Gamma$ diverso da $A$ e da $B$ e sia $H$ l’ortocentro del triangolo $ABP$. Determinare il luogo descritto da $H$ al variare di $P$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: dimostrato (proprieta del baricentro) Fonte: apri PDF p.1

Circle and two points A,B; locus of points C

either $\Gamma$ a circumference and $A$ and $B$ two distinct points of $\Gamma$ not diametrically opposite. Either $P$ is a variable point in $\Gamma$ other than $A$ and $B$ and $H$ is the orthocenter of the $ABP$ triangle. Determine the location described by $H$ to the variable of $P$.

Answer: dimostrato (proprieta del baricentro) src_cesenatico_2006__Q03

Scacchiera infinita e numeri interi positivi scritti in spirale

Su una scacchiera infinita i numeri interi positivi sono scritti in ordine lungo una spirale: si parte da 1 e si procede allargandosi girando in senso antiorario, come in figura.

Chiamamiamo “semiretta destra” della scacchiera l’insieme delle caselle formato da una casella $C$ e da tutte le caselle che si trovano nella riga di $C$ e a destra di $C$. (vedi figura)

(a) Dimostrare che esiste una semiretta destra le cui caselle non contengono numeri multipli di 3.

(b) Determinare se esistono semirette a 2 a 2 disgiunte, le cui caselle non contengono numeri multipli di 3.

Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: dimostrato Fonte: apri PDF p.3

Infinite chessboard and positive integers written in spirals

On an infinite chessboard the positive integers are written in a spiral order: one starts from 1 and proceeds by widening by rotating in an anti-clockwise direction, as in the figure.

We call the “right half” of the chessboard the set of boxes made up of a $C$ box and all the boxes that are in the line of $C$ and to the right of $C$. (see figure)

(a) Demonstrate that there is a right half whose boxes do not contain multiples of 3.

(b) Determine whether there are 2 to 2 disjoint semicircles whose boxes do not contain multiples of 3.

Answer: dimostrato src_cesenatico_2006__Q04

per quali n vera

Si consideri la disuguaglianza ${\left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right)}^2\ge 4(x_1{x}_2+x_2{x}_3+\cdots +x_n{x}_1).$

(a) Determinare per quali $n\ge 3$ è vera per ogni possibile scelta di numeri reali positivi $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

(b) Determinare per quali $n\ge 3$ è vera per ogni possibile scelta di numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: (a) vera per n>=4; (b) falsa per n piccolo Fonte: apri PDF p.3

• for which n true*

Consider the inequality ${\left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right)}^2\ge 4(x_1{x}_2+x_2{x}_3+\cdots +x_n{x}_1).$

(a) Determine for which $n\ge 3$ is true for each possible choice of positive real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

(b) Determine for which $n\ge 3$ is true for each possible choice of real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Answer: (a) vera per n>=4; (b) falsa per n piccolo src_cesenatico_2006__Q05

Gioco di Alberto e Barbara con gettoni e strategia vincente

Si consideri il seguente gioco: inizialmente su un tavolo ci sono alcune pile di gettoni (il numero di gettoni può variare da pila a pila). A turno, partendo da Alberto, uno dei due giocatori fa una e una sola delle seguenti mosse:

• oppure toglie un gettone da una pila a sua scelta e lo elimina dal gioco;
• oppure suddivide una pila in due pile più piccole, ognuna di almeno un gettone (senza aggiungere o togliere gettoni dal tavolo).

Vince chi toglie l’ultimo gettone dal tavolo. Determinare, a seconda del numero di pile presenti sul tavolo all’inizio e di quanti gettoni contengono, quale dei due giocatori ha una strategia vincente.

Siano $C_0,C_1,C_2,\dots$ le combinazioni di pile presenti all’inizio del gioco, dopo la prima mossa, dopo la seconda mossa, e così via. Per ogni combinazione $C_i$ sia $s_i$ il numero di pile che hanno un numero di gettoni $a_1,a_2,\dots ,a_k$ maggiore di 1 ed $e_i$ il numero di pile con un solo gettone. Sia poi $m_i=(a_1-1)+\cdots +(a_k-1)$. Dimostrare che Barbara ha una strategia vincente se $m_0$ ed $s_0$ sono entrambi pari e che Alberto ha una strategia vincente in tutti gli altri casi. La strategia vincente è quella di lasciare all’avversario ad ogni mossa una combinazione $C_i$ tale che $m_i$ ed $s_i$ siano entrambi pari.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: dimostrata strategia vincente Fonte: apri PDF p.4

Game by Alberto and Barbara with tokens and winning strategy

Consider the following game: initially on a table there are some stacks of chips (the number of chips can vary from stack to stack). In turn, starting from Alberto, one of the two players makes one and only one of the following moves:

• or divide a stack into two smaller stacks, each of at least one token (without adding or removing tokens from the table).

Whoever takes the last token off the table wins. Determine, depending on the number of stacks on the table at the beginning and how many chips they contain, which of the two players has a winning strategy.

It is $C_0,C_1,C_2,\dots$ the battery combinations present at the beginning of the game, after the first move, after the second move, and so on. For each $C_i$ combination, $s_i$ shall be the number of batteries with a token number $a_1,a_2,\dots ,a_k$ greater than 1 and $e_i$ the number of batteries with a single token. It is either $m_i=(a_1-1)+\cdots +(a_k-1)$. Demonstrate that Barbara has a winning strategy if $m_0$ and $s_0$ are both equal and that Alberto has a winning strategy in all other cases. The winning strategy is to leave the opponent with a combination $C_i$ at each move such that $m_i$ and $s_i$ are both equal.

Answer: dimostrata strategia vincente src_cesenatico_2006__Q06