numero nella colonna grigia
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill[gray!55] (1,0) rectangle (2,3);
\draw (0,0) grid (3,3);
\node at (0.2,2.8) {1};
\node at (2.2,2.8) {2};
\node at (0.2,0.8) {3};
\end{tikzpicture}
\end{document}Quanti modi diversi hanno i nostri eroi per colorare il prisma?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0793 Fonte: apri PDF p.1
number in the grey column
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill[gray!55] (1,0) rectangle (2,3);
\draw (0,0) grid (3,3);
\node at (0.2,2.8) {1};
\node at (2.2,2.8) {2};
\node at (0.2,0.8) {3};
\end{tikzpicture}
\end{document}How many different ways do our heroes have to color the prism?
Answer: 0793 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q01
Modi di relazioni alleate/nemiche tra cinque case
Prima di iniziare a colorare, la coscienziosa Hermita si accorge che il giallo è quasi finito, e i tre sono quindi costretti a usarlo per una delle facce quadrate. Quanti modi diversi restano per colorare il prisma? Si scriva la risposta (1) nelle prime due cifre e la risposta (2) nelle ultime due.
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0052 Fonte: apri PDF p.1
Mode of allied/enemy relations between five households
Before she begins to color, the conscientious Hermit realizes that the yellow is almost gone, and the three are then forced to use it for one of the square faces. How many different ways are there left to color the prism? Write the answer (1) in the first two digits and the answer (2) in the last two.
Answer: 0052 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q02
Lunghezza AB in configurazione ciclica con perpendicolare
- Un numero la cui somma delle cifre è 9. Verticali: 3
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0015 Fonte: apri PDF p.1
Length AB in cyclic configuration with perpendicular
- A number whose sum of digits is 9. Verticals: 3
Answer: 0015 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q03
Coefficiente di x^2006 in prodotto di polinomi
- Seduttore da strapazzo Ron ha scoperto l’altra met
a del cielo, le ragazze! La sua passionee la piu bella della scuola di matemaghi: Chiara, della casa di Righecompasso. Il numero della camera di Chiarae pari al coefficiente del termine x2006 del polinomio (1 + x)2(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8)3(1 + x16)(1 + x32)4(1 + x64)(1 + x128)(1 + x256)(1 + x512)(1 + x1024). In quale camera della casa di Righecompasso dovrebbe entrare Ron? Gara a Squadre 2006 – Finale nazionale– Testi dei problemi – Pag. 1 di 4 Pag. 2 di 4 – Gara a Squadre 2006 – Finale nazionale– Testi dei problemi
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0064 Fonte: apri PDF p.1
Coefficient of x^2006 in product of polynomials
- Sneaky seducer Ron has discovered the other half of the sky, the girls! His passion is the most beautiful of the school of mathematicians. The number of Chiara’s chamber `e is equal to the coefficient of the term x2006 of the polynomial (1 + x) 2(1 + x2) 1 + x4) 1 + x8) 3(1 + x16) 1 + x32) 4(1 + x64) 1 + x128) 1 + x256) 1 + x512) 1 + x1024. Which room in Righecompasso’s house is Ron supposed to go into? Team competition 2006 National final Problem texts Pag. 1 of 4 Pag. 2 out of 4 Team competition 2006 National final Problem texts
Answer: 0064 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q04
Minimo combinazioni utili da 36 ingredienti (condizione)
- Alla lezione di pozioni Durante la lezione di pozioni, Hardy e il suo amico Ron Perelman devono scegliere due ingredienti sui 36 disponibili e mischiarli nella speranza di ottenere una pozione con qualche proprietà. La loro amica Hermita gli ha detto che se i primi due ingredienti non hanno effetto conviene riprovare con altri due (cambiandoli entrambi): può capitare che anche in questo caso non ottenga nulla, ma allora – lo assicura – mischiando un ingrediente da ciascuna coppia (in qualunque modo) si otterrà per forza una pozione utile. Quante sono come minimo le combinazioni di due ingredienti che danno una pozione utile?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0594 Fonte: apri PDF p.2
*Minimum useful combinations of 36 ingredients (condition) *
- During the potion lesson, Hardy and his friend Ron Perelman have to choose two of the 36 ingredients available and mix them in hopes of getting a potion with some properties. Their friend Hermita told him that if the first two ingredients don’t work, he should try two more (changing them both): it can happen that even then he gets nothing, but then assures him by mixing an ingredient from each pair (in any way) you will necessarily get a useful potion. How many combinations of at least two ingredients make a potion useful?
Answer: 0594 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q05
Disposizione dado che minimizza spread numeri magici
- Un espediente truffaldino Fracto Malpoysto odia perdere! Decide allora di truccare un comune dado con un incantesimo, che si basa sugli otto numeri magici del dado. Questi si ottengono, a partire da ognuno dei vertici, sommando i numeri scritti sulle tre facce che vi concorrono. L’incantesimo consiste nel disporre accuratamente i numeri da 1 a 6 sulle facce del dado in modo che la differenza tra il numero magico massimo ed il numero magico minimo sia la più piccola possibile. Trovare la disposizione, indicando in ognuna delle 4 cifre, ordinatamente da sinistra a destra, il numero che si trova opposto a 1, quello opposto a 2, poi a 3 e infine a 4.
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2143 Fonte: apri PDF p.2
Deposition of dice that minimizes the spread of magic numbers
- Fracto Malpoysto is a fraudulent expeditionary who hates to lose! He then decides to make up a common dice with a spell, which is based on the eight magic numbers of the dice. These are obtained, starting from each of the vertices, by adding up the numbers written on the three faces that compete. Witchcraft consists of placing the numbers 1 to 6 on the sides of the dice so that the difference between the maximum and minimum magic number is as small as possible. Find the layout, and you’re going to put in each of the four digits, orderly from left to right, the number that’s opposite to 1, the number that’s opposite to 2, then 3 and finally 4.
Answer: 2143 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q06
Valore di f^(2006)(11) iterando quadrato somma cifre
- Potenza magica Come perfino gli apprendisti matemaghi ben sanno, la potenza di un incantesimo si rafforza ripetendone più volte la formula. Il calcolo della potenza però non è semplice. Sia f(n) il quadrato della somma delle cifre di n. Sia poi (n) = f(f(n)), (n) = f(f(f(n))) e così via. Trovare (11).
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0169 Fonte: apri PDF p.2
*Value of f^(((11) by iterating square sum of digits *
- Magical power As even learned mathematicians know, the power of a spell is reinforced by repeating its formula. Calculating power, however, is not easy. Either f (n) the square of the sum of the digits of n. It is then (n) = f(f(n)), (n) = f(f(n))) and so on. Find (11).
Answer: 0169 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q07
Piu piccolo multiplo di 73 con quadrato >=63 divisori
- La parola d’ordine Il fantasma posto a guardia dell’ingresso della casa di Rapportaureo, cui Hardy, Hermita e Ron apparten- gono, permette l’ingresso solo a coloro che sanno risolvere facili quesiti di natura matemagica. Il fantasma chiede quale sia il più piccolo multiplo intero di 73 tale che il suo quadrato abbia almeno 63 divisori. Qual è la parola d’ordine?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1752 Fonte: apri PDF p.2
Little multiple of 73 with square >=63 divisors
- The ghost guarding the entrance to the house of Rapporteur, to which Hardy, Hermita and Ron belong, allows entry only to those who can solve easy mathematical questions. The ghost asks which is the smallest integer multiple of 73 such that its square has at least 63 divisors. What’s the keyword?
Answer: 1752 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q08
Modi di colorare prisma base quadrata con 6 colori
- Alla lezione di manufatti geomantici Alla lezione di manufatti geomantici, Hardy, Hermita e Ron devono svolgere un compito in gruppo: hanno a disposizione 6 colori diversi e vogliono verniciare un prisma a base quadrata (che ha l’altezza maggiore dello spigolo di base) in modo tale che ogni colore sia usato per una e una sola faccia.
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: parita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 9030 Fonte: apri PDF p.2
Mode of colouring square base prism with 6 colours
- In the lesson of geomatics, Hardy, Hermita and Ron have a group task: they have 6 different colours available and want to paint a prism on a square base (which has a height greater than the base frame) so that each colour is used for one and only one face.
Answer: 9030 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q09
Perimetro unione di 6 cerchi su esagono (coeff. di pi)
La pianta del castello La pianta del castello di Hortona, sede della Scuola Matemagica Superiore, è costituita dall’unione di 6 cerchi di raggio pari a 100, i cui centri sono disposti sui vertici di un esagono regolare di lato 100. Quanto misura il perimetro del castello? Si risponda con il risultato a meno del fattore π (in altre parole, se ad esempio il risultato è 10π, allora la risposta da dare è 0010).
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0400 Fonte: apri PDF p.2
Six circles on a hexagon (coefficient of adhesion) perimeter di pi)
The plant of the castle The plant of the castle of Hortona, seat of the Higher Mathematical School, consists of the union of 6 circles of radius equal to 100, the centers of which are arranged on the vertices of a regular hexagon of side 100. What is the perimeter of the castle? The result is less than π (in other words, if for example the result is 10π, then the answer is 0010).
Answer: 0400 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q10
Massimo fogli veritieri tra 10000 in cerchio bugiardi/sinceri
Giochi pericolosi Giocare con gli intrugli può essere piuttosto pericoloso. I 5000 allievi della casa di Rapportaureo hanno bevuto una pozione che li costringe a dire sempre la verità, mentre i 5000 allievi della casa di Partimmaginaria hanno bevuto una pozione che li costringe sempre a mentire. I 10000 allievi delle due case si dispongono in cerchio e ognuno scrive su una pergamena Il mio vicino di destra è di Rapportaureo oppure Il mio vicino di destra è di Partimmaginaria. Naturalmente, tutti sanno a che case appartengono i vicini. Quanti fogli Il mio vicino di destra è di Rapportaureo ci possono essere, al massimo?
Gara a Squadre 2006 – Finale nazionale– Testi dei problemi – Pag. 3 di 4
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9998 Fonte: apri PDF p.2
Maximum truth sheets in 10000 lying/sincere circles
Dangerous games Playing with tricks can be quite dangerous. The 5,000 students of the house of Rapportaureo drank a potion that forced them to tell the truth all the time, while the 5,000 students of the house of Partimmaginaria drank a potion that forced them to always lie. The 10,000 students in the two houses are arranged in a circle and each one writes on a scroll. My right neighbor is from Rapporteur or my right neighbor is from Partimagineria. Of course, everyone knows which houses the neighbors belong to. How many sheets of my right-hand neighbor’s reporting can there be, at most?
Team competition 2006 National final Problem texts Pag. 3 di 4
Answer: 9998 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q11
Numero cubi con vertici in griglia 11x11x11 interi
Uno schema di Quamditch Hardy, il capitano della squadra di Quamditch della casa di Rapportaureo, istruisce i suoi compagni di squadra su un nuovo schema di gioco che ha elaborato. Se si considera nello spazio l’insieme Q dei punti che hanno coordinate intere e comprese tra 0 e 10 (inclusi), quanti cubi esistono con gli spigoli paralleli agli assi cartesiani e con i vertici appartenenti a Q?
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 3025 Fonte: apri PDF p.3
Number of cubes with 11x11x11 integer grid vertices
A pattern by Quamditch Hardy, the captain of the Quamditch team at the Reporter’s House, instructs his teammates on a new game pattern he’s worked out. If we consider in space the sum Q of points that have whole coordinates and are between 0 and 10 (included), how many cubes are there with the axes parallel to the Cartesian axis and with the vertices belonging to Q?
Answer: 3025 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q12
Massimo numero 4 cifre prodotto di soli 2 e moltiplicazioni
Alla lezione di divinazione Il povero Ron è stato bendato e l’insegnante di divinazione ha scritto una formula alla lavagna. Sapendo che nell’espressione compaiono solo cifre 2 e segni di moltiplicazione, e che il risultato ha quattro cifre ed è il massimo possibile, che risposta dovrebbe dare Ron?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9768 Fonte: apri PDF p.3
Maximum 4 digits produced by only 2 digits and multiples
At the divination lesson poor Ron was blindfolded and the divination teacher wrote a formula on the board. Knowing that in the expression only 2 digits and multiplication marks appear, and that the result has four digits and is the maximum possible, what should Ron answer?
Answer: 9768 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q13
Rapporto 1000 A/B aree triangoli in dodecagono
Difesa contro la matemagia oscura Lezione di gruppo al corso di difesa contro la matemagia oscura! Dodici studenti, indicati ordinatamente con S1, S2, … , S12, si dispongono ai vertici di un dodecagono regolare. Se si tracciano i segmenti S1S6, S5S10 e S9S2, si formano quattro triangoli. Sia A l’area del triangolo centrale e B la somma delle aree degli altri tre. Si calcoli 1000A/B.
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1000 Fonte: apri PDF p.3
*Rate 1000 A/B area triangles in the two-dimensional plane *
Defence against dark mathematics group lesson in the course of defence against dark mathematics! Twelve students, numbered S1, S2, respectively… , S12, are located at the vertices of a regular dodecagon. If the segments S1S6, S5S10 and S9S2 are plotted, four triangles are formed. Both A the area of the central triangle and B the sum of the areas of the other three. Calculate 1000A/B.
Answer: 1000 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q14
Costante di quadrato magico parzialmente riempito
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (3,3);
\node at (2.5,2.5) {33};
\node at (0.5,0.5) {31};
\node at (1.5,0.5) {28};
\end{tikzpicture}
\end{document}Un manufatto magico di inusitata potenza La brillante Hermita è alle prese con un incantesimo estremamente difficile, che mira a creare un quadrato magico (ovvero un quadrato in cui la somma dei numeri su ogni riga, ogni colonna ed ogni diagonale sia lo stesso valore, detto costante mistica del quadrato). L’incantesimo, come si vede dalla figura, è purtroppo ancora incompleto. Qual è la costante del quadrato magico? 33 31 28
Topic: Logica, giochi, strategie, Algebra Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0096 Fonte: apri PDF p.3
Magic square coast partially filled
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (3,3);
\node at (2.5,2.5) {33};
\node at (0.5,0.5) {31};
\node at (1.5,0.5) {28};
\end{tikzpicture}
\end{document}The brilliant Hermit is grappling with an extremely difficult spell, which aims to create a magic square (a square in which the sum of the numbers on each line, column and diagonal is the same value, called the mystical constant of the square). As you can see from the picture, sorcery is unfortunately still incomplete. What’s the constant of the magic square? 33 31 28
Answer: 0096 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q15
Somma razionali a/30 ridotti minori di 10
Matricole ambiziose Le matricole della Scuola Matemagica Superiore sono destinate alla loro casa di appartenenza a seconda delle loro attitudini matemagiche. Quest’anno, per entrare nell’ambita casa di Rapportaureo, era necessario trovare la somma di tutti i razionali positivi che, ridotti ai minimi termini, hanno la forma a 30, e che sono minori di 10. Che risposta hanno dato le matricole di Rapportaureo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0400 Fonte: apri PDF p.3
Rational sum of a/30 less than 10
Ambitious matriculation Higher Mathematical School students are assigned to their home country according to their mathematical attitudes. This year, in order to enter the House of Rapporteur, it was necessary to find the sum of all the positive rations which, reduced to the minimum terms, have the form of 30, and which are less than 10. What was the response of the student body?
Answer: 0400 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q16
Quanti interi >9 con cifre strettamente crescenti
Una condanna da evitare I seguaci di Colui-che-non-può-essere-dimostrato, accaniti sostenitori di una matemagia oscura e piena di contraddizioni, sono alla sbarra! Anche domande semplici possono rivelare le loro distorte conoscenze matemagiche. Ad esempio, il giudice ha chiesto quanti sono gli interi positivi strettamente maggiori di 9 le cui cifre in base 10 sono strettamente crescenti da sinistra verso destra. Cosa si deve rispondere per evitare la condanna?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0502 Fonte: apri PDF p.3
Integres >9 with strictly increasing numbers
A condemnation to be avoided The followers of the One-who-can-not-be-proved, fierce proponents of dark and contradictory mathematics, are on the verge! Even simple questions can reveal their distorted mathematical knowledge. For example, the judge asked how many positive integers strictly greater than 9 whose digits on base 10 are strictly increasing from left to right. What is the answer to avoid condemnation?
Answer: 0502 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q17
Interi pari in [4000,7000] con tutte cifre diverse
Matricole allo sbando Le matricole della Scuola Matemagica Superiore sono destinate alla loro casa di appartenenza a seconda delle loro attitudini matemagiche. Quest’anno, ad esempio, per poter entrare nella casa di Inclusionesclusione era necessario saper dire quanti sono gli interi pari, compresi tra 4000 e 7000, che hanno tutte le cifre diverse. Qual è la risposta giusta?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0728 Fonte: apri PDF p.3
*Interies equal to [4000,7000] with all other digits *
Graduates of the Higher Mathematical School are assigned to their home country according to their mathematical attitudes. This year, for example, in order to enter the house of Inclusion, it was necessary to know how many integers are equal, including between 4000 and 7000, all of which have different digits. What’s the right answer?
Answer: 0728 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q18
Probabilita disposizione 4 persone su 2 file (vedono bene)
L’odioso Fracto Hardy, Hermita e Ron vanno a lezione con l’odioso Fracto Malpoysto. I quattro si dispongono casualmente su 2 file da 5 posti ciascuna. Calcolare la probabilità che tutti vedano bene, cioè che nessuno abbia qualcun altro davanti. Esprimere il risultato come somma del numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Pag. 4 di 4 – Gara a Squadre 2006 – Finale nazionale– Testi dei problemi
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0029 Fonte: apri PDF p.3
*Probability of 4 people on 2 rows (seeing well) *
Hardy, Hermita and Ron are going to class with Fracto Malpoysto. The four are randomly arranged in two rows of five seats each. Calculate the probability that everyone sees well, that is, that nobody has anyone else in front of them. Express the result as the sum of the numerator and denominator of the fraction reduced to minimum terms.
I’m going to pay. 4 out of 4 Team competition 2006 National final Problem texts
Answer: 0029 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q19
Angolo AED con punti medi archi nel circoscritto
Impostori svelati Spesso ci si chiede come sia possibile riconoscere un matemago da un matebbano, cioè qualcuno a digiuno di matemagia. Il metodo è molto semplice! Provate a chiedere a un matebbano il seguente quesito. Sia ABC un triangolo, con d ABC = 75°e d ACB = 53°. Disegnata la circonferenza circoscritta ad ABC, siano E il punto medio dell’arco BC non contenente A, e D il punto medio dell’arco BC contenente A. Quanto vale l’angolo [ AED?
Cesenatico Gara a Squadre 2 6 VII GARA NAZIONALE A SQUADRE Finale nazionale – SOLUZIONI – 6 maggio 2006 Nr. Problema
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0011 Fonte: apri PDF p.4
AED angle with arcing midpoints in the enclosure
Unveiled impostors People often wonder how a mathematician can be recognized by a mateban, that is, someone who is fasting mathematics. The method is very simple! Try asking a mattress the following question. Whether ABC is a triangle, with d ABC = 75° and d ACB = 53°. Drawing the circumference circumscribed to ABC, be E the middle point of the BC arc not containing A, and D the middle point of the BC arc containing A. How much is the angle?
Cesenatico Competition in teams 2 6 VII GARA NATIONAL A SQUADER National Final SOLUTIONS 6 May 2006 No. The problem
Answer: 0011 src_cesenatico_2006_squadre_finale__Q20