2006-esimo intero che non e ne quadrato ne cubo
Alla lezione di divinazione Hardy e Ron sono stati di nuovo pizzicati a chiacchierare durante la noiosa lezione di divinazione. Per punizione devono risolvere un esercizio: data la sequenza 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, .. ., formata da tutti gli interi positivi che non sono n´e quadrati n´e cubi di altri interi, vaticinare il 2006-esimo termine.
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2060 Fonte: apri PDF p.1
2006-th integer other than squared in cube
At the divination lesson, Hardy and Ron were again bitten to chat during the boring divination lesson. For punishment they must perform an exercise: given sequence 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, .. . , composed of all positive integers other than n squares and n cubes of other integers, for the 2006th term.
Answer: 2060 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q01
Coppie (a,b) con a<=222 e a/2<b<2a/3
La prima prova del torneo Finalmente è giunto il gran giorno del torneo TreAngoli, che mette a confronto i migliori studenti di matemagia. Ecco la prima prova: trovare quante sono le coppie (a,b) di interi positivi tali che a ≤222 e a 2 < b < 2 3a.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4033 Fonte: apri PDF p.1
Pairs (a,b) with a<=222 and a/2<b<2a/3
The first test of the tournament finally came the big day of the Triangle tournament, which compares the best math students. Here’s the first test: Find how many pairs (a,b) of positive integers are such as a ≤222 and a 2 < b < 2 3a.
Answer: 4033 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q02
Lunghezza BC dati due lati e mediana da A
La costruzione del malandrino L’unico modo per rendere visibile ciò che è stato scritto sulla costruzione del malandrino consiste nel risolvere un problema geomantico: in un triangolo ABC le lunghezze dei lati uscenti da A sono 1358 e 2006, e la mediana uscente da A ha lunghezza 1358. Qual è la lunghezza di BC?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2088 Fonte: apri PDF p.1
Length BC given by two sides and median by A
The only way to make visible what has been written about the construction of the malander is to solve a geometric problem: in an ABC triangle the lengths of the sides coming out of A are 1358 and 2006, and the median coming out of A is 1358. What’s the length of BC?
Answer: 2088 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q03
Somma anni N in [476,1492] con x^4-y^4=N risolvibile
Successioni Per una strana, matemagica coincidenza, nel Medio Evo il direttore della Scuola Matemagica Superiore è stato nominato solo negli anni con la seguente peculiare proprietà: sono stati tutti gli anni N tra il 476 e il 1492 per cui l’equazione x4 −y4 = N ha soluzione negli interi positivi. Qual è la somma di questi anni?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8383 Fonte: apri PDF p.1
Sum of years N in [476,1492] with x^4-y^4=N solvable*
For a strange, mathematical coincidence, in the Middle Ages the director of the Higher Mathematical School was appointed only in the years with the following peculiar property: it was all the years N between 476 and 1492 for which the equation x4 −y4 = N has solution in positive integers. What’s the sum of these years?
Answer: 8383 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q04
Frazioni m/n ridotte con mn=20!*
Distrazioni Henri e Smale Perelman, i due fratelli più grandi di Ron, raramente seguono le lezioni e piuttosto si dedicano a inventare nuovi giochi. Oggi giocano a chi indovina per primo il seguente quesito: dire quante sono le frazioni m n , ridotte ai minimi termini, tali che 0 < m n < 1 e per cui m·n = 20!.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0128 Fonte: apri PDF p.1
Reduced fractions m/n with mn=20!*
Distractions Henri and Smale Perelman, Ron’s two older brothers, rarely attend classes and instead dedicate themselves to inventing new games. Today they are playing on the first to guess the following question: how many fractions m n , reduced to minimum terms, such that 0 < m n < 1 and hence m·n = 20!.
Answer: 0128 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q05
Somma valori a con a^2+b^2=1105
Selezione della rosa Il Quamditch è uno sport che coniuga scatto, agilità e potenza tanto di pensiero che di azione. Per questo Hardy, capitano della squadra di Quamditch della casa di Rapportaureo, sottopone gli aspiranti matemaghi atleti alla seguente prova: mentre eseguono una tripla capriola carpiata, devono considerare tutte le coppie ordinate di interi positivi (a,b) tali che a2 +b2 = 1105. Qual è la somma dei diversi valori di a?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0168 Fonte: apri PDF p.1
Summary values of a with a^2+b^2=1105
Selection of the rose Quamditch is a sport that combines shot, agility and power of thought and action. For this reason, Hardy, captain of the Quamditch team of the House of Rapporteur, subjects aspiring mathematicians to the following test: while performing a triple capriola carpiata, they must consider all the ordered pairs of positive integers (a,b) such that a2 + b2 = 1105. What is the sum of the different values of a?
Answer: 0168 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q06
Numero di zeri finali del prodotto dei divisori di 1500000
La pozione Polifattore La preparazione di certe pozioni è lunga ed elaborata, impresa solo per matemaghi esperti. L’abile Hermita è intenta a preparare la pozione Polifattore: essa richiede un certo numero di sanguisughe. Tale numero P è il prodotto di tutti i divisori positivi di 1500000 (incluso lo stesso 1500000). Con quanti zeri termina P? Gara a Squadre 2006 – Semifinale A– Testi dei problemi – Pag. 1 di 2
Pag. 2 di 2 – Gara a Squadre 2006 – Semifinale A– Testi dei problemi
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0210 Fonte: apri PDF p.1
Number of final zeroes of the splitter product of 1500000
The preparation of certain potions is long and elaborate, undertaken only by experienced mathematicians. Hermitate is intended for the preparation of the Polyfactor potion: it requires a number of leeches. This number P is the product of all positive divisors of 1500000 (including 1500000 itself). How many zeros does P end with? Team competition 2006 Semifinal A Problem tests Pag. 1 di 2
I’m going to pay. 2 out of 2 Team competition 2006 Semifinal A Problem tests
Answer: 0210 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q07
AP intersezione altezza-mediana in triangolo rettangolo 7,24
Impostori svelati Spesso ci si chiede come sia possibile riconoscere un matemago da un matebbano, cioè qualcuno a digiuno di matemagia. Il metodo è molto semplice! Provate a chiedere a un matebbano il seguente quesito. In un triangolo ABC, retto in A, siano AB = 7 e AC = 24. Sia P l’intersezione tra l’altezza da A e la mediana da B. Determinare AP. Rispondere con la somma del numeratore e del denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2437 Fonte: apri PDF p.2
AP intersection height-median in the triangle rectangle 7,24
Uncovered impostors Often one wonders how it is possible to recognize a mathematician from a mateban, that is, someone fasting in mathematics. The method is very simple! Try asking a mattress the following question. In an ABC triangle, straight to A, be AB = 7 and AC = 24. P is the intersection of height from A to median from B. Determine the AP. Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 2437 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q08
Volte che lancetta secondi sorpassa minuti in una settimana
La giratempo La valente Hermita è piuttosto confusa dall’uso della Giratempo, che le permette di viaggiare nel tempo. Dunque si ritrova costretta a tenere spesso d’occhio l’orologio. Sia N il numero di volte che, in una settimana, la lancetta dei secondi sorpassa la lancetta dei minuti. Quanto vale N?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9912 Fonte: apri PDF p.2
Volte che lancetta secondi sorpassa minuti in una settimana
La giratempo La valente Hermita è piuttosto confusa dall’uso della Giratempo, che le permette di viaggiare nel tempo. Dunque si ritrova costretta a tenere spesso d’occhio l’orologio. Sia N il numero di volte che, in una settimana, la lancetta dei secondi sorpassa la lancetta dei minuti. Quanto vale N?
Answer: 9912 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q09
Rapporto 360 B/A tra esagono e stella di David
Alla lezione di geomanzia Hardy e Hermita sono nel laboratorio di geomanzia, per esercitarsi a creare simboli magici. Partendo da una circonferenza su cui segnano sei punti equidistanti, Hermita propone di completare la figura unendo i sei punti a formare una stella di David, di area A. Hardy invece propone di unirli ad esagono, di area B. Per misurare la potenza dei due incantesimi, i due misurano le due aree. Dire quanto vale 360B/A.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0540 Fonte: apri PDF p.2
Ratio 360 B/A between hexagon and star of David
In geomancy class, Hardy and Hermita are in the geomancy lab, practicing to create magical symbols. Starting from a circumference on which six equidistant points mark, Hermita proposes to complete the figure by joining the six points to form a star of David, of area A. Hardy, on the other hand, proposes to join them to the hexagon, of area B. To measure the power of the two spells, the two measure the two areas. Say what 360B/A is worth.
Answer: 0540 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q10
Piu piccolo numero 4 cifre con condizione su quadrato
La seconda prova del torneo I concorrenti al temibile torneo TreAngoli che hanno superato la prima prova si trovano ora ad affrontare la seconda. Devono trovare il più piccolo numero di esattamente 4 cifre tale per cui, sommando le ultime quattro cifre del suo quadrato al numero iniziale, si ottenga 10000.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9375 Fonte: apri PDF p.2
Little number 4 digits with condition on square
Competitors in the dreadful Triangle Tournament who have passed the first test are now facing the second. They have to find the smallest number of exactly four digits so that, adding the last four digits of its square to the initial number, you get 10,000.
Answer: 9375 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q11
Piu piccolo numero 4 cifre distinte con condizione media cifre
Agognata libertà Come tutti i matemaghi sanno, un alfo domestico può riconquistare la sua libertà se riesce a risolvere un problema che gli pone il suo padrone. Recentemente un alfo si è visto chiedere qual è il più piccolo numero intero di 4 cifre distinte e non nulle tale che ogni sua cifra (ad eccezione della prima e dell’ultima) sia strettamente maggiore della media aritmetica delle due cifre adiacenti. Qual è la risposta che restituisce la libertà all’alfo?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1342 Fonte: apri PDF p.2
Little number 4 distinct digits with mean digit condition
As all mathematicians know, a domestic elf can regain his freedom if he manages to solve a problem that his master poses to him. Recently an alphas was asked what is the smallest integer of 4 distinct and non-zero digits such that each of its digits (except the first and last) is strictly greater than the arithmetic mean of the two adjacent digits. What is the answer that gives freedom back to the alpha?
Answer: 1342 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q12
Angolo DAE in configurazione ciclica con DE=AE
La capanna del guardacaccia Hardy, Ron e Hermita amano trascorrere il pomeriggio davanti a una tazza fumante di tè in compagnia del guardacaccia. In queste occasioni la meticolosa Hermita ha sempre un nuovo problema di geomanzia, la sua materia preferita, da proporre agli amici. I punti B, C, D, E giacciono sulla stessa circonferenza e sia A l’intersezione tra la retta BE e la retta CD (vedere figura). Sappiamo che DE = AE e che d ACB = 40°. Determinare d DAE. A B D E C
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0070 Fonte: apri PDF p.2
Angle DAE in cyclic configuration with DE=AE
Hardy’s hunting lodge, Ron and Hermita enjoy spending the afternoon in front of a smoking cup of tea with the hunting lodge. On these occasions the meticulous Hermit has always a new problem of geomancy, her favorite subject, to propose to friends. Points B, C, D and E lie on the same circumference and both A the intersection between the straight BE and the straight CD (see figure). We know that DE = AE and that d ACB = 40°. Determine the DAE. A B D E C
Answer: 0070 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q13
Numero colorazioni distinte di tetraedri con 20 colori
Il collezionista Il professor Primon fa una strana collezione di manufatti di matemagia oscura. Si tratta di tetraedri regolari che hanno facce tutte colorate di un solo colore (diverso per ogni faccia), e i colori vengono scelti da una gamma di 20 colori diversi. Il professor Primon possiede già un elemento di questa collezione e ne compra un altro, poi torna a casa lo capovolge, lo ruota sulla base, e si accorge che in realta è un doppione. Quanti pezzi conta in totale la collezione (due pezzi ottenibili l’uno dall’altro mediante rotazioni, sono da considerarsi lo stesso)?
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 9690 Fonte: apri PDF p.2
Number of distinct colours of tetrahedra with 20 colours
The collector Professor Primon makes a strange collection of dark mathematics artifacts. These are regular tetrahedra that have all colored faces of a single color (different for each face), and colors are chosen from a range of 20 different colors. Professor Primon already owns an item from this collection and buys another one, then he goes home and turns it upside down, turns it on the base, and he realizes that it’s actually a duplicate. How many pieces are in total in the collection (two pieces obtained by rotation are to be considered the same)?
Answer: 9690 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q14
Somma quadrati delle radici di x^3-46x^2+55x-7
L’ultima prova del torneo La fine del torneo TreAngoli è vicina, e presto si saprà il nome del matemago supremo, colui che sarà ricordato per le ere a venire. Solo un prova separa Hardy dal meritato trionfo: determinare quanto vale la somma dei quadrati delle radici del polinomio x3 −46x2 +55x−7.
Cesenatico Gara a Squadre 2 6 VII GARA NAZIONALE A SQUADRE Semifinale A – SOLUZIONI – 5 maggio 2006 Nr. Problema
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2006 Fonte: apri PDF p.2
Summary of the square roots of x^3-46x^2+55x-7
The end of the Triangle Tournament is near, and soon the name of the supreme mathematician will be known, the one who will be remembered for ages to come. Only one test separates Hardy from the deserved triumph: determining how much the sum of the squares of the roots of the polynomial x3 −46x2 +55x−7 is worth.
Cesenatico Competition in teams 2 6 VII NATIONAL GARA A Semifinal Team A Solution 5 May 2006 Nr. The problem
Answer: 2006 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_a__Q15