AP intersezione altezza-mediana in triangolo rettangolo 21,20
Impostori svelati Spesso ci si chiede come sia possibile riconoscere un matemago da un matebbano, cioè qualcuno a digiuno di matemagia. Il metodo è molto semplice! Provate a chiedere a un matebbano il seguente quesito. In un triangolo ABC, retto in A, siano AB = 21 e AC = 20. Sia P l’intersezione tra l’altezza da A e la mediana da B. Determinare AP. Rispondere con la somma del numeratore e del denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 6731 Fonte: apri PDF p.1
AP height-median intersection in a rectangular triangle of 21.20
Unveiled impostors People often wonder how a mathematician can be recognized by a mateban, that is, someone who is fasting mathematics. The method is very simple! Try asking a mattress the following question. In an ABC triangle, straight to A, be AB = 21 and AC = 20. P is the intersection of height from A to median from B. Determine the AP. Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 6731 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q01
Angolo DAE in configurazione ciclica con DE=AE
La capanna del guardacaccia Hardy, Ron e Hermita amano trascorrere il pomeriggio davanti a una tazza fumante di tè in compagnia del guardacaccia. In queste occasioni la meticolosa Hermita ha sempre un nuovo problema di geomanzia, la sua materia preferita, da proporre agli amici. I punti B, C, D, E giacciono sulla stessa circonferenza e sia A l’intersezione tra la retta BE e la retta CD (vedere figura). Sappiamo che DE = AE e che d ACB = 50°. Determinare d DAE. A B D E C
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0065 Fonte: apri PDF p.1
Angle DAE in cyclic configuration with DE=AE
Hardy, Ron, and Hermita love spending the afternoon in front of a smoking cup of tea in the hunter’s company. On these occasions the meticulous Hermit has a new problem of geomancy, her favorite subject, to propose to friends. Points B, C, D and E lie on the same circumference and both A the intersection between the straight BE and the straight CD (see figure). We know that DE = AE and that d ACB = 50°. Determine the DAE. A B D E C
Answer: 0065 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q02
Somma anni N in [1492,2006] con x^4-y^4=N risolvibile
Successioni Per una strana, matemagica coincidenza, nell’Evo moderno il direttore della Scuola Matemagica Superiore è stato nominato solo negli anni con la seguente peculiare proprietà: sono stati tutti gli anni N tra il 1492 e il 2006 per cui l’equazione x4 −y4 = N ha soluzione negli interi positivi. Qual è la somma di questi anni?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3471 Fonte: apri PDF p.1
Sum of years N in [1492,2006] with x^4-y^4=N solvable*
Succession For a strange mathematical coincidence, in the modern age the director of the Higher Mathematical School was appointed only in the years with the following peculiar property: it was all the years N between 1492 and 2006 for which the equation x4 −y4 = N has solution in positive integers. What’s the sum of these years?
Answer: 3471 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q03
Numero di zeri finali del prodotto dei divisori di 1800000
La pozione Polifattore La preparazione di certe pozioni è lunga ed elaborata, impresa solo per matemaghi esperti. L’abile Hermita è intenta a preparare la pozione Polifattore: essa richiede un certo numero di sanguisughe. Tale numero P è il prodotto di tutti i divisori positivi di 1800000 (incluso lo stesso 1800000). Con quanti zeri termina P?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0315 Fonte: apri PDF p.1
Number of final zeros of the 1800000 splitter product
The preparation of certain potions is long and elaborate, undertaken only by experienced mathematicians. Hermitate is intended for the preparation of the Polyfactor potion: it requires a number of leeches. This number P is the product of all positive divisors of 1800000 (including 1800000 itself). How many zeros does P end with?
Answer: 0315 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q04
Coppie (a,b) con a<=246 e a/2<b<2a/3
La prima prova del torneo Finalmente è giunto il gran giorno del torneo TreAngoli, che mette a confronto i migliori studenti di matemagia. Ecco la prima prova: trovare quante sono le coppie (a,b) di interi positivi tali che a ≤246 e a 2 < b < 2 3a.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4961 Fonte: apri PDF p.1
Pairs (a,b) with a<=246 and a/2< b< 2a/3
The first test of the tournament finally came the big day of the Triangle tournament, which compares the best math students. Here’s the first test: Find how many pairs (a,b) of positive integers are such as a ≤246 and a 2 < b < 2 3a.
Answer: 4961 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q05
9000-esimo intero che non e ne quadrato ne cubo
Alla lezione di divinazione Hardy e Ron sono stati di nuovo pizzicati a chiacchierare durante la noiosa lezione di divinazione. Per punizione devono risolvere un esercizio: data la sequenza 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, . .. , formata da tutti gli interi positivi che non sono n´e quadrati n´e cubi di altri interi, vaticinare il 9000-esimo termine. Gara a Squadre 2006 – Semifinale B– Testi dei problemi – Pag. 1 di 2
Pag. 2 di 2 – Gara a Squadre 2006 – Semifinale B– Testi dei problemi
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9111 Fonte: apri PDF p.1
*9000th integer other than squared *
At the divination lesson, Hardy and Ron were again bitten to chat during the boring divination lesson. For punishment , they must solve an exercise: given sequence 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11. .. , made up of all positive integers that are not n squares n cubes of other integers, predict the 9,000th term. Team competition 2006 Semifinal B Problem tests Pag. 1 di 2
I’m going to pay. 2 out of 2 Team competition 2006 Semifinal B Problem tests
Answer: 9111 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q06
Piu grande numero 4 cifre con quadrato che termina uguale
La seconda prova del torneo I concorrenti al temibile torneo TreAngoli che hanno superato la prima prova si trovano ora ad affrontare la seconda. Devono trovare il piu‘ grande numero di esattamente 4 cifre tale che il suo quadrato termini con lo stesso numero di 4 cifre.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9376 Fonte: apri PDF p.2
*Biggest number of 4 digits with a square ending equal to *
Competitors in the dreadful Triangle Tournament who have passed the first test are now facing the second. They have to find the largest number of exactly four digits such that its square ends with the same four-digit number.
Answer: 9376 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q07
Somma quadrati delle radici di x^3-89x^2+72x-11
L’ultima prova del torneo La fine del torneo TreAngoli è vicina, e presto si saprà il nome del matemago supremo, colui che sarà ricordato per le ere a venire. Solo un prova separa Hardy dal meritato trionfo: determinare quanto vale la somma dei quadrati delle radici del polinomio x3 −89x2 +72x−11.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 7777 Fonte: apri PDF p.2
Summary of the square root of x^3-89x^2+72x-11
The end of the Triangle tournament is near, and soon the name of the supreme mathematician will be known, the one who will be remembered for ages to come. Only one test separates Hardy from the deserved triumph: determining how much the sum of the squares of the roots of the polynomial x3 −89x2 +72x−11 is worth.
Answer: 7777 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q08
Lunghezza BC dati due lati e mediana da A
La costruzione del malandrino L’unico modo per rendere visibile ciò che è stato scritto sulla costruzione del malandrino consiste nel risolvere un problema geomantico: in un triangolo ABC le lunghezze dei lati uscenti da A sono 799 e 1123, e la mediana uscente da A ha lunghezza 799. Qual è la lunghezza di BC?
Topic: Geometria piana Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1116 Fonte: apri PDF p.2
Length BC given by two sides and median by A
The only way to make visible what has been written about the construction of the malandrino is to solve a geometric problem: in an ABC triangle the lengths of the sides coming out of A are 799 and 1123, and the median coming out of A is 799. What’s the length of BC?
Answer: 1116 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q09
Somma valori a con a^2+b^2=1885
Selezione della rosa Il Quamditch è uno sport che coniuga scatto, agilità e potenza tanto di pensiero che di azione. Per questo Hardy, capitano della squadra di Quamditch della casa di Rapportaureo, sottopone gli aspiranti matemaghi atleti alla seguente prova: mentre eseguono una tripla capriola carpiata, devono considerare tutte le coppie ordinate di interi positivi (a,b) tali che a2 +b2 = 1885. Qual è la somma dei diversi valori di a?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0222 Fonte: apri PDF p.2
Summary values of a with a^2+b^2=1885
Selection of the rose Quamditch is a sport that combines shot, agility and power of thought and action. For this reason, Hardy, captain of the Quamditch team of the House of Rapporteur, subjects aspiring mathematicians to the following test: while performing a triple capriola carpiata, they must consider all ordered pairs of positive integers (a,b) such that a2 + b2 = 1885. What is the sum of the different values of a?
Answer: 0222 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q10
Volte che lancetta secondi sorpassa minuti in 24 ore
La giratempo La valente Hermita è piuttosto confusa dall’uso della Giratempo, che le permette di viaggiare nel tempo. Dunque si ritrova costretta a tenere spesso d’occhio l’orologio. Sia N il numero di volte che, in 24 ore, la lancetta dei secondi sorpassa la lancetta dei minuti. Quanto vale N?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1416 Fonte: apri PDF p.2
Volt that launches seconds exceeds minutes in 24 hours
Hermitage is quite confused by the use of Time Travel, which allows her to travel through time. So she finds herself often forced to keep an eye on the clock. Both N the number of times, in 24 hours, the second hand exceeds the minute hand. How much is N?
Answer: 1416 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q11
Piu grande numero 4 cifre distinte con condizione media cifre
Agognata liberta‘ Come tutti i matemaghi sanno, un alfo domestico può riconquistare la sua libertà se riesce a risolvere un problema che gli pone il suo padrone. Recentemente un alfo si è visto chiedere Qual è il più grande numero intero di 4 cifre distinte tale che ogni sua cifra (ad eccezione della prima e dell’ultima) sia strettamente minore della media aritmetica delle due cifre adiacenti. Qual è la risposta che restituisce la libertà all’alfo?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9768 Fonte: apri PDF p.2
Biggest number 4 distinct digits with mean digit condition
As all mathematicians know, a domestic elf can regain his freedom if he manages to solve a problem that his master poses to him. Recently an alphas was asked what is the largest integer of 4 distinct digits so that each of its digits (except the first and last) is narrowly less than the arithmetic mean of the two adjacent digits. What is the answer that gives freedom back to the alpha?
Answer: 9768 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q12
Numero colorazioni distinte di tetraedri con 16 colori
Il collezionista Il professor Primon fa una strana collezione di manufatti di matemagia oscura. Si tratta di tetraedri regolari che hanno facce tutte colorate di un solo colore (diverso per ogni faccia), e i colori vengono scelti da una gamma di 16 colori diversi. Il professor Primon possiede già un elemento di questa collezione e ne compra un altro, poi torna a casa lo capovolge, lo ruota sulla base, e si accorge che in realta è un doppione. Quanti pezzi conta in totale la collezione (due pezzi ottenibili l’uno dall’altro mediante rotazioni, sono da considerarsi lo stesso)?
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 3640 Fonte: apri PDF p.2
Number of distinct colours of tetrahedra with 16 colours
The collector Professor Primon makes a strange collection of dark mathematics artifacts. These are regular tetrahedra that have all colored faces of a single color (different for each face), and the colors are chosen from a range of 16 different colors. Professor Primon already owns an item from this collection and buys another one, then he goes home and turns it over, turns it over on the base, and he realizes that it’s actually a duplicate. How many pieces are in total in the collection (two pieces obtained by rotation are to be considered the same)?
Answer: 3640 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q13
Frazioni m/n ridotte con mn=18!*
Distrazioni Henri e Smale Perelman, i due fratelli più grandi di Ron, raramente seguono le lezioni e piuttosto si dedicano a inventare nuovi giochi. Oggi giocano a chi indovina per primo il seguente quesito: dire quante sono le frazioni m n , ridotte ai minimi termini, tali che 0 < m n < 1 e per cui m·n = 18!.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0064 Fonte: apri PDF p.2
Reduced fractions m/n with mn=18!*
Distractions Henri and Smale Perelman, Ron’s two older brothers, rarely attend classes and instead dedicate themselves to inventing new games. Today they are playing to the first to guess the following question: how many fractions m n , reduced to minimum terms, such that 0 < m n < 1 and so m·n = 18!.
Answer: 0064 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q14
Rapporto 320 B/A tra esagono e stella di David
Alla lezione di geomanzia Hardy e Hermita sono nel laboratorio di geomanzia, per esercitarsi a creare simboli magici. Partendo da una circonferenza su cui segnano sei punti equidistanti, Hermita propone di completare la figura unendo i sei punti a formare una stella di David, di area A. Hardy invece propone di unirli ad esagono, di area B. Per misurare la potenza dei due incantesimi, i due misurano le due aree. Dire quanto vale 320B/A.
Cesenatico Gara a Squadre 2 6 VII GARA NAZIONALE A SQUADRE Semifinale B – SOLUZIONI – 5 maggio 2006 Nr. Problema
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0480 Fonte: apri PDF p.2
Ratio 320 B/A between hexagon and star of David
In geomancy class, Hardy and Hermita are in the geomancy lab, practicing to create magical symbols. Starting from a circumference on which six equidistant points mark, Hermita proposes to complete the figure by joining the six points to form a star of David, of area A. Hardy, on the other hand, proposes to join them to the hexagon, of area B. To measure the power of the two spells, the two measure the two areas. Tell me what 320B/A is worth.
Cesenatico Competition in teams 2 6 VII NATIONAL GARA A Semifinal squad B Solution 5 May 2006 Nr. The problem
Answer: 0480 src_cesenatico_2006_squadre_semifinale_b__Q15