Valore di x che massimizza lunghezza successione a_n=a_(n-2)-a_(n-1)
Missione strampalata [25] Oggi la squadra di Numeruto si trova ad affrontare una missione piuttosto singolare. I tre si ritrovano a considerare la successione di naturali a1 = 1000, a2 = x, a3 = a1−a2, … , an = an−2−an−1. La successione termina al primo ai negativo. Quale valore di x dovrebbe rintracciare la squadra di Numeruto per ottenere la sequenza più lunga?
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
*Value of x which maximizes length of succession a_n=a_(n-2)-a_(n-1) *
Today, Numeruto’s team is facing a rather singular mission. The three find themselves considering the succession of natural a1 = 1000, a2 = x, a3 = a1−a2, … , an = an−2−an−1. The sequence ends with the first negative. What value of x should Numeruto’s team trace to get the longest sequence?
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q01
Massima somma raggi di due cerchi tangenti in rettangolo
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw (0,0) rectangle (10,10);
\draw (2.5,7.5) circle (2.5);
\fill (2.5,7.5) circle (1.5pt);
\draw (6.642,3.358) circle (3.358);
\fill (6.642,3.358) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}In campo aperto [10] Numeruto e Sekante si affrontano finalmente, faccia a faccia, in un pianoro. Il pianoro ha la forma di un rettangolo 2940×3000, e si devono tracciare due circonferenze tangenti esternamente, e ognuna delle due tangente a due lati consecutivi del rettangolo, in modo che tutti i lati siano toccati da una sola circonferenza. Determinare quanto vale, al massimo, la somma dei raggi.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
Maximum sum of the radii of two tangent circles in a rectangle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw (0,0) rectangle (10,10);
\draw (2.5,7.5) circle (2.5);
\fill (2.5,7.5) circle (1.5pt);
\draw (6.642,3.358) circle (3.358);
\fill (6.642,3.358) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}In the open field [10] Numeruto and Sekante finally face each other, face to face, on a plateau. The plane is shaped like a rectangle 2940×3000, and two tangent circumferences must be drawn externally, and each of the two tangents on two consecutive sides of the rectangle, so that all sides are touched by a single circumference. Determine the maximum value of the sum of the rays.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q02
Area parallelogramma formato dalle intersezioni dei segmenti
Un motivo di orgoglio [20] Il coprifronte è il simbolo che ogni mateninja del villaggio della Retta indossa con fierezza. Oggi a Numeruto è richiesto di costruirsi da s´e il suo coprifronte. Numeruto parte da un parallelogramma ABCD di area 12600. Dopo di che denota con E, F, G, H i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC, CD, DA e infine traccia i segmenti AG, BH, CE, DF. Calcolare l’area del parallelogramma che ha per vertici le intersezioni di questi quattro segmenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
A parallelogram area formed by the intersections of segments
A reason for pride [20] The front cover is the symbol that every morning in the village of Retta wears proudly. Today Numeruto is required to build himself from his front. Numbering starts from an ABCD parallelogram of area 12600. After that, it denotes with E, F, G, H the mean points of the sides AB, BC, CD, DA respectively and finally traces the segments AG, BH, CE, DF. Calculate the area of the parallelogram at the vertices of the intersections of these four segments.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q03
Piu grande N 4 cifre con penultima cifra 1 in basi 4,5,6,7
Un opportuno accordo [30] Come tutti sanno, i villaggi mateninja della Retta, della Radice, del Monoide e del Binomio contano in basi differenti. Trovare il più grande numero N di 4 cifre decimali la cui penultima cifra sia 1 quando N è scritto in base 4, 5, 6, 7.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Biggest N 4 digits with the last digit 1 in bases 4,5,6,7
An appropriate agreement [30] As everyone knows, the morning villages of Retta, Root, Monoide and Binomio count on different bases. Find the largest number N of 4 decimal digits whose penultimate digit is 1 when N is written in base 4, 5, 6, 7.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q04
Piu piccolo b con (mnmn)_b cubo perfetto, risposta b+m+n
Invasione! [20] I mateninja del villaggio della Radice hanno invaso il villaggio di Numeruto! Ogni angolo di strada è teatro di cruenti scontri. In uno di questi, due mateninja sono impegnati a trovare il più piccolo intero b > 1 tale che esistano m, n naturali minori di b per cui l’intero positivo (mnmn)b (cioè il numero mnmn in base b) sia un cubo perfetto. Restituire come risposta il valore b+m+n. Gara a Squadre 2007 – Gara del pubblico– Testi dei problemi – Pag. 1 di 4
Pag. 2 di 4 – Gara a Squadre 2007 – Gara del pubblico– Testi dei problemi
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Little b with (mnmn)_b perfect cube, answer b+m+n
The invasion! [20] The Moreninja of the village of the Root have invaded the village of Numeruto! Every street corner is the scene of bloody clashes. In one of these, two mateninja are committed to finding the smallest integer b > 1 such that there exist m, n natural minors of b so that the positive integer (mnmn) b (i.e. the number mnmn at the base of b) is a perfect cube. Returns the value of b+m+n as a response. Team competition 2007 Public competition Problem texts Pag. 1 di 4
I’m going to pay. 2 out of 4 Team competition 2007 Public competition Problem texts
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q05
Calcolo a_5N/1000 con numeri di somma cifre 7
Una fortuita coincidenza [30] Il gran consiglio del villaggio della Retta trascrive accuratamente tutti i proventi delle missioni svolte dai suoi mateninja. Una pergamena riporta i ricavi di questo anno e Isoshilo ha subito notato che tutti i numeri a1, a2, … , sono in ordine strettamente crescente e hanno una curiosa caratteristica: sono tutti e soli i numeri che hanno 7 per somma delle cifre (in base decimale). Se N è l’indice del primo ricavo che supera 2000, calcolare a5N 1000
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*Calculate a_5N/1000 with sum numbers of 7 digits *
A coincidence [30] The great council of the village of Retta accurately transcribes all the proceeds of the missions carried out by its moreninja. A scroll records this year’s revenues and Isoshilo immediately noticed that all the numbers a1, a2, … , are in strictly increasing order and have a curious feature: they are all numbers that have 7 as a sum of digits (in decimal form). If N is the index of first income exceeding 2000, calculate a5N 1000
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q06
Probabilita di discendenza infinita (ramificazione)
Una tecnica singolare [35] L’astuto Numeruto Matemaki ha creato una sua copia per confondere gli inseguitori del villaggio del Binomio. La copia però dopo un p´o si dissolve, creando altre due copie di Numeruto con probabilità 5 8, oppure sparendo senza altre conseguenze con probabilità 3
Topic: Probabilita e statistica, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*Infinite probability of descent (branching) *
A singular technique [35] The Numeruto Matemaki has created a copy of it to confuse the pursuers of the village of Binomio. The copy, however, dissolves after a p or so, creating two more copies of Numbers with a probability of 5, 8, or disappearing without further consequences with a probability of 3.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q07
Anni divisibili ordinatamente per k,k-1,… piu lunga del 2007
Con quale probabilità la copia ha dato inizio ad una discendenza che non si estinguerà mai? Dare come soluzione la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini. 8. L’attimo fuggente [35] L’ultimo momento favorevole per il rituale di chiusura del sigillo che imprigiona il demone è stato il 2007, in quanto la matemagia è rafforzata dal fatto che 2007 è divisibile per 9, 2008 per 8, 2009 per 7 e 2010 per 6. Quando inizierà per la prima volta dopo il 2007 una sequenza, più lunga di questa, di anni con la caratteristica di essere divisibili ordinatamente per degli interi positivi k, k −1, k −2, … ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Inclusione-esclusione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Years orderly divided by k, k-1,… more than 2007
What is the probability that the copy started a lineage that will never go extinct? Give as a solution the sum of the numerator and denominator of the fraction reduced to the minimum terms. 8. The last favorable moment for the seal closing ritual that imprisons the demon was 2007, as the mathematics is reinforced by the fact that 2007 is divisible by 9, 2008 by 8, 2009 by 7, and 2010 by 6. When a sequence, longer than this, of years with the characteristic of being orderly divisible by positive integers k, k −1, k −2, begins for the first time after 2007… ?
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q08
Area quadrilatero ciclico con riflessione E (raggio 15)
Amara medicina [40] Otenusa è impegnata in una difficile tecnica curativa. Dosi e misure sono essenziali per i mateninja medici. Otenusa considera un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza con raggio pari a 15 mat-shaku. Detto E il simmetrico di B rispetto all’asse del segmento AC, Otenusa sa che AC, BD e DE hanno lunghezze pari rispettivamente a 23, 24 e 25 mat-shaku. A quanto ammonta, in mat-shaku2, la superficie del quadrilatero ABCD?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
*Cyclic quadrilateral area with E reflection (radius 15) *
Amara medicine [40] Otenusa is engaged in a difficult healing technique. Doses and measures are essential for medical morning. Otenusa considers an ABCD quadrilateral inscribed in a circumference with a radius equal to 15 mat-shaku. That said, the symmetry of B with respect to the AC segment axis, Otenusa knows that AC, BD and DE have lengths equal to 23, 24 and 25 mat-shaku respectively. What is the surface area of the ABCD quadrilateral in mat-shaku2?
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q09
Somma N di tre cifre con ultime tre cifre di N^3 = 888
Un cliente esigente [35] Una nuova difficile missione è stata commissionata al villaggio della Retta. Il gran consiglio deve selezionare tutti i mateninja la cui forza vitale sia un numero N di tre cifre per cui le ultime tre cifre di N3 siano 888. Trovare la somma di tutti questi valori.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
N sum of three digits with the last three digits of N^3 = 888
A demanding client [35] A new difficult mission was commissioned at the village of Retta. The grand council must select all mateninja whose vital force is a three-digit number N for which the last three digits of N3 are 888. Find the sum of all these values.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q10
Sequenze valide di 12 posizioni zodiaco a partire da tigre
Posizioni magiche [40] I segni dello zodiaco mateninja sono 12 come i nostri. Ogni segno ha esattamente due segni amici e un segno nemico. I due amici di un segno sono sempre uno nemico dell’altro. Un segno e il suo nemico hanno sempre gli stessi due segni amici. Amicizia e inimicizia sono simmetriche. Le tecniche matemagiche dei mateninja richiedono di eseguire con le mani una rapida sequenza di posizioni. Le diverse posizioni in tutto sono 12, ognuna chiamata come il corrispondente segno dello zodiaco mateninja. In una sequenza di posizioni valide le posizioni sono tutte diverse, se compare un segno non compare il suo nemico e due segni amici non sono mai consecutivi. Quante sono in tutto le sequenze di posizioni valide che cominciano con la posizione della tigre?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio, Teoria dei grafi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Valid sequences of 12 zodiac positions starting from tiger
Magical positions [40] The signs of the morning zodiac are 12 like ours. Each sign has exactly two friends and one enemy sign. The two friends of one sign are always enemies of the other. A sign and its enemy always have the same two friend signs. Friendship and enmity are symmetrical. Mathematical techniques of mateninja require a rapid sequence of positions to be executed by hand. The different positions in the whole are 12, each called as the corresponding sign of the morning zodiac. In a sequence of valid positions the positions are all different, if a sign appears its enemy does not appear and two friends signs are never consecutive. How many are in all the valid position sequences that start with the tiger’s position?
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q11
Numero totale omaggi da fusioni iterate di 95 scuole
Una forma di cortesia [40] Nei tempi antichi esistevano ben 95 scuole Shinobi, ognuna delle quali annoverava un solo maestro mateninja. Ogni anno, le due scuole che annoveravano meno maestri di tutte le altre (o eventualmente due scelte a caso tra tutte le scuole con il minimo numero di maestri se più di due) si fondevano. Era tradizione consolidata che, durante i rituali legati alla fusione di due scuole, ognuno dei maestri mateninja delle due scuole in via di fusione facesse un omaggio a ognuno dei maestri dell’altra scuola. Oggi, ai tempi di Numeruto, non rimangono che 3 scuole, una con 31 maestri e le altre due con 32 maestri. Quanti omaggi sono stati scambiati in tutto fino ad oggi?
Gara a Squadre 2007 – Gara del pubblico– Testi dei problemi – Pag. 3 di 4
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Total number of iterated merger awards from 95 schools
A form of courtesy [40] In ancient times there were as many as 95 Shinobi schools, each of which had only one morning teacher. Each year, the two schools that had fewer teachers than all the others (or possibly two random choices among all schools with the least number of teachers if more than two) merged. It was a well-established tradition that during the merging rituals of two schools, each of the morning teachers of the two merging schools paid tribute to each of the teachers of the other school. Today, in Numeruth’s time, there are only three schools left, one with 31 teachers and the other two with 32 teachers. How many tributes have been exchanged so far?
Team competition 2007 Public competition Problem texts Pag. 3 di 4
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q12
Somma valori N con N=sum i/a_i, a_i crescenti positivi
Una curiosa coincidenza [40] Recentemente è stata notata una curiosa coincidenza. Tutti i più grandi mateninja nella storia del villaggio della Retta hanno avuto per forza vitale un intero positivo N tale che esistono a1, a2, … , a2007 interi positivi per cui a1 < a2 < … < a2007 e N = 1 a1 + 2 a2 + 3 a3 +··+ 2007 a2007. Trovare la somma di tutti i valori N di forza vitale (indicare le ultime 4 cifre di tale somma se il risultato è maggiore di 9999).
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche, Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
Summary of N values with N=sum i/a_i, at positive increases
A curious coincidence [40] A curious coincidence has recently been noted. All of the greatest moreninjas in the history of the village of Retta have had a life force positive integer N such that there are a1, a2, … , a2007 positive integers for which a1 < a2 < … < a2007 e N = 1 a1 + 2 a2 + 3 a3 +··+ 2007 a2007. Find the sum of all life force N values (indicate the last 4 digits of that sum if the result is greater than 9999).
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q13
Modi di assegnare categorie a 8 missioni (1 G,2 M,5 P)
Un funzionario distratto [30] Le missioni vengono catalogate dal gran consiglio del villaggio in ordine di difficoltà decrescente, nelle categorie A, B, C, D. Esistono tre livelli di mateninja, i Piccin (gli apprendisti), i Mezzin e i Grandin (i più abili). Le missioni A vengono affidate esclusivamente ai Grandin, quelle B soltanto ai Mezzin, quelle C possono essere assegnate a Mezzin o Piccin, quelle D solo ai Piccin. Un funzionario distratto ha perso il rotolo su cui aveva scritto le categorie delle ultime 8 missioni vagliate dal consiglio. Sa soltanto che 1 di queste è stata affidata a un Grandin, 2 a dei Mezzin, 5 a squadre di Piccin. Non ricorda però quali missioni siano state affidate a chi. In quanti modi può assegnare a ogni missione la sua categoria in modo compatibile con le informazioni in suo possesso?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
*How to assign categories to 8 missions (1 G,2 M,5 P) *
A distracted official [30] The missions are catalogued by the village council in descending order of difficulty, in categories A, B, C, D. There are three levels of mateninja, the Piccin (the apprentices), the Mezzin and the Grandin (the most skilled). Missions A are entrusted exclusively to the Grandin, those B only to the Mezzin, those C can be assigned to the Mezzin or Piccin, those D only to the Piccin. A distracted official lost the scroll on which he had written the categories of the last eight missions inspected by the board. All you know is that one of these was entrusted to a Grandin, two to a Mezzin, five to a Piccin team. But he doesn’t remember which missions were entrusted to whom. In how many ways can you assign each mission its own category in a way that is consistent with the information it has?
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q14
Valore di 10000 volte prodotto di seni multipli di pi/5
L’ultima prova [50] L’esame per diventare Mezzin è giunto ormai alla fine. Pochi stremati mateninja sono riusciti a raggiungere questo traguardo. Ma solo chi riuscirà a dire quanto vale 10000(sin π 5)(sin 2 5π)(sin 3 5π)(sin 4 5π) si potrà fregiare dell’agognato titolo. Che valore bisogna dire per terminare l’esame?
Topic: Trigonometria Metodo: Somme telescopiche, Tecniche trigonometriche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
Value of 10000 times the product of multiple breasts of pi/5
The final test [50] The exam to become Mezzin has now come to an end. Few hardworking mornings have managed to reach this goal. But only those who can say how much is worth 10000 (less π 5) (less than 2 5 π) (less than 3 5 π) (less than 4 5 π) will be able to claim the title. What is the value to be given to complete the exam?
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q15
Calcolo somma coefficienti a_(3k+1) di ((x^4+x^2+1)/3)^2007
Un percorso accidentato [55] Numeruto e la sua squadra sono all’inseguimento dei rapitori di Sekante. I nostri mateninja avanzano cauti, gli inseguiti hanno disseminato il percorso di trappole. All’improvviso, Numeruto incappa in un tranello. Sia p(x) = x4+x2+1 3 2007. Se p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ·· + a8028x8028, l’unico modo per sottrarsi alla trappola è calcolare a1 +a4 +a7 +…+a3k+1 +…+a8026. Dare come risposta la somma di numeratore e denominatore del risultato ridotto ai minimi termini.
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: manipolazione algebrica, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Calculation of the sum of the coefficients a_(3k+1) of ((x^4+x^2+1)/3)
A rough road [55] Numeruto and his team are chasing Sekante’s kidnappers. Our mornings are moving cautiously, the pursuers have spread the traps. Suddenly, Numeruto is trapped in a trap. If p(x) = x4+x2+1 3 2007. If p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ·· + a8028x8028, the only way to get out of the trap is to calculate a1 + a4 + a7 +… + a3k+1 +… + a8026. Give the sum of the numerator and denominator of the result reduced to the minimum terms.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q16
Minimo minuti con possibilita di raddoppio velocita
Corsa contro il tempo [30] Numeruto deve accorrere per salvare la sua compagna Otenusa, prigioniera a 265 mat-cho da lui. Numeruto può decidere, sin dalla partenza, se continuare a correre oppure spendere un minuto per evocare uno spirito che gli raddoppia la velocità, ma tra una invocazione e l’altra deve percorrere almeno 1 mat-cho. Se all’inizio la sua velocità è di 1 mat-cho al minuto, quanti minuti ci metterà al minimo per arrivare da Otenusa? Dare come soluzione il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro, Principio di estremalita Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
Minimum minutes with possibility of rapid doubling
Race against time [30] Numeruto must run to save his companion Otenusa, a prisoner at 265 mat-cho from him. Numeruto can decide, from the start, whether to continue running or spend a minute to summon a spirit that doubles his speed, but between one invocation and the other he must travel at least 1 mat-cho. If its initial speed is 1 matcho per minute, how many minutes will it take to get from Otenusa? Give as a solution the numerator of the fraction reduced to the minimum terms.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q17
Numero divisori del numero di mazzi mateninja magici
Un mazzo truccato [40] Il classico mazzo mateninja è composto da 16 carte, contrassegnate da un numero tra 1 , 2 , 3 , 4 e da un simbolo tra ♥, ♣, ♦, ♠(in modo che per ogni accoppiata numero-simbolo ci sia una carta). Un mazzo mateninja diventa magico se carte adiacenti hanno valori adiacenti (il 4 viene considerato adiacente all’ 1 e viceversa, un valore non è adiacente a se stesso). Quanti sono i possibili mazzi mateninja magici? Dare come risposta il numero di tutti i divisori positivi del numero di mazzi magici.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Number of the number of magic morning decks dividers
A make-up deck [40] The classic mateninja deck consists of 16 cards, marked with a number between 1, 2, 3, 4 and a symbol between ♥, ♣, ♦, (so that for each paired number-symbol there is a card). A mateninja deck becomes magical if adjacent cards have adjacent values (the 4 is considered adjacent to 1 and vice versa, a value is not adjacent to itself). How many possible magic morning decks are there? Give the answer the number of all the positive divisors of the number of magic decks.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q18
Valore medio del quadrato distanza tra due punti sul bordo
L’arena [50] L’arena per gli scontri di abilità tra mateninja ha la forma di un cerchio di raggio 10 mat-ken. Se due ninja si posizionano a caso, indipendentemente l’uno dall’altro, su due punti posti sul bordo dell’arena, qual è il valore medio del quadrato della distanza tra i due?
Pag. 4 di 4 – Gara a Squadre 2007 – Gara del pubblico– Testi dei problemi
Topic: Probabilita e statistica, Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.3
Mean value of the square of the distance between two points on the edge
The arena for mateninja skill clashes is shaped like a circle of 10 mat-ken rays. If two ninjas randomly position themselves, independently of each other, on two points placed on the edge of the arena, what is the average value of the square of the distance between the two?
I’m going to pay. 4 out of 4 Team competition 2007 Public competition Problem texts
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q19
Massimo numero turni del gioco della palla (permutazioni)
Ricreazione [60] La scuola per mateninja è dura, ma per fortuna ogni tanto ci sono momenti di distensione. Oggi i 31 piccoli studenti di mateninjutsu giocano a palla con le seguenti regole. Ogni giocatore decide un altro giocatore, differente da se stesso, in modo che nessuna persona sia scelta più di una volta. A ognuno poi viene data una palla con sopra scritto il proprio nome. A questo punto il gioco inizia e a ogni turno ogni studente passa la palla al compagno da lui scelto. Il gioco finisce quando a ogni mateninja torna la palla col proprio nome. Quanti turni dura al massimo il gioco?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
*Maximum number of turns of the ball game (switches) *
Recreation [60] Morning school is tough, but fortunately, there are times when you relax. Today, 31 young students of mateninjutsu play ball with the following rules. Each player chooses another player, different from himself, so that no person is chosen more than once. Each is then given a ball with his or her name written on it. At this point, the game begins and each student passes the ball to the partner he chooses. The game ends when every morning the ball comes back with its own name. How many shifts does the game take?
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q20
Lunghezza CD in quadrilatero ciclico con AC diametro
In trappola [65] Numeruto è circondato da quattro mateninja del villaggio del Binomio. I quattro mateninja avversari sono ai vertici di un quadrilatero non degenere ABCD inscritto in una circonferenza. La diagonale AC è un diametro ed è lunga 2 mat-cho. Inoltre, indicato con P il punto di intersezione tra le diagonali, si sa che il segmento PC è lungo 2 5. Sapendo che AB = BD, determinare la lunghezza di CD. Dare come soluzione il numeratore della frazione ai minimi termini.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4
Cyclic quadrilateral CD length with AC diameter
Trapped [65] Numeruto is surrounded by four moreninja from the village of Binomio. The four opposing moreninja are at the vertices of a non-degenerating quadrilateral ABCD inscribed in a circumference. The AC diagonal is a diameter and is 2 mat-cho long. Furthermore, if the intersection point between the diagonal is indicated by P, the PC segment is known to be 2 5 long. Knowing that AB is BD, determining the length of CD. Give as a solution the fraction numerator to the minimum terms.
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q21
Minimo L per catena di addizione che raggiunge 12509
Di mateninja e rospi [70] Numeruto è impegnato nella complessa evocazione del saggio mega-rospo gigante. Una catena di evocazioni per un intero N è una sequenza di interi a0, a1, … , aL dove a0 = 1, aL = N e ogni elemento (ad eccezione di a0) è somma di due elementi, non necessariamente distinti, che lo precedono. Qual è il minimo valore di L per cui una catena di evocazioni dia aL = 12509?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ragionamento all’indietro, Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
Minimum L for the additive chain reaching 12509
Of moreninja and toads [70] Numeruto is engaged in the complex evocation of the wise giant mega-toad. A string of evocations for an integer N is a sequence of integers a0, a1, … , aL where a0 = 1, aL = N and each element (except a0) is the sum of two elements, not necessarily distinct, that precede it. What’s the minimum value of L for a string of calls to give aL = 12509?
src_cesenatico_2007_squadre_pubblico__Q22
Massimo di f(a,b,c,d) con vincolo quadratico (interi positivi)
Questione di misure [70] La quantità di forza vitale di cui Numeruto necessita per la sua tecnica superiore di moltiplicazione deve essere attentamente calibrata, pena il fallimento della tecnica. Numeruto deve trovare il massimo della funzione f(a,b,c,d) = 2bd −d2 −b2 +100a−100c+280, al variare di a, b, c, d tra gli interi positivi che verificano (a+b)2 +2a+b = (c+d)2 +2c+d. Quanto vale?
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.4
*Maximum of f ((a,b,c,d) with square bound (positive integers) *
Question of measures [70] The amount of life force Numeruto needs for its superior multiplication technique must be carefully calibrated, so that the technique fails. Numbered must find the maximum of the function f(a,b,c,d) = 2bd −d2 −b2 +100a−100c+280, when a,b,c,d varies between the positive integers that occur (a+b)2 +2a+b = (c+d)2 +2c+d. How much is it worth?
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Valore di a^2 b+b^2 c+c^2 a per radici di x^3-10x^2-25x+125
L’occhio polinomiale [80] Una capacità innata del clan di Sekante permette di valutare nel tempo di un istante ogni combinazione delle radici di un polinomio. Oggi Sekante ha scoperto di possedere anche lui questa abilità. Infatti, se a > b > c sono le tre radici del polinomio x3 −10x2 −25x+125, egli ha subito calcolato il valore esatto di a2b+b2c+c2a. Qual è questo valore?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.4
Value of a^2 b+b^2 c+c^2 a for roots of x^3-10x^2-25x+125
The polynomial eye [80] An innate ability of Sekante’s clan allows for evaluating in an instant any combination of the roots of a polynomial. Today Sekante has discovered that he also possesses this ability. In fact, if a > b > c are the three roots of the polynomial x3 −10x2 −25x+125, he immediately calculated the exact value of a2b+b2c+c2a. What’s this value?