Cartolerie (multipli 12) non di lusso (non multipli 18) in 2007
Il villaggio della Retta I mateninja vivono organizzati in vari villaggi. Quello della Retta ad esempio è costituito da un’unica lunga via (assolutamente dritta), fiancheggiata da 2007 edifici numerati da 1 a 2007. I mateninja consumano un sacco di carta e infatti tutti gli edifici con numeri multipli di 12 sono cartolerie; inoltre molti mateninja sono facoltosi, quindi tutti gli edifici con numeri multipli di 18 sono negozi di lusso. Numeruto gira tutto il villaggio in cerca del miglior prezzo per la carta a quadretti: quante cartolerie visita in totale, se salta quelle di lusso?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
Non-luxury cartels (multiple 12) (not multiple 18) in 2007
The village of Retta I Mateninja live organized in various villages. For example, the Retta road consists of a single long road (absolutely straight), flanked by buildings numbered 1 to 2007. Mateninja consume a lot of paper and in fact all buildings with multiples of 12 are billboards; also many mateninja are affluent, so all buildings with multiples of 18 are luxury shops. Numeruto walks the whole village looking for the best price for square footage: How many shops do you visit in total, if you skip the luxury ones?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q01
Numero 4 cifre multiplo 25 con condizione cifre centrali
Troppi diplomati Il prode mateninja Numeruto è più bravo sul campo che sui banchi. Oggi c’è il compito di storia e la prima domanda chiede il numero esatto di mateninja diplomatisi Grandin, dalla fondazione del villaggio ad oggi ed egli proprio non ha idea della risposta. Per fortuna riesce ad intercettare un suggerimento in codice della bella Otenusa diretto al suo rivale Sekante: “È un numero di quattro cifre, multiplo di 25 che, diviso per 25, dà un numero di due cifre che, scambiate, sono le cifre centrali del numero stesso” (come 54 e 2450, solo che 54×25 ̸= 2450). Qual è la risposta?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Number 4 multiple digits 25 with condition of central digits
Too many graduates The morning prode Numeruto is better off on the field than on the bench. Today there is the task of history and the first question asks the exact number of Grandin’s morning diplomats from the village’s founding to the present day and he has no idea what the answer is. Fortunately, he manages to intercept a coded suggestion from the beautiful Otenusa directed to his rival Sekante: It is a four-digit number, multiple of 25 which, divided by 25, gives a two-digit number that, exchanged, are the central digits of the same number (such as 54 and 2450, only that 54×25 = 2450). What’s the answer?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q02
Massimo zone triangolari da triangolazione poligono+oasi
Il villaggio del Binomio Il villaggio del Binomio occupa un territorio desertico a forma di poligono convesso con 2007 lati. All’interno del territorio vi sono 1789 oasi puntiformi importantissime per la sopravvivenza dei mateninja. Avendo notato che, se si considera l’insieme di punti A, composto dai vertici del poligono e dalle oasi, non vi sono mai tre punti allineati, il capo-villaggio ha deciso di aumentare la sicurezza costruendo qualche muro. Vengono eretti muri lungo segmenti aventi vertici in due punti di A, in modo che il territorio sia diviso esclusivamente in triangoli e i muri si intersechino solo in punti di A. Qual è il numero massimo di zone chiuse triangolari che si possono ottenere? Gara a Squadre 2007 – Semifinale A– Testi dei problemi – Pag. 1 di 4
Pag. 2 di 4 – Gara a Squadre 2007 – Semifinale A– Testi dei problemi
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.1
Maximum triangular area by triangulation polygon+oasis
The village of Binomio occupies a convex polygon-shaped deserted area with 2007 sides. Within the territory there are 1789 oases that are very important for the survival of the mateninja. Noting that, if one considers the set of points A, consisting of the vertices of the polygon and the oases, there are never three points aligned, the village chief decided to increase security by building some walls. Walls are erected along segments with vertices at two points of A, so that the territory is divided exclusively into triangles and the walls intersect only at points of A. What is the maximum number of closed triangular zones that can be obtained? Team competition 2007 Semifinal A Problem texts Pag. 1 di 4
I’m going to pay. 2 out of 4 Team competition 2007 Semifinal A Problem tests
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q03
Massimo di 252cos t -275sin t +298
La forza di una rana [⋆] Superato miracolosamente il compito di storia, Numeruto deve affrontare ora quello di arti magiche teoriche! La domanda più difficile chiede quale sia il massimo livello di forza vitale che un mateninja del segno della rana possa sviluppare. Numeruto è proprio del segno della rana ed è sicuro che la sua forza vitale dipende dalla sua concentrazione θ secondo la funzione: 252cosθ−275sinθ+298. Qual è la massima forza vitale che Numeruto può sviluppare?
Topic: Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Maximum of 252 cos t -275sin t +298
The strength of a frog miraculously overcame the task of history, Numeruto must now face that of theoretical magical arts! The most difficult question is what is the maximum level of life force that a frog sign matinee can develop. Numeruto is the sign of the frog and is sure that its vital force depends on its θ concentration according to the function: 252cosθ−275sinθ+298. What is the greatest life force Numeruto can develop?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q04
Quanti codici palindromi multipli 3 dispari cifre <=5 cifre
Missioni in codice Il gran consiglio del villaggio codifica e affida le missioni ai mateninja esperti. Ad ogni missione viene assegnato anche un codice numerico che, per ragioni di sicurezza, è un intero positivo palindromo, multiplo di 3, e con un numero dispari di cifre. Quante missioni possono essere codificate usando codici validi di 5 cifre o meno e tutti diversi?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
How many multiple palindrome codes 3 odd digits <=5 digits
Code missions The village council encodes and assigns the missions to morning experts. Each mission is also assigned a numeric code which, for security reasons, is a positive palindrome integer, multiple of 3, and with an odd number of digits. How many missions can be encoded using valid 5-digit codes or less and all different?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q05
Piu piccolo intero maggiore dell’area di ogni shuriken
Lo shuriken Lo shuriken è una delle armi di base utilizzate da tutti i mateninja. Quelli del villaggio della Retta hanno un numero variabile di punte, ma sono prodotti tutti dallo stesso fabbro. Per fabbricare uno shuriken a n > 1 punte, il fabbro prende una piastra piana di metallo e inizia tracciandovi due circonferenze concentriche di raggio 9 mat-bu e 31 mat-bu. Sulla maggiore segna 2n punti equidistanti, numerati da 1 a 2n ordinatamente nel senso antiorario; da ciascuno conduce il raggio e segna un punto con lo stesso numero in corrispondenza dell’intersezione con la circonferenza minore. Traccia quindi i segmenti che congiungono ciascun punto pari interno con i due dispari a lui consecutivi esterni (il punto 2n è congiunto con 2n −1 e con 1); infine taglia lungo la spezzata ottenuta. Qual è il più piccolo numero intero, maggiore dell’area (in mat-bu2) di qualunque shuriken?
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Smaller whole greater than the area of each shuriken
The shuriken is one of the basic weapons used by every morning. Those in the village of Retta have a variable number of points, but they’re all made by the same blacksmith. To manufacture a shuriken at n > 1 points, the blacksmith takes a flat metal plate and starts by drawing two concentric circles of radius 9 mat-bu and 31 mat-bu. On the greater sign 2n equidistant points, numbered from 1 to 2n in the anti-clockwise order; from each point it leads the beam and marks a point with the same number corresponding to the intersection with the lesser circumference. It then traces the segments connecting each internal equal point with the two consecutive external odd points (the point 2n is connected to 2n −1 and to 1); finally it cuts along the resulting fracture. What is the smallest integer, greater than the area (in mat-bu2) of any shuriken?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q06
Importo minimo non pagabile con max 10 monete euro
Moneta sonante La korona, la moneta ufficiale dei mateninja, ha esattamente gli stessi tagli dell’euro ed è divisa in virgole così come l’euro è diviso in centesimi. Naturalmente, i tagli di monete di virgole e korone sono esattamente gli stessi dei centesimi di euro e degli euro. Quanto vale l’importo minimo, espresso in virgole, che non è possibile pagare esattamente con al massimo 10 monete o banconote, senza ricevere alcun resto?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Minimum amount not payable with a maximum of 10 euro coins
The corona, the official currency of Mauritania, has exactly the same cuts as the euro and is divided in commas as the euro is divided in cents. Of course, the cutting of comma and crown coins is exactly the same as the euro and euro cents. What is the minimum amount, expressed in commas, that you cannot pay with exactly 10 coins or banknotes without receiving any balance?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q07
Quanti n in [1,2007] con 2n in 19 gruppi (condizioni)
Il gran ballo [⋆] Anche all’accademia dei mateninja ogni tanto il clima si distende e stasera si sta svolgendo il gran ballo dei Piccin. Nella sala sono già arrivati tutti gli invitati: n mateninji (i maschietti) ed n mateninje (le femminucce) fanno sfoggio delle loro migliori divise e attrezzature, ma non hanno il coraggio di invitarsi a ballare, e si squadrano da lontano, divisi in 19 gruppi non vuoti. Due gruppi qualsiasi differiscono al più di un’unità e ogni femmina si trova in compagnia di sole femmine. Quanti sono gli n compresi tra 1 e 2007 tali che le condizioni sopracitate possano realizzarsi?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*Quantities n in [1,2007] with 2n in 19 groups (conditions) *
The big dance [⋆] Even at the moreninja academy occasionally the weather is relaxing and tonight the big dance of the little ones is taking place. All the guests have already arrived in the room: n mateninji (the males) and n mateninje (the females) show off their best uniforms and equipment, but they do not have the courage to invite themselves to dance, and they team up from afar, divided into 19 non-empty groups. Two groups of any kind differ by more than one unit and each female is in the company of only females. How many n between 1 and 2007 are such that the above conditions can be fulfilled?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q08
Somma valori a per cui x^2-ax+4a ha radici intere positive
La tecnica della trasformazione Finalmente la prova pratica! Numeruto può dare il meglio di sè; tuttavia per riuscire perfettamente nella difficile tecnica della trasformazione, deve impastare la sua forza magica secondo delicatissimi equilibri. I livelli di forza magica utilizzabili sono tutti gli interi positivi a per i quali il polinomio x2 −ax+4a ha solo radici intere positive. Se Numeruto eseguirà bene la tecnica, il suo voto all’esame sarà la somma di tutti i valori di forza magica che utilizzerà. Quanto potrà prendere al massimo?
Gara a Squadre 2007 – Semifinale A– Testi dei problemi – Pag. 3 di 4
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Sum of values a for which x^2-ax+4a has positive integer roots
The technique of transformation finally the practical proof! Numeruto can do his best; however, in order to succeed perfectly in the difficult technique of transformation, he must knead his magical strength according to very delicate balances. The useable magical force levels are all positive integers a for which the polynomial x2 −ax+4a has only positive integers. If Numeruto performs the technique well, his score on the exam will be the sum of all the magical force values he will use. How much will it take?
Team competition 2007 Semifinal A Problem texts Pag. 3 di 4
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q09
Area frammento piu grande del kunai spezzato (AC=26)
Il kunai [⋆] Il kunai è una delle armi di base utilizzate da tutti i mateninja; la sua lama ha una forma particolare: è un quadrilatero fatto in modo che la sua diagonale minore lo divida in due triangoli isosceli, ciascuno con la diagonale come base. Chiamiamo A, B, C, D i vertici della lama di un kunai, con A e C estremi della diagonale minore; allora le misure tradizionali del fabbro del villaggio della Retta prevedono che ABC = 30°, CDA = 90°e che il segmento AC sia lungo 26 mat-bu. Il kunai di Numeruto si è spezzato in combattimento lungo la retta passante per A e perpendicolare ad AD. Quanto misura in mat-bu2 la superficie del frammento di lama più grande?
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
*Fragment area larger than the broken kunai (AC=26) *
The kunai is one of the basic weapons used by all mateninja; its blade has a particular shape: it is a quadrilateral made so that its smaller diagonal divides it into two isosceles triangles, each with the diagonal as its base. We call A, B, C, D the tips of the blade of a kunai, with A and C the extremes of the minor diagonal; then the traditional measures of the village blacksmith of the Retta predict that ABC = 30°, CDA = 90° and that the AC segment is 26 mat-bu long. Numeritus’ kunai broke in combat along the straight line passing for A and perpendicular to AD. What is the surface area of the largest blade fragment measured in mat-bu2?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q10
Prodotto possibili valori terzo lato (30 gradi, lati 57,75)
Illusione numerica Il maestro Isoshilo è molto severo e sta tenendo da ore Otenusa sotto gli effetti di un’illusione tramite le sue arti magiche. Per sciogliere l’incantesimo Otenusa deve concentrarsi completamente e riuscire a determinare quanto vale la radice 99-esima del prodotto dei divisori positivi del numero 21038. Quanto fa?
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
*Product possible third side values (30 degrees, sides 57.75) *
Master Isoshilo is very strict and has been holding Otenusa for hours under the effects of an illusion through his magical arts. To dissolve the spell Otenusa must concentrate fully and be able to determine the value of the 99th root of the product of the positive divisors of number 21038. How long is it?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q11
Radice 99-esima del prodotto divisori di 2^103
Indecisione triangolare Il brillante Sekante ha un unico sogno: quando sarà Grandin si costruirà una magnifica reggia. Ha perfino già completato il progetto, deve solo decidere esattamente la forma del giardino: sa però che sarà triangolare, e che avrà un angolo di 30°, il lato opposto di 57 mat-ken e un altro lato di 75 mat-ken. Quanto vale il prodotto di tutti i possibili valori della lunghezza (in mat-ken) del terzo lato?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
99-th root of the product dividers of 2^103
The brilliant Sekante has only one dream: when he becomes Grandin he will build himself a magnificent throne. He has even completed the project, he only has to decide exactly what the shape of the garden will be, but he knows that it will be triangular, and that it will have an angle of 30°, the opposite side of 57 mat-ken and another side of 75 mat-ken. What is the product of all possible length (in mat-ken) values of the third side?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q12
Superficie pergamena da prisma esagonale (209 foglietti)
Pergamena rovinata Le formule matemagiche dei mateninja vengono scritte su lunghe strisce rettangolari di pergamena di spessore nullo (sono magiche anch’esse!), che vengono arrotolate più volte attorno ad una matita ninja. Le matite ninja sono simili alle nostre: hanno la forma di un prisma la cui base è un esagono regolare di lato 2 mat-shaku. Il maldestro Numeruto, nel maneggiare la sua spada nuova, colpisce per sbaglio il prisma su cui è conservata la preziosa formula di Itˆo, tagliandolo perfettamente in due lungo un piano passante per il suo asse. Come conseguenza, la pergamena con la formula viene affettata in 209 foglietti quadrati. Quanti mat-shaku2 misurava la superficie della pergamena?
Topic: Geometria solida, Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
*Hexagonal prism paper surface (209 sheets) *
Ruined parchment The mathematical formulas of the mateninja are written on long rectangular strips of zero-thick parchment (they are magical too!), which are rolled repeatedly around a ninja pencil. Ninja pencils are similar to ours: they have the shape of a prism whose base is a regular hexagon on the 2 mat-shaku side. The slender Numeritus, in handling his new sword, mistakenly strikes the prism on which the precious formula of Itˆo is preserved, cutting it perfectly in two along a plane passing through its axis. As a result, the scroll with the formula is sliced into 209 square sheets. How many mat-shaku2 measured the surface of the scroll?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q13
Numero terne (a,b,c) con a<b, a<4c, bc^3<=ac^3+b, <=2007
Un compito troppo arduo Sekante ormai pensa solo alla sua futura reggia ed è talmente preso dall’idea di risparmiare denaro, che ha iniziato a fare i compiti degli altri allievi in cambio di soldi. Il maestro Isoshilo l’ha scoperto e per metterlo in riga, si è presentato sotto mentite spoglie offrendogli un lauto compenso per trovare tutte le terne di numeri interi positivi che soddisfano a < b, a < 4c, bc3 ≤ac3 +b, a,b,c ≤2007. Sekante si sta spremendo le meningi e Isoshilo non pensa che ce la possa fare, ma anche se ci riuscisse, lo schernirà senza pagarlo! Quante sono le soluzioni che dovrebbe trovare Sekante?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Term number (a,b,c) with a<b, a<4c, bc^3<=ac^3+b, <=2007
A task too difficult Sekante now thinks only of his future reign and is so taken by the idea of saving money, that he started doing other students’ homework in exchange for money. Master Isoshilo discovered it and to put it in line, he presented himself under false pretenses offering him a laudous compensation to find all the positive integers that satisfy a <b, a <4c, bc3 ≤ac3 +b, a,b,c ≤2007. Sekante is squeezing the meningi and Isoshilo doesn’t think he can make it, but even if he does, he’ll mock him without paying! How many solutions should Sekante find?
src_cesenatico_2007_squadre_semifinale_a__Q14
Ultime 4 cifre somma prodotti sottoinsiemi di multipli di 2007
La tecnica superiore della moltiplicazione [⋆] Numeruto è un esperto della tecnica superiore della moltiplicazione, un’arte magica che gli permette di ottenere istantaneamente il prodotto di un qualunque insieme di numeri interi. Il maestro Isoshilo gli ha però affidato un addestramento durissimo: considerati i numeri interi 2007, 2 · 2007, 3 · 2007, … , 20072 deve calcolare il prodotto di ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri assegnati e sommarli tutti. Siete capaci di aiutarlo (pur senza poteri mateninja), calcolando almeno le ultime 4 cifre del risultato?
Pag. 4 di 4 – Gara a Squadre 2007 – Semifinale A– Testi dei problemi
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
Last 4 digits sum produced by subsets of multiples of 2007
The superior technique of multiplication [⋆] Numeruto is an expert in the superior technique of multiplication, a magical art that allows him to instantly obtain the product of any set of integers. However, Master Isoshilo entrusted him with a very difficult training: considering the whole numbers 2007, 2 · 2007, 3 · 2007, … , 20072 must calculate the product of each non-empty subset of the numbers assigned and sum them all. Are you able to help him (even without morning powers), by calculating at least the last 4 digits of the result?
I’m going to pay. 4 out of 4 Team competition 2007 Semifinal A Problem tests