valori di e
Siano a < b < c < d < e numeri reali. Si calcolano tutte le possibili somme a due a due di questi 5 numeri. Di queste 10 somme, le tre più piccole sono 32, 36, 37, mentre le due più grandi sono 48 e 51. Si determinino tutti i possibili valori che può assumere e.
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Risposta: e=27.5 Fonte: apri PDF p.1
values of e
They are a < b < c < d < and real numbers. Calculate all possible sums of two to two of these five numbers. Of these 10 sums, the three smallest ones are 32, 36, 37, while the two largest ones are 48 and 51. Let us determine all the possible values that can be assumed.
Answer: e=27.5 src_cesenatico_2009__Q01
OM perpendicolare a BK
Sia ABCD un quadrato di centro O. Si costruiscano due triangoli isosceli BCJ e CDK, esterni al quadrato, di base BC e CD rispettivamente e congruenti fra loro. Sia poi M il punto medio di CJ. Si provi che le rette OM e BK sono perpendicolari.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Area: Geometria Risposta: dimostrato (rotazione 90 gradi) Fonte: apri PDF p.1
OM perpendicular to BK
Whether ABCD is a square of center O. Two isosceles BCJ and CDK, external to the square, of base BC and CD respectively and congruent to each other, are constructed. Let M be the middle point of CJ. It is proved that the OM and BK lines are perpendicular.
Answer: dimostrato (rotazione 90 gradi) src_cesenatico_2009__Q02
Numeri gradevoli di 4 cifre con prodotto cifre che divide n^2
Un numero naturale n è detto gradevole se gode delle seguenti proprietà: • la sua espressione decimale è costituita da 4 cifre; • la prima e la terza cifra di n sono uguali; • la seconda e la quarta cifra di n sono uguali; • il prodotto delle cifre di n divide n2. Si determinino tutti i numeri gradevoli.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1111,1212,2424,3636,1515 Fonte: apri PDF p.1
Acute 4-digit numbers with product of digits dividing n^2
A natural number n is said to be pleasing if it has the following properties: • its decimal expression is 4 digits; • the first and third digits of n are equal; • the second and fourth digits of n are equal; • the product of the digits of n divides n2. Let’s get all the pleasant numbers.
Answer: 1111,1212,2424,3636,1515 src_cesenatico_2009__Q03
posizione finale determina intermedie
Una pulce si trova inizialmente nel punto (0, 0) del piano cartesiano. Successivamente compie n salti. Ogni salto viene effettuato in una a scelta delle quattro direzioni cardinali. Il primo salto è di lunghezza 1, il secondo di lunghezza 2, il terzo di lunghezza 4, e così via, fino all’n-salto, che è di lunghezza 2n−1. Dimostrare che, se si conosce la posizione finale della pulce, allora è possibile determinare univocamente la sua posizione dopo ciascuno degli n salti.
Topic: Geometria analitica Metodo: Induzione Area: Geometria Risposta: dimostrato Fonte: apri PDF p.1
*the final position determines the intermediate *
A flea is initially located at the point (0, 0) of the Cartesian plane. Then he makes a leap. Each jump is made in one of the four cardinal directions. The first jump is length 1, the second is length 2, the third is length 4, and so on, until the n-jump, which is length 2n−1. Demonstrate that if you know the final position of the fly, then you can uniquely determine its position after each of the n jumps.
Answer: dimostrato src_cesenatico_2009__Q04
T,R,K allineati
Sia ABC un triangolo scaleno e acutangolo, Γ la sua circonferenza circoscritta, K il piede della bisettrice relativa al vertice A. Sia M il punto medio dell’arco BC che contiene A. Detta A′ la seconda intersezione di MK con Γ, sia T l’intersezione delle tangenti a Γ in A e in A′. Sia inoltre R l’intersezione della perpendicolare ad AK per A e della perpendicolare ad A′K per A′. Si provi che T, R e K sono allineati.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: dimostrato Fonte: apri PDF p.1
T,R,K aligned
Whether ABC is a scalene triangle and acutangol, Γ its circumscribed circumference, K the foot of the vertex relative to vertex A. Be M the middle point of the BC arc containing A. This is the second intersection of MK with Γ, and T is the intersection of the tangents at Γ in A and in A′. The intersection of the perpendicular to AK for A and the perpendicular to A′K for A′ shall also be R. Prove that T, R and K are aligned.
Answer: dimostrato src_cesenatico_2009__Q05
minimo k
Un numero naturale k si dice n-squadrato se, colorando comunque con n colori diversi le caselle di una scacchiera 2n × k, esistono 4 caselle distinte dello stesso colore i cui centri sono vertici di un rettangolo avente i lati paralleli ai lati della scacchiera. Determinare, in funzione di n, il più piccolo naturale k che sia n-squadrato.
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: minimo k in funzione di n Fonte: apri PDF p.1
minimum k
A natural number k is said to be n-squared if, by coloring the boxes of a chessboard 2n × k with n different colors, there are 4 distinct boxes of the same color whose centers are verticals of a rectangle having the sides parallel to the sides of the chessboard. Determine, as a function of n, the smallest natural k that is n-squared.
Answer: minimo k in funzione di n src_cesenatico_2009__Q06