medie promossi/bocciati prima e dopo +5
Ad un test di matematica partecipano N < 40 persone. La sufficienza è fissata a 65. I risultati del test sono i seguenti: la media di tutti i partecipanti è 66, quella dei promossi 71 e quella dei bocciati 56. Tuttavia, a causa di un errore nella formulazione di un quesito, tutti i punteggi vengono aumentati di 5. A questo punto la media dei promossi diviene 75 e quella dei non promossi 59. (a) Trovare tutti i possibili valori di N. (b) Trovare tutti i possibili valori di N nel caso in cui, dopo l’aumento, la media dei promossi fosse diventata 79 e quella dei non promossi 47.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (a) 12,24,36; (b) nessun N Fonte: apri PDF p.1
mediums promoted/received before and after +5
N < 40 people take part in a math test. Sufficiency is set at 65. The results of the test are as follows: the average of all participants is 66, that of the promoted 71 and that of the rejected 56. However, due to an error in the formulation of a question, all scores are increased by 5. At this point, the average of the promoted becomes 75 and the average of the unpromoted becomes 59. (a) Find all possible values of N. (b) Find all possible values of N if, after the increase, the average of the promoted had become 79 and that of the non-promoted 47.
Answer: (a) 12,24,36; (b) nessun N src_cesenatico_2010__Q01
prodotto e somma di due rossi
Ogni numero naturale, zero incluso, è colorato di bianco o di rosso, in modo che: • vi siano almeno un numero bianco ed almeno un numero rosso; • la somma tra un numero bianco ed un numero rosso sia bianca; • il prodotto tra un numero bianco ed un numero rosso sia rosso. Dimostrare che il prodotto di due numeri rossi è sempre un numero rosso e che la somma di due numeri rossi è sempre un numero rosso.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: dimostrato (rossi = multipli di k) Fonte: apri PDF p.1
product and sum of two reds
Each natural number, zero included, is coloured in white or red, so that: • there is at least one white number and at least one red number; • the sum between a white number and a red number is white; • the product between a white number and a red number is red. Demonstrate that the product of two red numbers is always a red number and that the sum of two red numbers is always a red number.
Answer: dimostrato (rossi = multipli di k) src_cesenatico_2010__Q02
BCM = DBA
Sia ABCD un quadrilatero convesso tale che
CAB =
CDA e
BCA =
ACD. Detto M il punto medio di AB si dimostri che
BCM =
DBA.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: dimostrato Fonte: apri PDF p.2
This is the total amount of the loan.
Whether ABCD is a convex quadrilateral such that \ CAB = \ CDA and \ BCA = \ ACD. That M the mean of AB shows that \ BCM = \ DBA.
Answer: dimostrato src_cesenatico_2010__Q03
dividere i due triangoli in 4 triangoli congruenti
Nel trapezio ABCD i lati AB e CD sono paralleli, gli angoli
ABC e
BAD sono acuti. Dimostrare che è possibile dividere il triangolo ABC in 4 triangoli disgiunti X1, … , X4 e il triangolo ABD in 4 triangoli disgiunti Y1, … , Y4 tali che i triangoli Xi e Yi siano congruenti per ogni i.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Area: Geometria Risposta: dimostrato Fonte: apri PDF p.2
- divide the two triangles into 4 congruent triangles*
In the ABCD trapezoid the sides AB and CD are parallel, the angles \ ABC and \ BAD are sharp. Demonstrate that you can divide the ABC triangle into 4 segments of X1, … , X4 and the ABD triangle in 4 Y1 disjoint triangles… , Y4 such that the Xi and Yi triangles are congruent for each i.
Answer: dimostrato src_cesenatico_2010__Q04
quante stringhe non vincenti
Nel paese di Cuccagna si gioca al seguente solitario. Si parte da una stringa finita di zeri e uni, e sono concesse le mosse seguenti: (i) cancellare due uni consecutivi; (ii) cancellare tre zeri consecutivi;
(iii) se all’interno della stringa c’è la sottostringa 01, si può sostituire questa sottostringa con 100. Le mosse (i), (ii) e (iii) devono essere fatte una alla volta e in successione. Si vince se si riesce a ridurre la stringa ad una formata da due cifre o meno. (Per esempio, partendo da 0101 si può vincere usando innanzitutto la mossa (iii) sulle due cifre finali, ottenendo 01100, poi giocando la mossa (i) sui due uni di questa, ed infine la mossa (ii) sui tre zeri rimasti: così si ottiene la stringa vuota.) Quante sono fra tutte le 1024 stringhe possibili di dieci cifre quelle a partire dalle quali non è possibile vincere il solitario?
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1 (la stringa 1111100000) Fonte: apri PDF p.2
*how many non-winning strings *
In the village of Cuccagna, you play the following solitaire. Starting from a finite string of zeros and ones, the following moves are allowed: (i) delete two consecutive zeros; (ii) delete three consecutive zeros;
(iii) if within the string is substring 01, this substring may be replaced by 100. Movements (i), (ii) and (iii) must be made one at a time and in succession. You win if you can reduce the string to a two-digit format or less. (For example, starting from 0101 you can win by first using the move (iii) on the final two digits, getting 01100, then playing the move (i) on two of these, and finally the move (ii) on the remaining three zeros: so you get the empty string.)
Answer: 1 (la stringa 1111100000) src_cesenatico_2010__Q05
Infiniti primi che dividono 2^(n^3+1)-3^(n^2+1)+5^(n+1)
Dimostrare che esistono infiniti numeri primi che dividono almeno un intero della forma 2n3+1 −3n2+1 + 5n+1 con n intero positivo.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: dimostrato Fonte: apri PDF p.4
*Infinite primes divided by 2^(n^3+1) -3^(n^2+1) +5^(n+1) *
Demonstrate that there are infinite prime numbers that divide at least one integer of the form 2n3+1 −3n2+1 + 5n+1 with positive integer n.
Answer: dimostrato src_cesenatico_2010__Q06