resti mod 25 e 15, divisibile per 25cl
La pozione magica Il britannico Cantorax ha bisogno di una grande quantità di pozione magica per salvare il suo villaggio dai romani. Parabolix ne ha preparata a volontà e deve imbottigliarla. Ha a disposizione contenitori di varie dimensioni ma vuole mettere la pozione in contenitori tutti uguali tra loro. Inizialmente prova a usare recipienti da 25 litri, ma gli avanza 1 litro. Tenta allora con i recipienti da 15 litri, ma stavolta gli avanzano 6 litri. Infine decide di mettere la pozione in bottigliette da 25 centilitri e ovviamente riesce a non fare avanzare pozione. Sapendo che Parabolix ha prodotto meno di 500 litri di pozione e che ha usato più di 1500 bottigliette, qual è il numero esatto di bottigliette utilizzate?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1704 Fonte: apri PDF p.1
residues mod 25 and 15, divisible by 25cl
The British Cantorax needs a large amount of magic potion to save his village from the Romans. Parabolix has prepared some of it on its own, and it has to be bottled. She has containers of varying sizes available, but she wants to put the potion in containers all equal to each other. Initially, he tries to use 25-litre containers, but he gets one-litre. Then he tries with the 15-liter containers, but this time they’re 6 liters ahead. Finally, he decides to put the potion in 25-centimeter bottles and, of course, manages not to push the potion forward. Knowing that Parabolix produced less than 500 liters of potion and used more than 1,500 bottles, what is the exact number of bottles used?
Answer: 1704 src_cesenatico_2011_finale__Q01
Resto k della somma 1!+…+2011! diviso 576
Il canto del bardo Il bardo Assuranceturing ha composto una nuova ballata per celebrare la partenza per la Britannia. Siccome ama strafare, al posto della classica strofa “44 Galli in fila per 6 col resto di 2” ha deciso di cantare “1!+2!+3!+4!+··+2011! Britanni in fila per 576 col resto di k”. Ovviamente viene legato e imbavagliato prima di poter finire, e Borelix si domanda: chissà quanto sarebbe stato il valore di k?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0153 Fonte: apri PDF p.1
The remaining k of the sum 1!+…+2011! This item is intended to provide information on:
The bardo Assuranceturing has composed a new ballad to celebrate the departure for Britain. Since he loves to overdo it, instead of the classic stanza 44 Galli in line for 6 with the rest of 2 he decided to sing 1!+2!+3!+4!+··+2011! Britons in line for 576 with the rest of the k. Obviously, he’s tied up and beaten up before he can finish, and Borelix wonders, who knows what the value of k would have been?
Answer: 0153 src_cesenatico_2011_finale__Q02
pezzi di rame mancanti
Le monete dei Britanni I Sulla barca per la Britannia, quando Abelix gli chiede informazioni sul tipo di monete che si usano nella sua terra, Cantorax risponde: “È very semplice! Abbiamo lingotti di ferro che valgono come 3 sesterzi e 1 2 più 4 pezzi di zinco. I pezzi di zinco, invece, valgono come 1 pezzo e 1 2 di rame. Inoltre, per fare un sesterzio ci vogliono 12 pezzi di bronzo o, in alternativa, 6 pezzi e 1 2 di rame.” Se Abelix ha già 18 pezzi di bronzo, quanti pezzi di rame gli mancano per raggiungere il valore di un lingotto di ferro?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 0019 Fonte: apri PDF p.1
- missing copper parts *
On the boat to Britannia, when Abelix asks him for information about the type of coins used in his country, Cantorax replies: It’s very simple! We have iron bars worth 3 sesterces and 12 plus 4 pieces of zinc. Zinc pieces, on the other hand, are worth 1 piece and 12 pieces of copper. In addition, to make a sester, it takes 12 pieces of bronze or, alternatively, 6 pieces and 12 pieces of copper. If Abelix already has 18 pieces of bronze, how many pieces of copper does it need to reach the value of an iron barrel?
Answer: 0019 src_cesenatico_2011_finale__Q03
Schiere da 10 cifre con 5 blocchi a 2 cifre primi
Primi in linea La legione romana che minaccia il villaggio di Cantorax è organizzata in tante schiere da 10 legionari ognuna. In ogni schiera i legionari sono numerati da 0 a 9 e sono uno a fianco all’altro non necessariamente in ordine. In effetti il centurione è superstizioso, e ha preteso che ogni schiera sia in un ordine diverso e che tutte abbiano la proprietà che dividendo i 10 legionari della schiera in 5 blocchi da 2 cifre ciascuno e leggento ogni blocco di 2 cifre come se fosse un numero (è ammessa la scrittura 02, che significa semplicemente 2), si ottengano 5 numeri primi. Determinare al massimo da quante schiere è composta la legione.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0960 Fonte: apri PDF p.1
Ten-digit lines with five blocks of two prime numbers
The Roman legion threatening the village of Cantorax is organized into many ranks of 10 legionaries each. In each row the legionaries are numbered from 0 to 9 and are one next to the other not necessarily in order. In fact, the centurion is superstitious, and he has demanded that each line be in a different order and that all have the property that by dividing the 10 legionaries of the line into 5 2-digit blocks each and lightening each 2-digit block as if it were a number (it is allowed to write 02, which simply means 2), you get 5 prime numbers. Determine how many legions the legion is made up of.
Answer: 0960 src_cesenatico_2011_finale__Q04
Diagonale rettangolo con ABPD ciclici
Un simbolo misterioso Nel frattempo, in Armorica, su un menhir è stato ritrovato un simbolo curioso, ignoto ai Galli. Questo è formato da un rettangolo ABCD e un triangolo equilatero CDE costruito esternamente al rettangolo sul lato CD. Parabolix decide di analizzarlo, e chiama P il centro del triangolo. Scopre così che il lato minore BC misura 45 centimetri, e che i punti ABPD stanno sulla stessa circonferenza. Quanti millimetri misura la diagonale del rettangolo? Gara a Squadre 2011 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 1/3
2/3 Gara a Squadre 2011 – Finale Nazionale – Testi dei problemi
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0900 Fonte: apri PDF p.1
Rectangular diagonal with cyclic ABPD
Meanwhile, in Armorica, a curious symbol, unknown to the Gauls, was found on a menhir. This is formed by an ABCD rectangle and an equilateral CDE triangle constructed externally to the rectangle on the CD side. Parabolix decides to analyze it, and he calls P the center of the triangle. So he finds that the smaller side of BC measures 45 centimeters, and that the ABPD points are on the same circumference. How many millimeters does the diagonal of the rectangle measure? Team competition 2011 National final Problem texts 1/3
2/3 Team competition 2011 National final Problems text
Answer: 0900 src_cesenatico_2011_finale__Q05
valore primo giorno
Una ferrea dieta In Britannia i cinghiali scarseggiano, e così Borelix ha dovuto mettersi a dieta: ogni giorno mangia 1 cinghiale in più dei 2/3 del numero di cinghiali che aveva mangiato il giorno prima. Sapendo che il nono giorno di permanenza sull’isola mangia solo 259 cinghiali, quanti ne aveva mangiati il primo giorno?
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 6564 Fonte: apri PDF p.2
value first day
In Britain, wild boars are scarce, and so Borelix had to go on a diet: he eats one boar a day more than two-thirds of the number of boars he had eaten the day before. Knowing that on the ninth day of his stay on the island he eats only 259 boars, how many had he eaten on the first day?
Answer: 6564 src_cesenatico_2011_finale__Q06
Eta n<300 con cifre non divisori e proprieta
Il compleanno del vecchio Math-usa-lemmix Il giorno del compleanno dell’anziano Math-usa-lemmix, l’uomo più invidiato del villaggio (per via della moglie), il piccolo Eallaix compie 7 anni. Quando il bambino chiede l’età al vecchio, lui gli risponde: “La mia età è un intero positivo n, minore di 300, le cui cifre o sono zeri o comunque non dividono n e tale che, se gli sottrai la tua età, diventa un numero che come divisori primi ha solo il 7 e la prima cifra di n”. Qual è l’età del vecchio Math-usa-lemmix?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0203 Fonte: apri PDF p.2
*Eta n<300 with non-divisive digits and property *
The birthday of old Math-usa-lemmix The birthday of old Math-usa-lemmix, the most enviable man in the village (because of his wife), little Eallaix turns 7 years old. When the child asks the old man how old he is, he answers, “My age is a positive integer n, less than 300, whose digits are either zero or otherwise do not divide n and such that, if you subtract your age from it, it becomes a number that as prime divisors has only 7 and the first digit of n. What’s the age of the old Math-use-lemmix?
Answer: 0203 src_cesenatico_2011_finale__Q07
Probabilita somma 7 dadi > 24
Una sinfonia di dadi Il bardo Assuranceturing, visto che non riesce a cantare in pubblico senza finire legato come un salame, se ne sta chiuso nella sua capanna a giocare a dadi. Se lancia 7 dadi romani (comuni dadi con 6 facce numerate da 1 a 6), qual è la probabilità che la somma dei valori usciti sia strettamente maggiore di 24? Come risposta fornire le prime 4 cifre dopo la virgola.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5000 Fonte: apri PDF p.2
Probability sum of 7 dice > 24
An assuranceturing bardo, because he can’t sing in public without ending up tied up like a salami, locks himself in his cabin playing dice. If he throws 7 Roman dice (common dice with 6 faces numbered from 1 to 6), what is the probability that the sum of the outcome values is strictly greater than 24? As a response, provide the first four digits after the comma.
Answer: 5000 src_cesenatico_2011_finale__Q08
Distanza torretta da D (cardo e decumano)
L’accampamento romano L’accampamento della legione romana in Britannia è un rettangolo ABCD di lati BC = 100 cubiti e CD = 400 cubiti. Purtroppo per un errore dovuto alla confusione tra cubiti britannici e cubiti romani l’accampamento è stato orientato male, infatti il cardo e il decumano, le due strade che segnano gli assi nord–sud e est–ovest partono rispettivamente da C e da D e non sono parallele ai lati del rettangolo. Queste due strade si incontrano in un punto P più vicino a C che a D e si sa che l’area di PCD è 10000 cubiti2. Inoltre dove il Cardo arriva a toccare le mura perimetrali, sorge una torretta. Quanti cubiti dista la torretta dal punto D? (Per evitare ulteriori danni, tutti i dati del problema sono in cubiti romani.)
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0400 Fonte: apri PDF p.2
*Turned distance from D (cart and decuman) *
The Roman camp The Roman legion camp in Britannia is a rectangle ABCD of sides BC = 100 cubits and CD = 400 cubits. Unfortunately, due to an error caused by the confusion between British and Roman cubes, the camp was poorly oriented, as the card and the decuman, the two roads that mark the north-south and east-west axes, respectively, start from C and D and are not parallel to the sides of the rectangle. These two roads meet at a point P closer to C than to D and we know that the area of PCD is 10000 cubits2. Also, where the Cardo reaches the perimeter walls, there is a tower. How many cubits away is the tower from point D? (To avoid further damage, all the data on the problem is in Roman cubes.)
Answer: 0400 src_cesenatico_2011_finale__Q09
Modi di pagare 2011 lingotti con bronzo e rame
Le monete dei Britanni II In Britannia va di moda uno strano gioco che si gioca tra due squadre, usando palline, mazze e piccoli archetti piantati per terra. Il biglietto per assistere alla finalissima tra Londinium e Cambridges, costa 2011 lingotti di ferro. (Per le equivalenze tra i pezzi si veda il Problema 3.) In quanti modi diversi, usando solo pezzi di bronzo e pezzi di rame, Cantorax può pagare un biglietto senza dover ricevere resto?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4448 Fonte: apri PDF p.2
How to pay 2011 bullion with bronze and copper
In Britannia, a strange game played between two teams, using balls, clubs and small arrows, is fashionable. Tickets to the final between Londinium and Cambridge cost 2011 bars. How many different ways, using only pieces of bronze and pieces of copper, can Cantorax pay for a ticket without having to receive the rest?
Answer: 4448 src_cesenatico_2011_finale__Q10
2 primi e 1 quadrato perfetto
Le tre golosità Nel frattempo, in Armorica, il vecchio Math-usa-lemmix racconta ai piccoli del villaggio la favola di Cappuccettix e il Romano cattivo: “…la mamma le aveva dato il cestino da portare all’ammalata Nonna Galla, pieno di tante prelibatezze: cioccoLatinix, Gallinix e Crostate alla MarmelLatinix”. Ma l’età gioca brutti scherzi e il vegliardo non si ricorda più precisamente quanti fossero ciascuno di questi doni! Sa solo che erano 3 interi consecutivi, di cui 2 erano numeri primi e 1 un quadrato perfetto. Il piccolo Leibnix, molto sveglio, gli suggerisce quali sono tutte le possibili terne di tali numeri. Quanto vale il prodotto degli elementi maggiori di tutte queste terne?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0060 Fonte: apri PDF p.2
2 prime and 1 perfect square
Meanwhile, in Armorica, the old Math-usa-lemmix tells the villagers the tale of Cappuccettix and the bad Roman: …the mother had given her the basket to bring to the sick Grandmother Galla, full of so many delights: chocolateLatinix, Gallinix and Crostate to the MarmelLatinix. But age plays bad jokes and the watchman no longer remembers exactly how many of these gifts were! All you know is that they were 3 consecutive integers, of which 2 were prime numbers and 1 was a perfect square. Little Leibnix, very clever, suggests to him what all the possible threads of these numbers are. How much is the product of the main elements of all these terns worth?
Answer: 0060 src_cesenatico_2011_finale__Q11
Probabilita pesce completamente giallo
Pesce fresco da Lutezia! Il pescivendolo del villaggio Lessicografix ha ricevuto una partita di pesce particolarmente scadente da Lutezia, tanto che questi pesci sono di colore rosso, giallo, blu, verde… ma spesso sono di un colore da un lato e di un altro dall’altro (mentre i singoli lati sono monocromatici). I bambini del villaggio gli hanno fatto uno scherzo, rubando 13 pesci per nasconderli: 2 rossi e verdi, 3 verdi e blu, 2 gialli e blu, 3 gialli e rossi, 1 giallo e verde e 2 completamente gialli. Lessicografix, nel cercare i suoi pesci, vede sbucare il lato giallo di un pesce da un cespuglio poco distante: qual è la probabilità che il pesce sia completamente giallo? Come risposta fornire le prime 4 cifre dopo la virgola.
Gara a Squadre 2011 – Finale Nazionale – Testi dei problemi 3/3 Una meno facile missione in Egitto
Topic: Probabilita e statistica Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4000 Fonte: apri PDF p.2
Probability of wholly yellow fish
Fresh fish from Lutezia! The fishing shop in the village of Lessicografix received a particularly poor batch of fish from Lutezia, so much so that these fish are red, yellow, blue, green… But often they are one color on one side and another on the other (while the individual sides are monochrome). The children of the village made fun of him, stealing 13 fish to hide them: 2 red and green, 3 green and blue, 2 yellow and blue, 3 yellow and red, 1 yellow and green and 2 completely yellow. Lessicografix, looking for his fish, sees the yellow side of a fish emerge from a bush not far away: what is the probability that the fish is completely yellow? As a response, provide the first four digits after the comma.
Team competition 2011 National final Problem texts 3/3 A less difficult mission in Egypt
Answer: 4000 src_cesenatico_2011_finale__Q12
multiplo di 3,4,5 in basi diverse
Un messaggio dall’Egitto Il messaggio in codice con cui Numerotris chiede agli amici Galli di raggiungerlo in Egitto è una lunga sequenza di 1000 cifre tra 0 e 8. Per decodificarlo, Parabolix annota che tale numero, letto in base 10 è multiplo di 3, letto in base 9 è multiplo di 4 e letto in base 11 è multiplo di 5. Quanto vale, al massimo, la somma delle cifre scritte sul foglio?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7980 Fonte: apri PDF p.3
multiply by 3,4,5 on different bases
A message from Egypt The code message Numerotris uses to ask friends from Wales to reach him in Egypt is a long sequence of 1000 digits between 0 and 8. To decode it, Parabolix notes that this number, read at base 10 is multiple of 3, read at base 9 is multiple of 4, and read at base 11 is multiple of 5. How much is the sum of the numbers on the paper worth at most?
Answer: 7980 src_cesenatico_2011_finale__Q13
Probabilita MCD=1 di due divisori di 12!
Il passatempo di Abelix e Borelix Abelix e Borelix hanno inventato un nuovo gioco per passare il tempo prima di partire per l’Egitto. Ogniqualvolta mettono fuori combattimento una pattuglia di soldati romani, chiedono a due di loro di scegliere a caso, ciascuno indipendentemente, un divisore di 12!; se i due numeri hanno massimo comun divisore uguale a 1 vince Borelix, altrimenti vince Abelix. Qual è la probabilità di vittoria di Abelix? Come risposta fornire le prime 4 cifre dopo la virgola.
Topic: Probabilita e statistica, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9834 Fonte: apri PDF p.3
MCD probability = 1 of two divisors of 12!
Abelix and Borelix invented a new game to pass the time before leaving for Egypt. Whenever they put out a patrol of Roman soldiers, they ask two of them to choose randomly, each independently, a divisor of 12!; if the two numbers have a maximum common divisor equal to 1, Borelix wins, otherwise Abelix wins. What are the odds of Abelix winning? As a response, provide the first four digits after the comma.
Answer: 9834 src_cesenatico_2011_finale__Q14
Tempo minimo rotta a due tratti ortogonali
A rotta di collo Più o meno all’ora della penichella, i pirati hanno avvistato una nave ferma in mezzo al Mediterraneo, a 1 miglio di distanza da loro. Tosto vi si dirigono per saccheggiarla. Tuttavia, nel timore che (per colmo di sventura) sia popolata dai soliti Galli, avanzano con estrema cautela. La loro rotta di avvicinamento prevede di percorrere due tratti rettilinei, ortogonali tra loro, il primo a 1/4 di miglio l’ora, il secondo a 1/8 di miglio l’ora. Inoltre, tra tutte le rotte di questo tipo, scelgono quella più lenta. Quanti minuti impiegherà la nave dei pirati per intercettare l’altra (dove ovviamente i soliti Galli stanno schiacciando un pisolino)?
Topic: Geometria analitica Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0536 Fonte: apri PDF p.3
Minimum time broken to two orthogonal lines
Near the time of the pennyshell, pirates spotted a ship stationed in the middle of the Mediterranean, a mile away. Tosto, they’re going to plunder her. However, in fear that (by chance) it will be populated by the usual Gauls, they proceed with extreme caution. Their approach route consists of two straight lines, orthogonal to each other, the first at 1/4 mile per hour, the second at 1/8 mile per hour. Moreover, of all the routes of this kind, they choose the slowest. How many minutes will it take the pirate ship to intercept each other (where, of course, the usual Gauls are crushing a little bit)?
Answer: 0536 src_cesenatico_2011_finale__Q15
Distanza Cleopatra-serpente in trapezio inscritto
“Galli, venuti da lontano… ...a soffocarmi con l’odio, saprò mostrarvi come muore una regina. A me il serpente!”, esclama Cleopatra quando Abelix e gli altri entrano nella sala del trono. Però l’aspide non è a portata di mano: Cleopatra e il serpente sono agli estremi della base minore di un trapezio isoscele. Abelix e Borelix sono agli estremi della base maggiore, che è anche il diametro della circonferenza in cui il trapezio è inscritto. Sapendo che la distanza tra Abelix e Borelix è di 400 cleopassi (unità di misura determinata dalla lunghezza delle gambe di Cleopatra), la distanza tra Abelix e Cleopatra è di 100 cleopassi come quella tra Borelix e il serpente, qual è la distanza tra Cleopatra e il serpente?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0350 Fonte: apri PDF p.3
Distance between Cleopatra and snake in trapezoid inscribed
Galli, come from far away… ...to suffocate me with hatred, I will be able to show you how a queen dies. To me the serpent!, Cleopatra exclaims as Abelix and the others enter the throne room. However, the Aspide is not within reach: Cleopatra and the serpent are at the extremes of the lower base of an isosceles trapezius. Abelix and Borelix are at the extremes of the major base, which is also the diameter of the circumference into which the trapezoid is inscribed. Knowing that the distance between Abelix and Borelix is 400 cleopasses (a unit of measurement determined by the length of Cleopatra’s legs), the distance between Abelix and Cleopatra is 100 cleopasses as that between Borelix and the snake, what is the distance between Cleopatra and the snake?
Answer: 0350 src_cesenatico_2011_finale__Q16
Tre atleti fianco a fianco per la prima volta
La I Fatica, Velocipedos da Maratona Abelix e Borelix vogliono aiutare Cleopatra a sconfiggere Giulio Cesare, ma ella non crede loro e li sottopone alle terribili Fatiche. Se le supereranno con il favore degli dèi, avranno anche quello della regina. La I Fatica è una gara di corsa, lunga 200 giri di pista. Partecipano Abelix, il campione greco Velocipedos e il campione romano Dopatus. Al via, partono tutti insieme dallo stesso punto della pista, percorrendola in senso antiorario con velocità costante. Per fare un giro, Abelix impiega 120 secondi, Velocipedos 75 secondi e Dopatus (che di nascosto ha rubato e bevuto un po’ di pozione magica e sarà squalificato dopo l’arrivo) solo 57 secondi. A quanti secondi dalla partenza i tre atleti saranno di nuovo tutti fianco a fianco per la prima volta?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3800 Fonte: apri PDF p.4
Three athletes side by side for the first time
Fatigue I, Velocipedos from Marathon Abelix and Borelix want to help Cleopatra defeat Julius Caesar, but she doesn’t believe them and puts them under the terrible Fatiches. If they overcome them with the grace of the gods, they’ll have the Queen’s too. Fatica I is a 200-lap race on the track. Abelix, the Greek champion Velocipedos and the Roman champion Dopatus are taking part. On the way, they all start together from the same point on the track, running counter-clockwise at a constant speed. Abelix takes 120 seconds, Velocipedos 75 seconds and Dopatus (who secretly stole and drank some magic potion and will be disqualified after arrival) only 57 seconds. How many seconds from the start will all three athletes be back side by side for the first time?
Answer: 3800 src_cesenatico_2011_finale__Q17
Cubetti in piramide a base quadrata (portagioie)
Il portagioie di Cleopatra La prima piramide di cui Cleopatra ha sentito l’esigenza è in effetti un immenso portagioie. La piramide ha base quadrata di lato 120 cleopassi e altezza 120 cleopassi. La sua sommità non è equidistante dai vertici del quadrato di base: infatti si trova a distanza 131 e 143 cleopassi da due consecutivi di tali vertici. All’interno del volume della piramide si è realizzato il numero massimo possibile di compartimenti, ciascuno dei quali di forma cubica e lato di 5 cleopassi. Quanti sono in tutto i compartimenti del portagioie di Cleopatra?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4324 Fonte: apri PDF p.4
*Square-base pyramid cubes (portal) *
The first pyramid that Cleopatra felt the need for is in fact an immense treasure chest. The pyramid has a square side base of 120 cleopasses and a height of 120 cleopasses. Its summit is not equidistant from the vertices of the base square: in fact, it is located 131 and 143 cleopasses from two consecutive vertices. Within the volume of the pyramid, as many compartments as possible have been created, each of which is cubic in shape and has a side of 5 cleopasses. How many are in all the compartments of Cleopatra’s vault?
Answer: 4324 src_cesenatico_2011_finale__Q18
Probabilita non scoprire sabotatori (interrogatori)
Sabotaggio nel cantiere Nel cantiere di Numerotris si sono infiltrate 4 spie romane e 4 sabotatori dell’architetto che ha perso l’appalto. Abelix ha saputo delle 4 spie (anche se non sa chi siano) ma non dei sabotatori e inizia ad interrogare tutti i 44 operai del cantiere in ordine casuale. Se trova una spia o un sabotatore lo scopre di sicuro, ma una volta trovate tutte e 4 le spie interrompe gli interrogatori. Quanto vale la probabilità che non scopra nemmeno uno dei sabotatori? Come risposta fornire le prime 4 cifre dopo la virgola.
4/3 Gara a Squadre 2011 – Finale Nazionale – Testi dei problemi
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0142 Fonte: apri PDF p.4
*Probability of not detecting saboteurs (interrogators) *
4 Roman spies and 4 saboteurs of the architect who lost the contract infiltrated the construction site of Numerotris. Abelix has heard of the 4 spies (though he doesn’t know who they are) but not the saboteurs and starts questioning all 44 workers at the site in random order. If he finds a spy or a saboteur, he’ll find out for sure, but once you find all four, he stops questioning. What’s the probability that he won’t find out any of the saboteurs? As a response, provide the first four digits after the comma.
4/3 Team competition 2011 National final Problem texts
Answer: 0142 src_cesenatico_2011_finale__Q19
Probabilita tornare all’ufficio 73 (permutazione)
La II Fatica, la casa che rende folli Abelix per superare un’altra delle Fatiche imposte da Cleopatra, deve farsi rilasciare un lasciapassare A-38 dall’ufficio 73, presso il palazzo del prefetto romano, dove la folle burocrazia lo costringe a girare da uno all’altro dei 100 uffici lì presenti (numerati da 1 a 100). In realtà il prefetto ha in precedenza preparato un’urna con biglietti numerati da 1 a 100 e ne ha fatto estrarre uno ad ogni ufficio. Ogni volta che Abelix chiede un documento ad un ufficio, gli impiegati gli spiegano che prima gli serve un altro documento, da procurare in un altro ufficio il cui numero leggono dal biglietto. Abelix parte regolarmente dal chiedere il lasciapassare A-38 all’ufficio 73 e per un po’ segue le indicazioni, però, dopo 1000 volte si scoccia e decide di passare alle maniere forti con gli impiegati dell’ufficio davanti a cui viene a trovarsi. Qual è la probabilità che finisca col prendersela proprio con gli impiegati dell’ufficio 73? Come risposta fornire le prime 4 cifre dopo la virgola.
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1100 Fonte: apri PDF p.4
It’s likely to return to office 73 (shift)
La II Fatica, the house that drives Abelix crazy to overcome one of the Fatica imposed by Cleopatra, must get an A-38 passport issued from office 73, at the palace of the Roman prefect, where the mad bureaucracy forces him to turn from one to the other of the 100 offices there (numbered 1 to 100). In fact, the prefect had previously prepared a day with tickets numbered from 1 to 100 and had one drawn from each office. Whenever Abelix asks an office for a document, the employees explain that he needs another document first, to be obtained at another office whose number they read from the ticket. Abelix regularly starts from asking for the A-38 passport at the 73 office and for a while follows the instructions, but after 1000 times he is discouraged and decides to go to the tough manners with the employees of the office in front of him. What are the odds that I’ll end up getting into trouble with the very employees of office 73? As a response, provide the first four digits after the comma.
Answer: 1100 src_cesenatico_2011_finale__Q20
Ultime due cifre di parte intera di x^2011
Parola d’ordine! L’infido Duetrecinquesettete, come le altre spie romane di alto livello, ha a disposizione un abaco portatile potentissimo che permette di fare conti difficilissimi in breve tempo. I Romani lo usano per incrementare la sicurezza dei servizi segreti: prima di aprire a qualcuno la sentinella chiede di fare operazioni molto complicate per verificare se ha l’abaco. Abelix ha messo ko Duetrecinquesettete, ma l’abaco si è rotto. Il Gallo sperimenta allora un elisir dell’intelligenza e cerca di intrufolarsi. “Chi va là!” bisbiglia la sentinella. “So’ Duetrecinquesettete” risponde Abelix con improbabile accento latino. “Dimmi allora: se x è l’unica soluzione reale positiva di x2 −29x −10 = 0, quanto vale x2011?” domanda la sentinella. Abelix pronto risponde “È un numero troppo grande per dirlo a voce e nun è nemmeno intero!”. La sentinella non si fa sorprendere e replica “Allora prendi la parte intera e poi dimmi le ultime due cifre del numero che ottieni. Sarà meglio per te che non ti sbagli!” Cosa deve rispondere Abelix alla sentinella?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0019 Fonte: apri PDF p.4
Last two whole-digit digits of x^2011
Word of order! Like the other high-ranking Roman spies, the infidel Duetrecinquesette has a very powerful portable abacus at his disposal that allows him to make very difficult calculations in a short time. The Romans use it to increase the security of the secret services: before opening up to anyone, the sentry asks them to do very complicated operations to verify if they have the Abacus. Abelix put in two, but the baby’s broken. The Rooster then experiments with an elisir of intelligence and tries to infiltrate. Who goes there? The sentry whispers. So Duetrecinquesettete answers Abelix with an unlikely Latin accent. Tell me then: if x is the only positive real solution of x2 −29x −10 = 0, what is x2011 worth? asks the sentinel. Abelix ready answers It’s too big a number to say out loud and it’s not even whole! The sentry doesn’t surprise itself and says, “Then take the whole part and then tell me the last two digits of the number you get. It will be better for you not to be mistaken! What should Abelix answer the sentry?
Answer: 0019 src_cesenatico_2011_finale__Q21
Numero spie tra operai (affermazioni cicliche)
Il cantiere nel caos I lavori per la costruzione del monumento di Cleopatra hanno subito una accelerazione e ora ci sono la bellezza di 11808 operai, al cui interno si teme si siano infiltrate molte spie romane. Quando Abelix chiede a ciascuno dei sedicenti operai di dire quello che sa, ottiene nell’ordine le risposte: “tra di noi c’è almeno 1 Egiziano”, “tra di noi ci sono almeno 2 Egiziani”, “tra di noi ci sono meno di 3 Egiziani”, “gli operai del cantiere sono almeno 4”, “gli operai del cantiere sono almeno 5”, “gli operai del cantiere sono meno di 6”, e continuando il settimo come il primo, l’ottavo come il secondo e così via, con la differenza che l’n–esimo operaio parla di n Egiziani o n operai. Chiaramente gli Egiziani gli diranno sempre la verità mentre le spie romane gli mentiranno sempre. Quanti sono le spie romane infiltrate come operai? (Si intende che gli autentici Egiziani non sono mai spie.)
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4723 Fonte: apri PDF p.4
*Number of spies among workers (cyclical claims) *
Work on Cleopatra’s monument has been accelerated and now there are the beauty of 11808 workers, many of whom are feared to have infiltrated Roman spies. When Abelix asks each of the sixteen workers to say what they know, he gets in the order the answers: among us there is at least 1 Egyptian, among us there are at least 2 Egyptians, among us there are less than 3 Egyptians, the construction site workers are at least 4, the construction site workers are at least 5, the construction site workers are less than 6, and continuing the seventh as the first, the eighth as the second and so on, with the difference that the last worker speaks of Egyptians or n workers. Clearly the Egyptians will always tell him the truth while the Roman spies will always lie to him. How many Roman spies are infiltrated as workers? (It is understood that true Egyptians are never spies.)
Answer: 4723 src_cesenatico_2011_finale__Q22
Perimetro muro intorno piramide (geodetiche)
La vera piramide di Cleopatra Cleopatra si è fatta costruire un’altra piramide, questa volta retta e a base quadrata, avente come facce laterali dei triangoli equilateri di lato 100 cleopassi. La regina ha preteso dagli architetti che circondino la piramide, situata in un deserto perfettamente pianeggiante, con un muro perimetrale in modo tale che, da qualunque punto del muro interno, Cleopatra possa raggiungere la sommità della piramide in 200 cleopassi (ma niente di meno), camminando sul deserto e sulla superficie della piramide. Quanto sarà il perimetro del muro calcolato in cleopassi?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1047 Fonte: apri PDF p.4
*Wall perimeter around pyramids (geodetic) *
Cleopatra’s true pyramid Cleopatra had another pyramid built, this time straight and square, with side faces of equilateral triangles of side 100 cleopasses. The queen demanded that the architects surround the pyramid, located in a perfectly flat desert, with a perimeter wall so that, from any point of the inner wall, Cleopatra could reach the top of the pyramid in 200 cleopasses (but nothing less), walking through the desert and on the surface of the pyramid. What will the perimeter of the wall be calculated in cleopasses?
Answer: 1047 src_cesenatico_2011_finale__Q23
Somma cifre di p(1000) per prodotto (1+x^2i)
La III Fatica, il saggio della montagna La terza e ultima Fatica imposta ai Galli da Cleopatra consiste nel risolvere l’enigma del venerabile Saggio della Montagna. Il prode Abelix si sottopone coraggiosamente anche a questa prova. Il vecchio lo benda accuratamente, prende il polinomio p(x) = ∏10 i=1(1+x2i) e a bruciapelo gli chiede quanto vale la somma delle cifre in base 10 di p(1000). Come deve rispondere Abelix?
Cesenatico 2011 XII GARA NAZIONALE A SQUADRE Finale Nazionale – Soluzioni – 7 Maggio 2011 Nr. Problema
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1024 Fonte: apri PDF p.4
*Summary of p(1000) per product (1+x^2i) *
The third and final task imposed on the Gauls by Cleopatra consists in solving the enigma of the venerable Mountain sage. The prodigy Abelix courageously submits to this test as well. The old man bends it carefully, takes the polynomial p(x) = ∏10 i=1(1+x2i) and burns it up and asks how much the sum of the digits in base 10 of p(1000 is worth. How should Abelix respond?
This year’s event is the 12th National Final Team event. The problem
Answer: 1024 src_cesenatico_2011_finale__Q24