altezza
Accanimento nasale Durante un’avventura in Egitto Borelix involontariamente rompe il naso della famosa Sfinge. Il naso, ora a terra, è un tetraedro irregolare ABCD appoggiato sulla faccia ABC. Borelix, lanciando un romano, spezza ulteriormente il naso lungo un piano parallelo ad ABD dividendolo in due pezzi di cui quello che contiene il vertice C ha volume che, una volta diminuito del 27,2%, diventa pari a quello dell’altro pezzo. Sapendo che l’altezza (rispetto al suolo) del pezzo che contiene il vertice C misura 5,33m, quanti millimetri misurava l’altezza di ABCD relativa ad ABC?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 6396 Fonte: apri PDF p.1
height
During an adventure in Egypt, Borelix unwittingly breaks the nose of the famous Sphinx. The nose, now on the ground, is an irregular ABCD tetrahedron resting on the face of the ABC. Borelix, throwing a Roman, breaks the nose further along a plane parallel to ABD by dividing it into two pieces of which the one containing the C vertex has a volume that, once decreased by 27.2%, becomes equal to that of the other piece. Knowing that the height (relative to the ground) of the piece containing top C is 5.33m, how many millimetres did you measure the height of ABCD relative to ABC?
Answer: 6396 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q01
Quaterne a,b,c,d con abcd=40! e ab=n!
Disputa accademica Lo scienziato romano Novotonus, che viaggia al seguito delle truppe di Giulio Cesare, vuole rubare al suo rivale gallo Leibnix alcune carte con rivoluzionarie idee matematiche, che quest’ultimo ha messo al sicuro in una cassaforte. Questa si apre inserendo quattro interi positivi a, b, c, d, tali che a/b e c/d siano due frazioni irriducibili con abcd = 40! e ab = n! dove 15 < n < 25. Sia N il numero di quaterne ordinate che soddisfano le condizioni, quanto fa N/1024?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7424 Fonte: apri PDF p.1
A, b, c, d with abcd = 40! e ab=n!*
The Roman scientist Novotonus, who traveled with Julius Caesar’s troops, wants to steal some cards with revolutionary mathematical ideas from his rival, Leibnix, who has put them in a safe deposit box. This is opened by inserting four positive integers a, b, c, d, such that a/b and c/d are two irreducible fractions with abcd = 40! e ab = n! where 15 < n < 25. Whether N is the number of four orders that satisfy the conditions, how much does N/1024 do?
Answer: 7424 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q02
Gemme nei punti di incontro di corde in 127-agono
Banale bigiotteria Giulio Cesare desidera regalare un prezioso gioiello alla furiosa Cleopatra per ottenere il suo perdono. Il monile è realizzato prendendo i vertici di un 127-agono regolare su una circonferenza e collegando con fili d’oro i vertici che distano tra loro 61 vertici (due vertici adiacenti distano 1). Sapendo che in ogni punto interno alla circonferenza in cui questi fili si incontrano Giulio Cesare vuole incastonare una pietra preziosa, di quante gemme avrà bisogno?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 7620 Fonte: apri PDF p.1
Gems at the 127-acre rope junction points
Trivial jewellery Julius Caesar wishes to give a precious jewel to the furious Cleopatra to obtain her forgiveness. The monolith is made by taking the vertices of a regular 127-agon on a circumference and connecting with gold wires the vertices that are 61 vertices apart from each other (two adjacent vertices distant 1). Knowing that at every point within the circumference where these threads meet Julius Caesar wants to lay a precious stone, how many gems will he need?
Answer: 7620 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q03
Druidi e impostori (multiplo di 3 impostori)
Uno stringente interrogatorio Radunato un gruppo di 5 sedicenti druidi, l’Arcidruido li ascolta uno dopo l’altro per individuare se ci siano impostori infiltrati dai romani. Tutti i sospettati sanno chi sono i druidi e chi gli impostori. I druidi dicono sempre la verità, gli impostori mentono sempre. I 5 sospettati fanno le seguenti affermazioni: A: Il numero di impostori presenti è un multiplo di 3. B: C’è un solo impostore fra di noi. C: A e B sono entrambi druidi. D: Io ed A non siamo impostori. E: D sta mentendo. Nella risposta, usare le cifre da sinistra a destra per indicare quello che si può dire di ciascuno dei primi 4 individui: 1 se è un druido, 2 se è un impostore, 0 se non può essere determinato univocamente.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0220 Fonte: apri PDF p.1
*Druids and impellers (multiple of 3 impellers) *
A rigorous interrogation Gathered together a group of 5 self-styled druids, Arcidruid listens to them one by one to determine if there are impostors infiltrated by the Romans. All the suspects know who the druids are and who the impostors are. Druids always tell the truth, impostors always lie. The five suspects make the following statements: A: The number of impostors present is a multiple of 3. B: There’s only one impostor among us. C: A and B are both druids. D: Me and A are not impostors. E: D is lying. In the answer, use the numbers from left to right to indicate what you can say about each of the first 4 individuals: 1 if it’s a druid, 2 if it’s an impostor, 0 if it can’t be determined uniquely.
Answer: 0220 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q04
Area del quadrilatero AEFG con punti medi
Grandi opere Il cantiere per la costruzione del monumento a Cleopatra era fino a ieri un triangolo ABC retto in A con AB = 144 e AC = 221. Oggi l’area dei lavori è stata estesa ad un triangolo BCD, con D sul prolungamento di AB tale che CD = 256. All’interno del cantiere allargato, il monumento sorgerà sulla superficie del quadrilatero AEFG, con E, F, G punti medi di DB, BC, CD. Quanto misura l’area di questo quadrilatero?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 7956 Fonte: apri PDF p.1
*AEFG quadrilateral area with mean points *
Great works The site for the construction of the monument to Cleopatra was until yesterday an ABC triangle in A with AB = 144 and AC = 221. Today the work area has been extended to a BCD triangle, with D on the AB extension such that CD = 256. Within the enlarged site, the monument will stand on the surface of the AEFG quadrilateral, with E, F, G mean points of DB, BC, CD. What is the area of this quadrilateral?
Answer: 7956 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q05
Allineare 9 soldati con somme vicine multiple di 3
Tu non passerai! La difesa è uno dei punti di forza dell’esercito romano. Per organizzare una linea di difesa il comandante della legione allinea i soldati in base alla loro esperienza sul campo. L’esperienza di ogni soldato viene quantificata con un intero tra 1 e 40. Giulio Cesare è un esperto nell’organizzare le linee di difesa ed usa una tecnica segreta che gli garantisce sicuro successo: una linea di difesa efficace è composta da soldati allineati in modo che la somma delle esperienze di due soldati tra loro vicini sia sempre multipla di 3. Nell’attaccare la Gallia, Giulio Cesare dispone di soldati con le seguenti esperienze: 4, 10, 11, 14, 16, 23, 25, 32, 34. In quanti modi Giulio Cesare può organizzare una linea di difesa efficace che usi tutti i 9 soldati a disposizione? Gara a Squadre 2011 – Semifinale B – Testi dei problemi – 1/1
2/1 Gara a Squadre 2011 – Semifinale B – Testi dei problemi
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2880 Fonte: apri PDF p.1
Line up 9 soldiers with close sums multiple of 3
You’re not going through! Defense is one of the strengths of the Roman army. To organize a line of defense the commander of the legion aligns the soldiers based on their experience in the field. Each soldier’s experience is quantified by an integer between 1 and 40. Julius Caesar is an expert in organizing the lines of defence and uses a secret technique that guarantees him a certain success: an effective line of defence is composed of soldiers aligned so that the sum of the experiences of two soldiers between each other is always multiple by 3. In attacking Gaul, Julius Caesar has soldiers with the following experiences: 4, 10, 11, 14, 16, 23, 25, 32, 34. How many ways can Julius Caesar organize an effective line of defense that uses all nine soldiers available? Team competition 2011 Semifinal B Problem tests 1/1
2/1 Team competition 2011 Semifinal B Problem tests
Answer: 2880 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q06
rapporto q/r
Un rifugio sicuro Su suggerimento del suo druido-spia, Dimostropercertus ordina di chiudere tutti i porti in mano ai romani. Abelix e i suoi compagni decidono di andare a caso per trovare un porto non controllato ove attraccare. Scelgono casualmente un naturale n tra 0 e 2011, e chiamano q la probabilità che 7|10n +1 e r la probabilità che 7|10n −1. Indicare come risultato le prime 4 cifre decimali del quoziente q/r.
Topic: Probabilita e statistica, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9970 Fonte: apri PDF p.2
The following information is provided by the manufacturer:
A safe haven At the suggestion of his druid-spy, Dimostropercertus orders the Romans to close all the gates. Abelix and his companions decide to go at random to find an uncontrolled harbor where to dock. They randomly choose a natural n between 0 and 2011, and call q the probability that 7 will be 10n +1 and the probability that 7 will be 10n −1. Indicate the first four decimal places of the q/r quotient as a result.
Answer: 9970 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q07
chi dice verita
L’appetito vien mangiando Il desco dell’imperatore è un enorme tavolo circolare, il più grande del mondo, con la bellezza di 4605 posti a sedere. Solo una volta capitò di vederlo completamente occupato: si narra che quel giorno ognuno dei commensali fece un commento sui due che aveva di fronte (i due seduti accanto al punto del tavolo diametralmente opposto al suo). In particolare, ognuno disse che dei due davanti solo uno diceva sempre la verità, e l’altro mentiva sempre. Tenendo conto che almeno uno di loro era sincero, quanti di loro effettivamente dicevano la verità?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3070 Fonte: apri PDF p.2
Who’s telling the truth
The Emperor’s Table is a huge round table, the largest in the world, with a beauty of 4605 seats. Only once did he happen to see him completely occupied: it is said that that day each of the diners made a comment on the two he had in front of him (the two sitting next to the point of the table diametrically opposite his). In particular, each said that of the two in front only one always told the truth, and the other always lied. Considering that at least one of them was sincere, how many of them were actually telling the truth?
Answer: 3070 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q08
decodificare numeri
Un ordine cui non si può disobbedire Abelix e Borelix hanno intercettato un messaggio proveniente da Giulio Cesare in persona e destinato ad uno dei suoi luogotenenti. Il messaggio recita: “Dovete inviare DYYJY plotoni di soldati, ogni plotone deve essere formato da MYJW soldati da disporre in una testuggine quadrata con WJJJ soldati per lato inoltre ho bisogno di altri NDEYMWJJ soldati che mi facciano da guardia personale.” Abelix scruta il messaggio ed osserva dubbioso: “I romani di solito usano altre buffe lettere al posto dei numeri, tipo XVIII, XLIV e roba del genere. Che abbiano cambiato lettere?” ma poi immediatamente esclama: “Ma certo! Giulio Cesare ha usato il suo solito metodo e ha cambiato le lettere semplicemente spostandosi di un numero fissato nell’ordine alfabetico!”. Quanti soldati ha chiesto in tutto Giulio Cesare?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9703 Fonte: apri PDF p.2
decode numbers
An order that cannot be disobeyed. Abelix and Borelix intercepted a message from Julius Caesar himself and intended for one of his lieutenants. The message reads: You must send DYYJY platoons of soldiers, each platoon must be formed by MYJW soldiers to be arranged in a square texture with WJJJ soldiers on the side. Furthermore, I need other NDEYMWJJ soldiers to make me a personal guard. Abelix scrutinizes the message and observes doubtful: The Romans usually use other funny letters instead of numbers, type XVIII, XLIV and stuff like that. That they changed letters? but then immediately exclaims:But of course! Julius Caesar used his usual method and changed the letters simply by moving a fixed number in alphabetical order! How many soldiers did Julius Caesar ask for?
Answer: 9703 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q09
Minimi francobolli da 255 e 210 per 7050
Romantica spedizione Borelix vuole spedire un menhir d’amore alla sua amata Alfablà, e deve affrancarlo con 7050 Gallini di Bronzo, la moneta del loro villaggio. Sfortunatamente ha a disposizione solo francobolli da 255 e da 210 Gallini di Bronzo. Quanti francobolli almeno dovrà usare Borelix? Nella risposta usare le due cifre di sinistra per il numero di francobolli da 255 e le due cifre di destra per il numero di francobolli da 210 corrispondenti alla soluzione di somma minima.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2602 Fonte: apri PDF p.2
Minimum stamps of 255 and 210 for 7050
Romantic expedition Borelix wants to send a menhir d’amour to his beloved Alfablà, and must free him with 7050 Chickens of Bronze, the currency of their village. Unfortunately, he only has stamps from 255 and 210 Bronzo Chickens. How many stamps will you have to use Borelix? In the answer, use the two left digits for the number of stamps 255 and the two right digits for the number of stamps 210 corresponding to the minimum sum solution.
Answer: 2602 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q10
Somma interi con diff quadrati = quadrato di primo
Peli nella minestra Il druido Parabolix per preparare una nuova pozione deve mescolare agli altri ingredienti un numero di grammi di barba di druido pari alla somma di tutti gli interi n compresi tra 2011 e 3011 per cui la differenza tra il quadrato del successivo di n e il quadrato di n è un quadrato perfetto di un numero primo. Quanti grammi di barba deve aggiungere?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7428 Fonte: apri PDF p.2
Integres with different squares = square of first
To prepare a new potion, the druid Parabolix must mix with the other ingredients a number of grams of druid beard equal to the sum of all n integers between 2011 and 3011 so that the difference between the square of the next n and the square of n is a perfect square of a prime number. How many grams of beard does he have to add?
Answer: 7428 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q11
Convertire 111111111 da base 9 a base 10
Una traduzione complessa Il druido Parabolix è uno dei pochi in grado di leggere il linguaggio degli antichi Galli. Un giorno, traducendo una loro pergamena, notò nel testo originale il numero 111111111 (composto da nove cifre); sapeva però che il loro sistema di numerazione era in base 9. Quando completò la traduzione, che numero scrisse? (Indicare le ultime 4 cifre)
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7561 Fonte: apri PDF p.2
Convert 111111111 from base 9 to base 10
A complex translation The Parabolix druid is one of the few able to read the language of the ancient Gauls. One day, while translating one of their scrolls, he noticed in the original text the number 111111111 (which consisted of nine digits); however, he knew that their numbering system was based on 9. When he completed the translation, what number did he write? (Include the last 4 digits)
Answer: 7561 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q12
quarto numero (decrescente)
Un rapimento con molteplici conseguenze Poco prima di esser rapito dai goti, Parabolix aveva riposto le pozioni ricevute dagli altri druidi in uno scrigno chiuso con un lucchetto, la cui combinazione è un numero tra 0000 e 9999. Il più astuto dei Goti rapitori, Euleric, ha scoperto che questo numero può essere ottenuto nel seguente modo: si scrivono su una riga 4 interi maggiori di 1, diversi tra loro. Nella riga successiva si scrivono i 3 prodotti delle coppie dei numeri precedenti (il primo con il secondo, il secondo con il terzo ed il terzo con il quarto). Nella riga successiva si ripete il procedimento, scrivendo due prodotti. Moltiplicando questi due, si ottiene il risultato. Scrivendo in ordine dal maggiore al minore tutti i numeri di questo tipo, il quarto è la combinazione giusta.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9072 Fonte: apri PDF p.2
*fourth number (decreasing) *
A rapture with multiple consequences Shortly before being kidnapped by the goats, Parabolix had stored potions received from the other druids in a locked box, the combination of which is a number between 0000 and 9999. Euleric, the most cunning of the Raptor Goths, discovered that this number can be obtained as follows: They are written on a line 4 integers greater than 1, different from each other. In the next row, the 3 products of the previous number pairs are written (the first with the second, the second with the third and the third with the fourth). In the next line, repeat the procedure, writing two products. Multiplying these two, you get the result. If you write in order from major to minor all the numbers of this kind, the fourth is the right combination.
Answer: 9072 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q13
Numero soluzioni intere di |x|+2|y|=4900
Banchetto sotto le stelle Un’altra avventura è finita e immancabilmente il villaggio si raduna per il tradizionale banchetto. Il numero di cinghiali sbafati dai nostri voraci amici gallici è pari al numero di soluzioni intere di |x|+2|y| = 4900. Quanti suini sono stati necessari?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9800 Fonte: apri PDF p.2
*Number of whole solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of solutions of the number of solutions of the number of solutions of the number of solutions of solutions of the number of solutions of the number of solutions of solutions of the number of solutions of the number of solutions of
Banquet under the stars Another adventure is over, and the village is bound to gather for the traditional banquet. The number of wild boars our greedy Gallic friends have slaughtered is equal to the number of whole solutions of the equation x x x x + 2 y = 4900. How many pigs were needed?
Answer: 9800 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q14
Area del quadrato di ricerca del villaggio
Una vana ricerca Giulio Cesare cerca il villaggio dei Galli e ha ristretto la sua area di ricerca ad un quadrato di 35 miglia di lato. I suoi soldati sono stati attaccati ogni volta nei punti medi dei lati del quadrato. Grazie all’informatore Ficcanasus, Giulio Cesare è riuscito a scoprire che i Galli non si allontanano mai per più di 35 miglia dal villaggio quando attaccano. Allora disegna sulla mappa l’area in cui può trovarsi il villaggio e ordina ai suoi soldati di cercare nel quadrato che ha come vertici i vertici della zona disegnata. Quanto vale in miglia quadre l’area del quadrato?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0829 Fonte: apri PDF p.2
Area of the village search square
A vain search by Julius Caesar searches the village of the Gauls and has narrowed his search area to a square of 35 miles on the side. His soldiers have been attacked every time in the midpoints of the sides of the square. Thanks to informant Ficcanasus, Julius Caesar was able to discover that the Gauls never moved more than 35 miles from the village when attacking. Then draw the area where the village can be found on the map and order his soldiers to look in the square that has as its vertices the vertices of the drawn area. How much is the area of the square in square miles?
Answer: 0829 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q15
Mattonelle triangolari per ricoprire piramide
A futura memoria L’architetto egiziano Numerotris ha costruito una piramide a base quadrata di volume 6912 cleopassi cubici. L’altezza della piramide è pari a metà dell’altezza dei triangoli che costituiscono le facce laterali della piramide. Le pareti laterali della piramide devono essere ricoperte di mattonelle triangolari, che hanno cateto maggiore lungo 2 cleopassi e che sono simili all’uno o all’altro dei due triangoli rettangoli in cui ciascuna faccia della piramide è divisa dal proprio apotema. Quante mattonelle dovrà portare Borelix, affinché Numerotris possa ricoprire le 4 facce laterali della piramide?
Cesenatico 2011 XII GARA NAZIONALE A SQUADRE Semifinale B – Soluzioni – 6 Maggio 2011 Nr. Problema
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1152 Fonte: apri PDF p.2
Other, of a kind used in the manufacture of bicycles and bicycles
In future memory Egyptian architect Numerotris built a square-base pyramid with a volume of 6912 cubic cleopasses. The height of the pyramid is half the height of the triangles that make up the side faces of the pyramid. The side walls of the pyramid must be covered with triangular bricks, which have a major diameter of 2 cleopasses and which are similar to one or the other of the two rectangular triangles in which each face of the pyramid is divided by its apotheosis. How many bricks does Borelix have to carry so Numerotris can cover the four side faces of the pyramid?
This year’s event is the 12th National Team A Semifinal B. The problem
Answer: 1152 src_cesenatico_2011_semifinale_b__Q16