Prime 4 cifre della radice positiva di x^2011-x-1
Peccati di gola Borelix è talmente goloso della pozione preparata da Parabolix che cerca in ogni modo di ottenerne un assaggino pur essendovi caduto dentro quando era bambino. Il druido si rivolge ad Borelix: “Ti darò un sorso della pozione solo se saprai trovare le prime 4 cifre significative dell’unica radice positiva di x2011 −x−1.” Cosa dovrà rispondere Borelix?
Topic: Algebra Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: 1000 Fonte: apri PDF p.1
First 4 digits of the positive root of x^2011-x-1
Borelix is so greedy with the potion made by Parabolix that he tries his best to get a taste of it even though he fell into it as a child. The druid turns to Borelix: I’ll give you a sip of the potion only if you can find the first 4 significant digits of the only positive root of x2011 −x−1. What will Borelix have to answer?
Answer: 1000 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q01
Galli colpiti in media (cerchi tangenti in ottagono)
Arcieri infallibili I Galli sono stati accerchiati! Gli arcieri romani si sono disposti ai vertici di un campo di battaglia a forma di ottagono regolare e le zone coperte dal raggio d’azione dei loro infallibili archi sono cerchi identici tra loro tangenti. Gli arcieri colpiscono sicuramente ogni nemico che entra nella zona coperta dai loro archi. Se 208 Galli si trovano tutti in punti casuali del campo di battaglia, quanti saranno colpiti in media?
Topic: Probabilita e statistica, Geometria piana Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0101 Fonte: apri PDF p.1
*Meanly affected galls (tangent circles in octagon) *
The Gauls have been besieged! The Roman archers set themselves at the top of a battlefield shaped like a regular octagon and the areas covered by the radius of action of their infallible arches are identical circles between their tangents. The archers are sure to strike any enemy entering the area covered by their arrows. If 208 Gauls are all in random spots on the battlefield, how many will be hit on average?
Answer: 0101 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q02
Numero il cui quadrato termina con le sue cifre
Un imperatore smemorato Giulio Cesare ha chiuso il forziere dove nasconde le sue strategie di guerra con un lucchetto la cui combinazione è un numero tra 0000 e 9999. L’imperatore sa che la combinazione che ha scelto è il prodotto dei numeri di due cifre il cui quadrato ha le cifre delle unità e delle decine uguali alle cifre rispettive del numero di partenza (che è compreso tra 10 e 99). Ma, come si sa, troppa gloria dà alla testa e Giulio Cesare si è dimenticato la combinazione. Ordina allora di chiamare Abacus, che appena arrivato gli apre il lucchetto. Che combinazione aveva scelto Giulio Cesare?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1900 Fonte: apri PDF p.1
Number whose square ends in its digits
An unremembered emperor Julius Caesar has closed the fortress where he hides his war strategies with a lock whose combination is a number between 0000 and 9999. The Emperor knows that the combination he has chosen is the product of the two-digit numbers whose square has the units and decimal digits equal to the respective digits of the starting number (which is between 10 and 99). But, as you know, too much glory is given to the head and Julius Caesar has forgotten the combination. Then he orders him to call Abacus, who as soon as he arrives opens the lock. What combination did Julius Caesar choose?
Answer: 1900 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q03
Somma primi 3 numeri primi troncabili a sinistra
Pozione prima Parabolix mentre sta preparando la pozione magica rivela ad Borelix che stavolta per sconfiggere i Romani ne basterà una quantità (in millilitri) uguale alla somma dei primi tre numeri numeri di quattro cifre con la proprietà che il numero formato dalla prima cifra è primo, quello formato dalle prime due cifre è primo, e così via (ad esempio 3797 essendo 3, 37, 379 e 3797 primi). Quanti millilitri di pozione prepara Parabolix?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7065 Fonte: apri PDF p.1
Total of the first 3 digits to the left
Potion first Parabolix while preparing the magic potion reveals to Borelix that this time to defeat the Romans will suffice a quantity (in milliliters) equal to the sum of the first three numeric numbers of four digits with the property that the number formed by the first digit is first, that formed by the first two digits is first, and so on (e.g. 3797 being 3, 37, 379 and 3797 prime). How many milliliters of potion does Parabolix prepare?
Answer: 7065 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q04
Probabilita di tornare al punto dopo 2011 salti
Il cerchio di Idealix Lasciato solo da Borelix, impegnato come al solito in un’incursione contro i romani, il cane Idealix decide di passare il tempo saltando sui punti di una circonferenza di lunghezza 6. Ad ogni salto ha probabilità 1/2 di muoversi in senso orario o antiorario e l’ampiezza del salto (misurata lungo la circonferenza) aumenta gradualmente: l’n–esimo salto ha ampiezza n+1. Qual è la probabilità che dopo 2011 salti torni al punto di partenza? Scrivere le prime quattro cifre dopo la virgola.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0000 Fonte: apri PDF p.1
Probability of returning to the point after 2011 jumps
Left alone by Borelix, engaged as usual in an incursion against the Romans, the dog Idealix decides to spend time jumping over points of a length of circumference 6. At each jump it has a 1/2 chance of moving clockwise or counterclockwise and the jump width (measured along the circumference) increases gradually: the first jump has a width of n+1. What are the chances that after 2011 jumps will return to the starting point? Write the first four digits after the comma.
Answer: 0000 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q05
Tempo minimo attraversando foresta circolare
Abelix e la pianta magica Parabolix deve preparare una nuova pozione magica e per farlo ha bisogno di una pianta che cresce oltre la foresta di Sternbrocaud. Manda dunque Abelix a raccogliere questa pianta. Abelix sa che la pianta si trova a 20km di distanza da lui, mentre a metà strada si trova il centro della foresta di Sternbrocaud, che ha la forma di un cerchio di raggio 5km. Abelix sa anche che all’interno della foresta procede alla velocità di 5km/h mentre al di fuori viaggia a 10km/h. Qual è il tempo minimo in minuti che Abelix impiega per raggiungere la pianta?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0135 Fonte: apri PDF p.1
Minimum time travelling through circular forest
Abelix and the magic plant Parabolix must prepare a new magic potion and to do so he needs a plant that grows beyond the forest of Sternbrocaud. So send Abelix to pick this plant. Abelix knows that the plant is 20km away from him, while halfway there is the centre of the Sternbrocaud forest, which is shaped like a circle with a radius of 5km. Abelix also knows that inside the forest it travels at 5km/h while outside it travels at 10km/h. What is the minimum time in minutes that Abelix takes to reach the plant?
Answer: 0135 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q06
Massimo donne ai lati corti dei tavoli (vincoli)
La festa di Abelix Alla festa di Abelix, alla quale partecipano tutti i Galli del villaggio, ci sono 64 invitati seduti in 8 tavoli rettangolari tutti uguali, in modo che in ognuno dei due lati corti ci sia una sola persona e che in ognuno di quelli lunghi ce ne siano tre. Lessicografix deve disporre i commensali con ordine: ogni bimbo deve essere vicino ad almeno un altro bimbo e, se siede accanto ad un adulto, deve esserci almeno un druido nello stesso tavolo; ogni druido deve sedere vicino ad un altro druido e ad un adulto; ogni adulto può avere accanto un altro adulto solo se nello stesso tavolo ci sono sia adulti uomini che donne; ogni donna deve avere accanto un bimbo e mai un’altra donna; ogni uomo, infine, se è di fianco ad un bimbo allora ha vicino anche una donna. Sapendo che i druidi presenti sono 14 e che ogni donna del villaggio ha due figli, qual è il massimo numero di donne sedute nei lati corti dei tavoli? (I druidi in particolare sono maschi adulti.) Gara a Squadre 2011 – Semifinale C – Testi dei problemi – 1/2
2/2 Gara a Squadre 2011 – Semifinale C – Testi dei problemi
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0013 Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of women on the short sides of tables (links)
The feast of Abelix At the feast of Abelix, in which all the Gauls of the village participate, there are 64 guests sitting at 8 rectangular tables all equal, so that on each of the two short sides there is only one person and on each of the long ones there are three. Lessicografix must arrange the diners in order: each child must be near at least one other child and, if sitting next to an adult, there must be at least one druid at the same table; each druid must sit next to another druid and an adult; each adult can have another adult next to him only if there are both adult men and women at the same table; each woman must have a child next to her and never another woman; each man, finally, if he is next to a child then has a woman next to him. Knowing that the druids present are 14 and that every woman in the village has two children, what is the maximum number of women sitting on the short sides of the tables? (Druids in particular are adult males.) Team competition 2011 Semifinal C Problem Tests 1/2
2/2 Team competition 2011 Semifinal C Problem tests
Answer: 0013 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q07
Area del poligono AFPD nella clessidra triangolare
Clessidra gallica Un oggetto particolarmente prezioso appartenente ai Galli è una curiosa clessidra, situata all’interno di un triangolo. Detto ABC tale triangolo, la clessidra in questione è stata costruita nel seguente modo: sono stati presi due punti D e E, rispettivamente su AC e BC, tali che DE fosse parallelo a AB, e due punti F e G su AB tali che DG fosse parallelo a BC, EF parallelo a AC, e DE = FG. Chiamando P l’intersezione tra DG e EF, e sapendo che AB = 91, che l’area del triangolo è 4173 e che l’angolo BCA misura 45°, sapreste calcolare l’area del poligono AFPD?
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1391 Fonte: apri PDF p.2
Area of the AFPD polygon in the triangular clexid
A particularly valuable object belonging to the Gauls is a curious clessandra, located within a triangle. This triangle, called ABC, was constructed as follows: two points D and E were taken, respectively on AC and BC, such that DE was parallel to AB, and two points F and G on AB such that DG was parallel to BC, EF parallel to AC, and DE = FG. Calling P the intersection between DG and EF, and knowing that AB = 91, that the area of the triangle is 4173 and that the BCA angle measures 45°, would you be able to calculate the area of the AFPD polygon?
Answer: 1391 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q08
viaggi rimanenti
Le tre torri Borelix deve superare una delle XII fatiche imposte da Giulio Cesare, a tal scopo trasporta una pila di 7 pesanti dischi di pietra da una pedana nel tempio di Giulio Cesare ad una identica in quello di Cleopatra. I dischi sono di 7 misure diverse, devono essere trasportati uno alla volta e possono essere posati solo sopra un disco più grande o su una pedana libera. In partenza i dischi sono impilati in ordine dal più grande (posato sulla pedana) al più piccolo (in cima). Borelix ha l’impressione che non ci sia
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0088 Fonte: apri PDF p.2
Other travel *
The three Borelix towers must overcome one of the twelve tasks imposed by Julius Caesar, for this purpose it transports a pile of 7 heavy stone discs from a pedana in the temple of Julius Caesar to an identical one in that of Cleopatra. The discs are of 7 different sizes, must be carried one at a time and can only be placed on a larger disc or on a free pedal. Initially, the discs are stacked in order from the largest (located on the pedal) to the smallest (top). Borelix has the impression that there is no
Answer: 0088 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q09
Quante volte la cifra 8 negli interi <2011
Un gioco da ragazzi Il piccolo Unosuix, uno dei più promettenti allievi di Parabolix, per passare il tempo si mette a scrivere tutti i numeri interi positivi minori di 2011. Quante volte userà la cifra 8?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0601 Fonte: apri PDF p.2
How many times the number 8 in the whole <2011
Little Unosuix, one of Parabolix’s most promising students, takes time to write down all the positive integers minus 2011. How many times will he use the number 8?
Answer: 0601 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q10
f(10)
Impostori svelati Parabolix ha il sospetto che, ancora una volta, alcuni Romani si siano travestiti da Galli e si siano intrufolati nel villaggio. Sapendo la superiorità dei Galli sui Romani in matematica (non per nulla è stato lui a insegnarla al villaggio), per individuarli prova a sottoporre a tutti il seguente quesito. Sia f una funzione tale che f(x) + f( 1 1−x) = x, x ̸= 0,1. Determinare f(10). Rispondere con la somma del numeratore e del denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1171 Fonte: apri PDF p.2
f(10)
Parabolix suspects that, once again, some Romans disguised themselves as Gauls and infiltrated the village. Knowing the superiority of the Gauls over the Romans in mathematics (not at all was he to teach it to the village), to identify them tried to submit to all the following question. If f is a function such that f(x) + f(1 1−x) = x, x =0.1. Determine the f ((10). Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 1171 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q11
valore a_2011
Numeroprimus e la noia mediano una tregua I Romani hanno deciso di fare i turni nell’attaccare il villaggio, in modo che ogni legionario si possa riprendere da lividi e bernoccoli. Tuttavia i lunghi giorni d’attesa vanno combattuti anch’essi. Il legionario Numeroprimus, ad esempio, si è dato alla matematica e sta scrivendo una successione di interi a1,a2,… tale che la media dei primi n numeri sia esattamente n, per ogni n. Quanto vale a2011?
Topic: successioni Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4021 Fonte: apri PDF p.2
This is the total value of the securities issued by the issuer.
Numeroprimus and the boredom mediating a truce The Romans decided to take turns in attacking the village, so that every legionary could recover from bruises and bruises. However, the long waiting days must also be fought. The legionnaire Numeroprimus, for example, has given himself to mathematics and is writing a sequence of integers a1, a2,… so that the mean of the first n numbers is exactly n, for each n. How much is 2011?
Answer: 4021 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q12
Probabilita arieti raggiungano le mura (catapulta)
L’assedio delle mura I Romani assediano il villaggio dei Galli e intendono costruire degli arieti per abbattere le mura. I Galli hanno una catapulta in grado di distruggere i loro arieti, ma che non li può colpire se sono più vicini di 30 passi o più lontani di 150 passi dalle mura. Inoltre un ariete percorre 40 passi al minuto, una catapulta lancia un colpo al minuto e colpisce l’ariete con una probabilità pari a 10 d dove d è la distanza (in passi) dell’ariete dalle mura. I Romani inviano gli arieti uno alla volta, vogliono avere più del 50% di probabilità di far arrivare almeno un ariete alle mura e costruiscono il numero minimo di arieti che lo permette. Quanto vale la probabilità in questo caso? Fornire come risposta le prime 4 cifre dopo la virgola.
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7346 Fonte: apri PDF p.2
*Probability of aryan reaching the walls (catapult) *
The Romans besieged the village of the Gauls and intended to build arrows to bring down the walls. The Welsh have a catapult that can destroy their fins, but it can’t hit them if they’re closer than 30 steps or more than 150 steps away from the walls. In addition, a kite travels 40 steps per minute, a catapult launches a stroke per minute and hits the kite with a probability of 10 d where d is the distance (in steps) of the kite from the walls. The Romans send the kite one at a time, they want more than a 50% chance of getting at least one kite to the walls and they build the minimum number of kite that allows it. What’s the probability in this case? Provide the first four digits after the comma as the answer.
Answer: 7346 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q13
Carri vuoti tra prima e ultima botte (carovana)
Un trasporto inebriante I romani cercano una botte di pozione magica dispersa in mezzo ad un’intera cantina di identiche botti di vino. Per portare le botti all’accampamento, dove il centurione le assaggerà una per una, viene organizzata una carovana circolare lunga 1196 passi, con la cantina e l’accampamento diametralmente opposti. Numerosi carri, tutti uguali, costituiscono la carovana a 26 passi di distanza uno dall’altro, andando con le botti e tornando vuoti. Per permettere al centurione di smaltire il vino, tra due carri che trasportano botti, un numero crescente di carri vengono lasciati vuoti: prima 1, poi 2, 3, 4, … Quando il primo carro partito arriva di nuovo vuoto alla cantina, il numero delle botti ancora da caricare è i 4/5 del totale. Quanti carri vuoti arrivano in tutto all’accampamento tra la prima e l’ultima botte? (I carri che non sono vuoti trasportano ciascuno lo stesso numero di botti.)
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0990 Fonte: apri PDF p.2
*Empty carriages between the first and last carriage (carriage) *
A drunken transport The Romans look for a bottle of magic potion scattered among an entire cellar of identical bottles of wine. To bring the sticks to the camp, where the centurion will taste them one by one, a circular caravan of 1,196 steps is arranged, with the cellar and the camp diametrically opposite. Numerous carriages, all identical, form the caravan at 26 steps away from each other, going with the barrels and returning empty. To allow the centurion to dispense the wine, between two wagons carrying barrels, an increasing number of wagons are left empty: first 1, then 2, 3, 4, … When the first carriage leaves empty again, the number of cans still to load is 4/5 of the total. How many empty wagons arrive at the camp between the first and last batch? (Non-empty wagons each carry the same number of barrels.)
Answer: 0990 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q14
Numero con resto 1 mod 2..10 e poi divisibile
Invincibili coorti Il centurione Gruppus Abelianus è stato incaricato di preparare una coorte di legionari per il prossimo attacco al villaggio dei Galli. Il suo compito è quello di disporre tutti i legionari in un rettangolo serrato, composto da file tutte uguali e di lunghezza minima possibile (ma maggiore di 1). Dopo alcune ore di lavoro senza ottenere risultati, Abelianus si reca da Giulio Cesare e si lamenta: “Sommo Giulio Cesare, ho provato a disporre i soldati in fila per 2, per 3, per 4, per 5 e così via fino a disporli in fila per 10, ma in tutti i casi avanzava sempre un legionario. Come posso fare?” Giulio Cesare risponde senza indugio: “Centurione Abelianus, il numero di legionari da disporre in ogni fila dovrà sicuramente essere maggiore di 10, e Giulio Cesare è sicuro — Giulio Cesare parla di se stesso sempre in terza persona — che è possibile disporre i legionari in modo che non ne avanzi alcuno.” Sapendo che i legionari in tutto sono più di 10000 ma meno di 11000, in quante file saranno disposti?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0593 Fonte: apri PDF p.2
Number with remainder 1 mod 2.10 and then divisible
Invincible Cohorts The centurion Gruppus Abelianus was commissioned to prepare a legionary cohort for the next attack on the village of the Gauls. Its task is to arrange all the legionaries in a tight rectangle, composed of rows all equal and of the minimum possible length (but greater than 1). After a few hours of unsuccessful work, Abelianus goes to Julius Caesar and complains: “We are Julius Caesar, I tried to arrange the soldiers in line for 2, for 3, for 4, for 5 and so on until I arranged them in line for 10, but in all cases a legionary always advanced. How can I do? Julius Caesar answers without delay:Centurion Abelianus, the number of legionaries to be deployed in each row must certainly be greater than 10, and Julius Caesar is sure Julius Caesar always speaks of himself in the third person that it is possible to deploy legionaries so that he does not add any. Knowing that the legionaries in total are more than 10000 but less than 11000, in how many rows will they be deployed?
Answer: 0593 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q15
Max punti senza quadrato in reticolo 4x4
Un’astuto schema d’attacco Giulio Cesare spiega al centurione Caius Tatticus come intende disporre le proprie truppe in un futuro scontro. Per far ciò mostra loro uno schema in cui ci sono 16 punti disposti in un reticolo quadrato 4×4. Si possono disegnare 20 quadrati aventi per vertici 4 di questi punti. Giulio Cesare vuole scegliere n punti in modo che nessun quadrato abbia tutti i suoi vertici tra di essi. Quanto può valere al massimo n?
Cesenatico 2011 XII GARA NAZIONALE A SQUADRE Semifinale C – Soluzioni – 6 Maggio 2011 Nr. Problema
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0010 Fonte: apri PDF p.2
Max square points in a 4x4 grid
An astute attack scheme by Julius Caesar explains to the centurion Caius Tatticus how he intends to dispose of his troops in a future confrontation. To do this, it shows them a pattern where there are 16 points arranged in a square grid 4×4. You can draw 20 squares having 4 vertices of these points. Julius Caesar wants to choose n points so that no square has all its vertices between them. What is the maximum value of n?
This year’s event is the 12th national semi-final. The problem
Answer: 0010 src_cesenatico_2011_semifinale_c__Q16