1/x=1/AB+1/AC
Sui lati di un triangolo ABC rettangolo in A vengono scelti tre punti D, E ed F (rispettivamente su BC, AC e AB) in modo che il quadrilatero AFDE sia un quadrato. Se x è la lunghezza di un suo lato, dimostrare che 1 x = 1 AB + 1 AC .
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
1/x=1/AB+1/AC
On the sides of a triangle ABC rectangle in A three points D, E and F (on BC, AC and AB respectively) are chosen so that the quadrilateral AFDE is a square. If x is the length of one of its sides, prove that 1 x = 1 AB + 1 AC.
Interi uguali a 300 volte la somma delle proprie cifre
Determinare tutti gli interi positivi che sono uguali a 300 volte la somma delle loro cifre.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2700 Fonte: apri PDF p.1
Interies equal to 300 times the sum of their digits
Determine all positive integers equal to 300 times the sum of their digits.
Answer: 2700 src_cesenatico_2012__Q02
determinare il tipo di ognuno
Sia n un intero maggiore o uguale a 2. Ci sono n persone in fila indiana, ognuna delle quali è o un furfante (e mente sempre) oppure un cavaliere (e dice sempre la verità). Ogni persona, eccetto la prima, indica una delle persone davanti a lei e dichiara “Questa persona è un furfante” oppure “Questa persona è un cavaliere”. Sapendo che ci sono strettamente più furfanti che cavalieri, dimostrare che assistendo alle dichiarazioni è possibile determinare per ognuna delle persone se si tratta di un furfante o di un cavaliere.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*to determine the type of each *
Whether n is an integer greater than or equal to 2. There are n people in the Indian queue, each of whom is either a con man (and always lies) or a knight (and always tells the truth). Each person, except the first, points to one of the people in front of her and declares This person is a con man or This person is a knight. Knowing that there are strictly more cunning than knights, prove that by watching the statements it is possible to determine for each of the people whether it is a cunning or a knight.
coppie {a,b} con xaxb quadrato perfetto*
Sia x1, x2, x3, … la successione definita per ricorrenza come segue: ( x1 = 4 xn+1 = x1x2x3 · · xn + 5 per n ≥1. (I primi termini della successione sono quindi x1 = 4, x2 = 4 + 5 = 9, x3 = 4 · 9 + 5 = 41, … ) Trovare tutte le coppie di interi positivi {a, b} tali che xaxb è un quadrato perfetto.
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: {1,2} Fonte: apri PDF p.2
pairs {a,b} with xaxb perfect square*
Whether x1, x2, x3, … the sequence defined by recurrence as follows: (x1 = 4 xn+1 = x1x2x3 · · xn + 5 for n ≥1. (The first terms of the sequence are then x1 = 4, x2 = 4 + 5 = 9, x3 = 4 · 9 + 5 = 41, … ) Find all the pairs of positive integers {a, b} such that xaxb is a perfect square.
Answer: {1,2} src_cesenatico_2012__Q04
luogo dei punti P con angAPB+angCPD=180
Sia ABCD un quadrato. Si descriva il luogo di punti P del piano diversi da A, B, C, D per i quali
APB +
CPD = 180o.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: diagonali e archi della circoscritta Fonte: apri PDF p.3
place of P points with angAPB+angCPD=180
Let ABCD be a square. Describe the location of P points of the plane other than A, B, C, D for which \ APB + \ CPD = 180o.
Answer: diagonali e archi della circoscritta src_cesenatico_2012__Q05
colorazione interi forza differenza a o b
Determinare tutte le coppie {a, b} di interi positivi con la seguente proprietà: comunque si colorino gli interi positivi con due colori A e B, esistono sempre due interi positivi del colore A con differenza a o due interi positivi del colore B con differenza b.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: parita, congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: coppie con max potenza di 2 diversa Fonte: apri PDF p.3
*full colour strength difference a or b *
Determine all pairs {a, b} of positive integers with the following property: however you color the positive integers with two colors A and B, there are always two positive integers of color A with difference a or two positive integers of color B with difference b.
Answer: coppie con max potenza di 2 diversa src_cesenatico_2012__Q06