Somma 10 aree di intersezioni triangoli (p+q)
Un tranquillo pomeriggio di maggio Radice è ormai annoiata di stare all’aria aperta senza far nulla, osservando sua sorella più grande Maggioret leggere un libro scritto fitto fitto. “A cosa serve un libro senza figure né dialoghi?”, pensa. Per distrarsi, si immagina una graziosa figura con due rette parallele a e b, distanti tra loro 1. Su a prende 11 punti distinti A−5,A−4,…,A4,A5, su b invece i punti distinti B−5,B−4,…,B4,B5, in modo che AiAi+1 = BiBi+1 = 1 per i = −5,…,4, e che AiBi = 1 per i = −5,…,5. Considera poi, per ogni i = −5,…,4, l’intersezione dei triangoli AiAi+1B0 e BiBi+1A0. Quanto vale la somma delle aree di queste 10 figure? Detta p/q la soluzione, espressa come frazione ridotta ai minimi termini, si risponda indicando p+q.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1193 Fonte: apri PDF p.19
*Total 10 areas of triangular intersections (p+q) *
On a quiet May afternoon, Root is now tired of being outdoors doing nothing, watching her older sister Maggioret read a thick, thick book. What’s the use of a book without figures or dialogues?, he thinks. To distract yourself, imagine a handsome figure with two parallel lines a and b, 1 apart. On a it takes 11 distinct points A−5,A−4,…,A4,A5, on b instead the distinct points B−5,B−4,…,B4,B5, so that AiAi+1 = BiBi+1 = 1 for i = −5,…,4, and AiBi = 1 for i = −5,…,5. Consider then, for each i = −5,…,4, the intersection of the triangles AiAi+1B0 and BiBi+1A0. How much is the sum of the areas of these 10 figures? This p/q solution, expressed as a fraction reduced to minimum terms, is answered by p+q.
Answer: 1193 src_cesenatico_2013_finale__Q01
Raggio cerchio nella serratura (area = rperim/2)*
La minuscola serratura D’un tratto Radice vede un Banachoniglio infilarsi in un angusto, ma normato, spazio di Banachonigli e incuriosita decide di seguirlo. Appena entrata, è completamente coinvolta in una lunga caduta che la conduce in uno stanzino con una piccolissima porta chiusa a chiave. Ha varcato la soglia del Campo delle Mateviglie. La serratura della porta che Radice vorrebbe aprire è l’unione di un triangolo equilatero di vertici ABC con un cerchio passante per A, simmetrico rispetto alla bisettrice uscente da A, e che non interseca BC. Radice è confusa da questa strana figura e il Banachoniglio le spiega che per entrare deve conoscere il valore del raggio del cerchio. Le dice inoltre che DE = 7453 (D è l’intersezione tra la circonferenza ed il lato AC, E è l’intersezione tra il lato BC e la tangente alla circonferenza in D). Radice è ancora perplessa, pertanto il Banachoniglio le dà un ultimo, importante suggerimento: l’area della serratura è uguale alla metà del prodotto tra il raggio del cerchio e il perimetro della serratura. Quale risposta dovrà dare Radice?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 7453 Fonte: apri PDF p.19
Lay circle in the lock (area = rperim/2) *
The tiny lock on the Root trail sees a Banachoniglio sneak into a narrow, but normative, spacey Banachoniglio and curious decide to follow him. As soon as she enters, she is completely involved in a long fall that leads her into a locked room with a tiny door locked. He’s crossed the threshold of the Matteviglie Field. The lock on the door that Root would like to open is the union of an equilateral triangle of vertices ABC with a circle passing through A, symmetrical with respect to the beam coming out of A, and not intersecting BC. Root is confused by this strange figure and the Banachoniglio explains to her that to enter she must know the value of the radius of the circle. It also tells you that DE = 7453 (D is the intersection between the circumference and the AC side, E is the intersection between the BC side and the tangent to the circumference in D). Root is still puzzled, so the Banachoniglio gives her one last, important suggestion: the area of the lock is equal to half the product between the radius of the circle and the perimeter of the lock. What answer will Root have to give?
Answer: 7453 src_cesenatico_2013_finale__Q02
Morsi al pasticcino per altezza 1/3 (potenze)
Drink me, Eat me Radice trova nello stanzino una piccola ampolla con scritto BEVIMI, contenente un liquido che fa rimpicciolire di un fattore 243 512 chi ne beve un sorso. Lì vicino si trova anche un pasticcino con scritto MANGIAMI, un morso del quale fa ingrandire le persone di un fattore 128 81 . Radice vuole diventare alta esattamente un terzo rispetto a com’è ora, in modo da riuscire a passare per la piccola porta che ha intravisto. Dal momento che Radice è una persona quadrata, anche se talvolta irrazionale, si mette a riflettere sul da farsi. Quanti morsi dovrà dare al pasticcino?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0009 Fonte: apri PDF p.19
*Height of 1/3 (power) *
Drink me, Eat me Root finds in the living room a small bottle with the words BEVIMI, containing a liquid that causes a drinker to shrink by a factor of 243,512. Nearby is also a cake with the inscription MANGIAMI, a bite of which makes people enlarge by a factor of 128 81 . Root wants to get exactly a third taller than she is now, so she can get through the little door she’s seen. Since Root is a square person, although sometimes irrational, he begins to think about what to do. How many bites will you have to give the pie?
Answer: 0009 src_cesenatico_2013_finale__Q03
Somma terne eta <=25 non coprime a due a due
Topo bagnato, topo sfortunato! Purtroppo Radice ha combinato un disastro: prima si è ingrandita troppo e le è venuto da piangere, poi è diventata minuscola perdendo ampolla e pasticcino. Nuotando nel lago formato dalle sue stesse lacrime, incontra un Topo Logico. Per iniziare una conversazione, Radice comincia a raccontargli della sua adorabile micetta Diny. Non l’avesse mai fatto! Infatti i tre fratelli del Topo Logico morirono uccisi da un gatto. Il Topo Logico è talmente sconvolto che riesce a ricordarsi solo che quando morirono non avevano più di 25 anni e che le loro età, prese a due a due, non erano coprime, ma considerate tutte e tre insieme lo erano. Radice, allora, per farsi perdonare, scrive tutte le possibili terne di età (non ordinate) su un foglio. Qual è la somma di tutti i numeri scritti da Radice? Due numeri interi si dicono coprimi se non hanno divisori comuni maggiori di 1
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0560 Fonte: apri PDF p.19
Term sum <=25 not covered by two to two
Wet top, you unlucky mouse! Sadly, Root’s disaster came to a head: First she grew too big and started crying, then she became tiny, losing her ampoule and her pill. Swimming in the lake formed by his own tears, he encounters a Logical Top. To start a conversation, Root starts telling him about his adorable little Diny. He’d never done that! In fact, the three brothers of the Logical Top were killed by a cat. The Logical Top is so upset that he can only remember that when they died they were not more than 25 years old and that their ages, taken from two to two, were not covered, but considered all three together were. Root, then, to ask forgiveness, writes all the possible (unordered) age trunks on a sheet. What is the sum of all the numbers written by Root? Two integers are called covers if they have no common divisors greater than 1.
Answer: 0560 src_cesenatico_2013_finale__Q04
Secondi per incontro su circonferenza (maratonda)
La maratonda Finalmente Radice riesce a uscire dal lago di lacrime, ma è tutta zuppa. Capitan Liebezout, affinché possa asciugarsi, organizza una maratonda: corre su una circonferenza a velocità costante facendo un giro ogni 12 minuti. Radice vuole raggiungerlo e corre a velocità costante sul perimetro di un pentagono regolare ABCDE inscritto nella circonferenza facendo un giro ogni 11 minuti. All’inizio Radice parte da A e corre verso B sul pentagono, mentre Capitan Liebezout parte dal punto L situato sull’arco minore AB tale che ˆ LBA = 12°e corre in direzione di A sulla circonferenza. Dopo quanti secondi si incontrano?
Topic: Geometria piana Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Geometria Risposta: 1056 Fonte: apri PDF p.19
*Seconds for meeting on circumference (marathon) *
Marathon runner Finally Root can get out of the lake of tears, but it’s all soup. Captain Liebezout organizes a marathon so that he can dry himself up. He runs around a circle at a constant speed, making one lap every 12 minutes. Root wants to reach it and runs at a constant speed around the perimeter of a regular ABCDE pentagon inscribed in the circumference making a turn every 11 minutes. At the beginning Root starts from A and runs towards B on the pentagon, while Captain Liebezout starts from point L on the minor arc AB such that ˆ LBA = 12° and runs towards A on the circumference. After how many seconds do they meet?
Answer: 1056 src_cesenatico_2013_finale__Q05
Volume regione piu vicina al ventaglio bianco (cubo)
La casa del Banachoniglio Il Banachoniglio ha fretta: deve essere quanto prima dalla Duchessiana. Tuttavia ha dimenticato il suo ventaglio bianco da cerimonia a casa e pertanto ordina a Radice di recuperarlo. La sua abitazione è un cubo e il ventaglio bianco ne è perfettamente al centro, ma in casa sono presenti anche altri ventagli. Se si divide la casa negli 8 cubi uguali che hanno lato metà di quello della casa e un vertice nel ventaglio bianco, ci sono 26 ventagli verdi, uno su ognuno degli altri vertici degli 8 cubi, e 36 ventagli rossi, uno al centro di ogni loro faccia. Radice, vicino al ventaglio bianco, trova una boccettina con scritto EXP e, spinta dalla curiosità, ne beve il contenuto cominciando a crescere a dismisura. Si espande a tal punto che occupa tutti e soli i punti della casa che hanno come ventaglio più vicino quello bianco. Sapendo che il ventaglio più vicino a quello bianco dista 1m da esso, quanti decimetri cubi di spazio occupa il corpo di Radice? Gara a Squadre 2013 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 1/4
2/4 Gara a Squadre 2013 – Finale Nazionale – Testi dei problemi
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0707 Fonte: apri PDF p.19
*Volume region closest to the white fan (cube) *
The Banachoniglio’s house is in a hurry. It must be from the Duchess as soon as possible. However, he forgot his ceremonial white fan at home and therefore orders Root to retrieve it. His home is a cube and the white fan is perfectly centered, but there are other fans in the house as well. If you divide the house into 8 equal cubes that have half the side of the house and a vertex in the white fan, there are 26 green fans, one on each of the other eight cubes’ vertices, and 36 red fans, one in the center of each of their faces. Root, next to the white fan, finds a bucket with EXP written on it and, driven by curiosity, drinks the contents and begins to grow out of proportion. It expands to such an extent that it occupies all but the points of the house that have as their nearest fan the white one. Knowing that the fan closest to the white one is a foot away, how many cubic feet of space does Root’s body occupy? Team competition 2013 National final Problems tests 1/4
2/4 Team competition 2013 National final Problem texts
Answer: 0707 src_cesenatico_2013_finale__Q06
Altezza piano dei 3 punti alti (4 sfere tangenti)
Brucaritmo in trono Per poter capire meglio dove è finita, Radice si reca dal saggio Brucaritmo. Il rotondeggiante fungo del Brucaritmo è composto da quattro sfere, tutte tangenti tra di loro. Una sfera appoggiata a terra, con il raggio lungo 2000 palmipedoni, ne costituisce il gambo; tre più grosse, con raggio 3000 palmipedoni, sono appoggiate su di esso in modo che i loro tre punti più distanti dal suolo formino un piano parallelo al terreno. Quanti palmipedoni dista questo piano da terra?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 8605 Fonte: apri PDF p.20
*Flat height of the 3 high points (4 tangent spheres) *
To better understand where it has ended, Root relies on the sage Brucarythmus. The rounded fungus of the Brucaritmus is made up of four spheres, all tangent to each other. A sphere resting on the ground, with a radius of 2000 palmipedons, forms its base; three larger spheres, with a radius of 3000 palmipedons, are resting on it so that their three most distant points from the ground form a plane parallel to the ground. How many palms is this floor from the ground?
Answer: 8605 src_cesenatico_2013_finale__Q07
Quanti numeri concatenati multipli di 11
Una domanda fumosa Una parte del fungo del Brucaritmo ha il potere di ingrandire la gente, l’altra di farla rimpicciolire. Radice vorrebbe prendere qualche pezzo dal fungo, ma può farlo solo risolvendo l’indovinello che il Brucaritmo le propone: ”In tutta la mia lunga vita ho creato moltissimi anelli di fumo con la mia pipa e ne ho sempre tenuto il conto. Ti posso dire che il loro numero è un multiplo di 11 e che (in base 10) è formato da tanti numeri di 2 cifre consecutivi affiancati, a partire dal 10 (come per esempio 10, 1011, 101112, 10111213, …). Sapendo solo queste informazioni, quanti sono i possibili numeri di anelli di fumo che posso aver fatto?”
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.20
Multiple concatenated numbers of 11
One part of the Brucarythmus fungus has the power to enlarge people, the other to shrink them. Root would like to take a piece of the mushroom, but he can only do so by solving the riddle that Brucaritmus proposes: I can tell you that their number is a multiple of 11 and that (based on 10) is made up of many consecutive 2-digit numbers next to each other, starting with 10 (such as 10, 1011, 101112, 10111213, …). Knowing just this information, how many possible smoke rings could I have made?
Answer: 0016 src_cesenatico_2013_finale__Q08
Prodotto abcd (radicali annidati)
Serpente, serpente! Radice calibra male la dose di fungo da mangiare e cresce sempre e sempre più. Questo fa uscire Pigeon dal suo cassetto, dove ha il nido, mettendolo in allarme: teme infatti che Radice sia venuta a mangiare le sue uova. Così si lamenta Pigeon: “Siano a,b,c,d quattro numeri reali tali che a = p 44+√71+a,b = p 44+ √ 71−b,c = p 44−√71+c,d = p 44− √ 71−d: le mie uova verranno mangiate tra un numero di minuti pari al prodotto abcd. Non ti dirò mai il valore di questo numero, viscido serpente!”. Quanto vale questo prodotto?
Topic: Algebra Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1865 Fonte: apri PDF p.20
*ABCD product (nested radicals) *
Snake, snake! Roots miscalibrate the amount of mushroom to eat and grow more and more. This brings Pigeon out of his drawer, where he has his nest, alerting him, for he fears that Root has come to eat his eggs. So Pigeon complains: They are a,b,c,d four real numbers such that a = p 44+√71+a,b = p 44+ √ 71−b,c = p 44−√71+c,d = p 44− √ 71−d: my eggs will be eaten within a number of minutes equal to the product abcd. I’ll never tell you the value of this number, you snake! How much is this product worth?
Answer: 1865 src_cesenatico_2013_finale__Q09
Ampiezze diverse di un angolo del triangolo (rettangoli)
Invito a corte Tornata delle giuste dimensioni, Radice scorge il pesce valletto della Q di cuori consegnare un prestigioso biglietto alla rana valletto della Duchessiana. Un invito a corte per giocare una partita di croquet non è un privilegio che si riceve tutti i giorni! Persino i biglietti d’invito sono finemente decorati. Sul retro presentano un particolare disegno formato da un triangolo sui cui lati sono costruiti tre rettangoli esternamente ai lati. Inoltre, questi rettangoli sono fatti in modo tale che fra ogni coppia di rettangoli si possa incastrare esattamente un poligono regolare, con un vertice coincidente con uno di quelli del triangolo e due lati coincidenti con quelli dei rettangoli uscenti da esso che non siano anche lati del triangolo. Quante sono le ampiezze diverse che può assumere un angolo del triangolo?
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0014 Fonte: apri PDF p.20
*Different angles of a triangle (rectangles) *
Invited to court Tornado of the Right Dimensions, Root sees the valley fish of the Q of hearts deliver a prestigious ticket to the valley frog of the Duchessiana. An invitation to court to play a game of croquet is not a privilege you get every day! Even the invitation cards are finely decorated. On the rear they have a particular design made of a triangle on whose sides are built three rectangles externally to the sides. In addition, these rectangles are made in such a way that between each pair of rectangles one can insert exactly one regular polygon, with a vertex coinciding with one of the triangles and two sides coinciding with those of the rectangles emanating from it that are also not sides of the triangle. How many different angles can a triangle take?
Answer: 0014 src_cesenatico_2013_finale__Q10
Prodotto numeri della ninna nanna (sistema)
Chi dorme pancetta Radice entra nella casa della Duchessiana, che sta cullando un brutto bambino in lacrime cantandogli questa insolita ninna nanna. “Due numeri, un giorno, scrissi su un taccuino, se al più grande togli cento, ed uno aggiungi al più piccino, di uno appena aumenterà il loro prodotto. Ma se seicentonovantacinque volte la somma loro prendi, ragazzotto, ottieni la differenza dei quadrati di quei numeri là. Ora, mi sai dire il loro prodotto quanto fa?” Sentendo questo, il bambino comincia a strillare e a grugnire, fino a trasformarsi in un porcellino. Quale numero si nasconde dietro la ninna nanna della Duchessiana?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4206 Fonte: apri PDF p.20
*Nine number product (system) *
Root bed bugger enters the Duchess’ house, who is cuddling an ugly baby in tears, singing him this unusual nanna nanna. Two numbers, one day, I wrote on a booklet, if you take the biggest one out of a hundred, and you add one to the smallest one, one will just increase their output. But if you take the sum of them by seventy-nine-five times, kid, you get the difference in the squares of those numbers over there. Now, can you tell me how long their product is? Hearing this, the baby starts screaming and groaning, until he turns into a piglet. What number is hidden behind the Duchess’s nanny’s nest?
Answer: 4206 src_cesenatico_2013_finale__Q11
Anno con stesse cifre nella fattorizzazione di 2013
Jet lag mateviglioso Per presentarsi puntuali per la partita di croquet, la Duchessiana ricorda a Radice che occorre tenere presente che nel Campo delle Mateviglie è in uso un calendario differente da quello che usiamo comunemente. In particolare gli anni vengono contati in modo diverso. Quest’anno, nel 2013, succede una cosa buffa: nelle fattorizzazioni in primi delle due date, la nostra e quella del Campo delle Mateviglie, compaiono esattamente le stesse cifre (come ad esempio in 137 e 91 = 13·7). Inoltre, l’anno secondo il calendario del Campo delle Mateviglie è il più piccolo numero per cui valga questa proprietà con 2013. Che anno è nel Campo delle Mateviglie?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1793 Fonte: apri PDF p.20
Year with the same figures in 2013 factoring
In order to be punctual for the croquet match, Duchessiana reminds Root that it is necessary to keep in mind that a different calendar is in use from the one we commonly use in the Matteviglie field. In particular, years are counted differently. This year, in 2013, a funny thing happened: in the factorizations at the beginning of the two dates, ours and that of the Matteviglie Field, the figures are exactly the same (for example in 137 and 91 = 13·7). In addition, the year according to the calendar of the Campo delle Mateviglie is the smallest number for which this property is worth with 2013. What year is it in Matteviglie Camp?
Answer: 1793 src_cesenatico_2013_finale__Q12
Probabilita Stregauss mandi dalla Lepre (5 dadi, p+q)
Un bivio matto Lasciata la Duchessiana, Radice si trova ora di fronte a un bivio, quando appare il misterioso e affascinante Stregauss. “Ti prego, vorresti dirmi che strada devo prendere?” “Dipende molto dal luogo dove vuoi andare”, risponde lo Stregauss. “Poco m’importa dove” dice Radice. “Allora importa poco anche che strada prendi. Facciamo così: ho qui cinque dadi a cinque facce; ora li tiro e se tra i numeri usciti c’è almeno un 1, oppure almeno due 2, oppure almeno tre 3, oppure almeno quattro 4, oppure cinque 5 ti manderò a sinistra dalla Lepre Diofantina, altrimenti a destra dal K -ellaio Matto”. Qual è la probabilità che lo Stregauss mandi Radice dalla Lepre? Detta p/q la soluzione, espressa come frazione ridotta ai minimi termini, si risponda indicando p+q.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1143 Fonte: apri PDF p.20
Probability of Stregauss sending from the Leper (5 dice, p+q)
A crazy bivouac Left by the Duchess, Root is now facing a bivouac, when mysterious and charming Stregauss appears. “Please tell me which way to go”. “It depends on where you want to go”. I don’t care where Root says. Then it doesn’t matter which way you go. Let’s do it this way: I have five five-sided dice here; now I draw them and if there’s at least one 1, or at least two 2, or at least three 3, or at least four 4, or five 5, I’ll send you to the left of the Diophantine Hare, or else to the right of the K -ellaio Matto. What are the odds of Stregauss sending Root from the hare? This p/q solution, expressed as a fraction reduced to minimum terms, is answered by p+q.
Answer: 1143 src_cesenatico_2013_finale__Q13
Modi di sedersi a tavola (vincoli capotavola)
L’ora del tè Radice raggiunge il K -ellaio Matto, la Lepre Diofantina, il Ghiρ e il Banachoniglio, che le chiedono di unirsi per la cerimonia del tè. La tavola su cui è servito il tè è rettangolare e ha 20 sedie su ogni lato lungo e una sedia a capotavola (da entrambi i lati). Il K -ellaio Matto vuole necessariamente sedersi a capotavola. Gli altri quattro vogliono stare tutti seduti vicini tra loro, cioè senza sedie vuote in mezzo (ma non necessariamente vicini al K -ellaio) e tutti dalla stessa parte del tavolo. Né Radice né il K -ellaio vogliono però sedere accanto al Ghiρ. In quanti modi diversi possono sedersi?
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0800 Fonte: apri PDF p.20
*Sit at the table (head restraints) *
At tea time Root reaches the K -ellaio Matto, the Lepre Diofantina, the Ghiρ and the Banachoniglio, who ask her to join them for the tea ceremony. The table on which the tea is served is rectangular and has 20 chairs on each long side and a tabletop chair (on both sides). The K-black fool necessarily wants to sit at the top of the table. The other four want to be all sitting next to each other, that is, without empty chairs in the middle (but not necessarily near the K -ellaio) and all on the same side of the table. But neither Root nor K-Ello wants to sit next to Ghiρ. How many different ways can they sit?
Answer: 0800 src_cesenatico_2013_finale__Q14
Giorni in un anno (feste di non-compleanno)
Un buon non-compleanno a te! Durante il tè, Radice è messa a conoscenza di una strana usanza: nel Campo delle Mateviglie si usa festeggiare i propri non-compleanni: qualsiasi giorno diverso dal proprio compleanno è un non-compleanno. Ogni giorno vengono organizzate varie feste di non-compleanno. A ciascuna festa partecipano esattamente 140 festeggiati (ovvero persone che quel giorno festeggiano un non-compleanno) e 6 invitati (ovvero persone che quel giorno non festeggiano un non-compleanno). Ogni abitante del Campo delle Mateviglie, il giorno del proprio compleanno, partecipa (come invitato) ad esattamente 33 feste; in tutti gli altri giorni, invece, partecipa (come festeggiato) ad esattamente una festa. Nel Campo delle Mateviglie gli anni durano tutti lo stesso numero di giorni, che però è diverso da 365. Sapendo che gli abitanti del Campo delle Mateviglie sono in numero finito, quanti giorni ci sono in un anno?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0771 Fonte: apri PDF p.20
*Days in a year (holidays other than birthdays) *
A good non-complete to you! During the tea, Root is made aware of a strange custom: in the Field of Mateviglie it is used to celebrate their non-birthdays: any day other than their birthday is a non-birthday. There are various non-birthday parties every day. Each party is attended by exactly 140 celebrants (i.e. people who celebrate a non-birthday on that day) and 6 guests (i.e. people who do not celebrate a non-birthday on that day). Each inhabitant of the Campo delle Mateviglie, on the day of his or her birthday, participates (as invited) in exactly 33 parties; on all other days, instead, participates (as celebrated) in exactly one party. In the Matteviglie field, the years all last the same number of days, but it is different from 365. Knowing that the inhabitants of the Matteviglie Camp are in limited numbers, how many days are there in a year?
Answer: 0771 src_cesenatico_2013_finale__Q15
Ora quando somma Ghiro supera 2012/2013
Alta orologeria Dopo una robusta dose di burro e una generosa spruzzata di tè, l’orologio del K -ellaio ha finalmente ripreso a funzionare. Ora segna mezzanotte e un minuto. Per verificare la sua precisione viene effettuato il seguente test. Ogni volta che scocca un’ora esatta (l’ora è un numero intero compreso tra 1 e 24), la Lepre Diofantina prende il numero dell’ora, lo moltiplica per il suo successivo e dice ad alta voce il risultato. Il K -ellaio Matto, a quel punto, dice ad alta voce il numero ottenuto aggiungendo 1 al triplo del numero detto dalla Lepre. Il Ghiρ, quindi, dice
Gara a Squadre 2013 – Finale Nazionale – Testi dei problemi 3/4 sonnecchiando il numero che si ottiene dividendo il numero detto dal K -ellaio per il cubo del numero detto dalla Lepre. Infine, Radice è incaricata di calcolare la somma di tutti i numeri detti fino a quel momento dal Ghiρ. Quale ora indicherà l’orologio del K -ellaio quando tale somma diventerà, per la prima volta, più grande di 2012 2013? (Si considerino istantanei i calcoli fatti e le parole dette dai personaggi)
Topic: successioni Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0012 Fonte: apri PDF p.20
Now when the sum Ghiro exceeds 2012/2013
After a robust dose of butter and a generous teaspoon, the K-oil clock finally started working again. Now mark midnight and a minute. The following test shall be carried out to verify its accuracy. Whenever she shoots an exact hour (the hour is an integer number between 1 and 24), the Diophantine Hare takes the number of the hour, multiplies it by its next and tells the result out loud. The K-ellaio Matto, at that point, says out loud the number obtained by adding 1 to the triple of the number spoken by the hare. The Ghiρ, therefore, says
Team competition 2013 National Finals Problem texts 3/4 sleeping the number you get by dividing the number said by K -ellaio by the cube of the number said by the Hare. Finally, Root is tasked with calculating the sum of all the numbers given up to that point by Ghiρ. What time will the K-lock indicate when this sum will be greater than 2012-2013 for the first time? (Let the calculations made and the words spoken by the characters be considered instantaneous)
Answer: 0012 src_cesenatico_2013_finale__Q16
Fiorini persi per ogni rosa (icosaedro+raso)
C’è crisi anche nel Campo delle Mateviglie Il Due, il Cinque e il Sette di Picche, soldati della Q di cuori, hanno deciso di far fruttare l’esperienza accumulata aprendo una fabbrica di rose rosse finte. Fanno così: l’anima del fiore è costituita da un icosaedro regolare di polistirolo, con spigoli della lunghezza di un centimetro; attorno vi è un denso strato di raso che occupa tutto lo spazio disponibile fino a una distanza di 2 centimetri dall’icosaedro. Come ultimo passaggio l’esterno della rosa viene pitturato di rosso. Riescono a reperire gratuitamente il polistirolo e il raso, mentre la vernice rossa costa loro mille Fiorini per ogni centimetro quadrato di superficie da colorare. Il prezzo di vendita, invece, è fissato a mille Fiorini per ogni centimetro cubo di raso (il polistirolo e la vernice non vengono considerati). Con orrore, si accorgono che le spese sono superiori al ricavato della vendita. E nel Campo delle Mateviglie la pena per debiti non pagati è la decapitazione! Quanti Fiorini perdono per ogni rosa?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 8094 Fonte: apri PDF p.20
*Flowers lost for each rose (icosahedron+race) *
There is also a crisis in the Matteviglie Camp The Two, the Five and the Seven Peaks, soldiers of the hearted Q, have decided to make their experience work by opening a factory of fake red roses. They do this: the flower’s soul consists of a regular polystyrene icosahedron with a length of one centimeter; around it is a dense layer of shell that occupies all available space up to a distance of 2 centimeters from the icosahedron. As a last step, the outside of the rose is painted red. They can get free polystyrene and razor, while red paint costs them a thousand florins for every square inch of surface to color. The selling price, on the other hand, is set at one thousand Fiorini for each cubic centimetre of razor (polystyrene and paint are not taken into account). They realize, horribly, that the expenses are greater than the proceeds of the sale. And in the Matteviglie Field, the penalty for unpaid debts is beheaded! How many flowers do they lose for each rose?
Answer: 8094 src_cesenatico_2013_finale__Q17
Giorni dalla fondazione (incontri periodici, 487 aperture)
Un circolo esclusivo Radice raggiunge la Q di cuori per cominciare la partita di croquet. L’elitario circolo di croquet Come quando fuori piove vanta solamente quattro iscritti: il K, la Q e il F di cuori più il Banachoniglio. Il giorno in cui fu fondato erano presenti tutti e quattro, poi il K è venuto ogni 42 giorni, la Q ogni 35, il F ogni 45 e il Banachoniglio ogni 28. Il circolo è rimasto aperto solo nei giorni in cui c’era almeno uno degli iscritti. La Q di cuori spiega a Radice che oggi sarebbe stato il 487o giorno di apertura, ma in suo onore si sono eccezionalmente presentati tutti gli iscritti. Quanti giorni sono passati dalla fondazione del Come quando fuori piove?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5670 Fonte: apri PDF p.20
*Days since its foundation (periodic meetings, 487 openings) *
An exclusive Root circle reaches the Q of hearts to start the game of croquet. The elitary croquet circle like when it rains has only four members: the K, the Q and the F of hearts plus the Banachoniglio. On the day it was founded, all four were present, then the K came every 42 days, the Q every 35, the F every 45 and the Banachoniglio every 28. The club was only open on days when at least one member was needed. The Q of hearts explains to Radice that today would have been the 487th opening day, but in his honour all the members showed up exceptionally. How many days have passed since the founding of the Como when it rains?
Answer: 5670 src_cesenatico_2013_finale__Q18
Min decapitazioni d(2013) con d polinomio intero
Un macabro testa a testa Le carte della Q di cuori sono molto preoccupate: non passa giorno che non si oda il grido ”Tagliategli la testa!”. Tengono anche un resoconto di quante esecuzioni capitali ci sono ogni giorno. Ultimamente hanno registrato questi dati: d(2002) = 11 d(2006) = 7 d(2008) = 5 d(2009) = 4 d(2011) = 2 dove d(t) = h è la funzione decapitazione e indica che sono state tagliate h teste nel giorno t del resoconto (un numero negativo indica persone graziate). Ultimamente le carte si sono rese conto che per uno schiribizzo della Q di cuori, d è un polinomio a coefficienti interi. Oggi è il giorno 2013 del resoconto e Q è molto nervosa per la partita di croquet, per cui il numero sarà inevitabilmente un intero positivo. Quante teste rotoleranno oggi come minimo?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3080 Fonte: apri PDF p.20
*Min decapitations d(2013) with d polynomial *
A macabre head-to-head The Q cards of hearts are very worried: not a day goes by that you don’t hear the scream Cut off his head! They also keep a record of how many capital executions there are every day. Recently they recorded this data: d(2002) = 11 d(2006) = 7 d(2008) = 5 d(2009) = 4 d(2011) = 2 where d(t) = h is the decapitation function and indicates that h heads were cut off on the day t of the report (a negative number indicates people pardoned). Recently, papers have realized that for a Q-shaped heart, d is a polynomial with integer coefficients. Today is the 2013 report day and Q is very nervous about the croquet game, so the number will inevitably be a positive integer. How many heads will roll at least today?
Answer: 3080 src_cesenatico_2013_finale__Q19
Somma 2^a 3^b con a+b in 0..9 (ultime 4 cifre)
La febbre del sarago sera Radice a lungo andare si annoia della partita di croquet: le palline/riccio si muovono di propria volontà e i fenicotteri/mazze non collaborano. Coglie così l’occasione per chiacchierare con la Falsa Quadratuga e il Grif1. Senza dubbio, il ballo preferito dai suoi interlocutori è la quadriglia delle aragoste. Raccontano a Radice, infatti, che ogni sabato il mare e la spiaggia brulicano di pesci e crostacei ballerini. Lo scorso sabato, ad esempio, per contare i danzatori si sarebbero potuti sommare tutti i numeri interi positivi esprimibili come prodotti di potenze di 2 e 3, purché la somma degli esponenti sia compresa tra 0 e 9, estremi inclusi. Quanti erano i partecipanti alla quadriglia di sabato? Rispondere indicando le ultime quattro cifre del risultato.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6526 Fonte: apri PDF p.20
*sum 2^a 3^b with a+b in 0.9. (last 4 digits) *
Root gets bored with croquet in the long run: the balls/thorns move of their own free will and the ferns/sticks don’t cooperate. So he seizes the opportunity to chat with False Quadrature and Grif1. Without a doubt, the favorite dance of his interlocutors is the cockroach quadrangle. In fact, they tell Rootze that every Saturday the sea and the beach are teeming with dancing fish and crustaceans. Last Saturday, for example, to count the dancers, all positive integers expressed as product of powers of 2 and 3 could be added together, provided that the sum of the exponents is between 0 and 9, extremes included. How many people were in the quadrangle on Saturday? Answer by indicating the last four digits of the result.
Answer: 6526 src_cesenatico_2013_finale__Q20
Minimo di (ab)(cd) con xy=x+y-xy
Un’operazione ambiziosa La Falsa Quadratuga vuole insegnare a Radice le quattro operazioni della Scuola del Mare: Ambizione, Distrazione, Bruttificazione, e Derisione. L’Ambizione, in particolare, si indica con ∗ed è definita come segue: x ∗y = x + y −xy. Per verificare che Radice abbia capito, la Falsa Quadratuga le chiede di scegliere quattro numeri reali a,b,c,d, tali che 0 ≤a,b,c,d ≤1 e a + 2b + 3c + 4d = 7, in modo che la quantità (a∗b)∗(c∗d) sia la minima possibile. Qual è il valore di questo minimo? Nella risposta indicare le prime quattro cifre dopo la virgola del risultato.
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 9868 Fonte: apri PDF p.20
Minimum of (ab) (cd) with xy=x+y-xy
An ambitious operation The False Quadratuga wants to teach Root the four operations of the School of the Sea: Ambition, Distraction, Bruttification, and Mockery. LAmbition, in particular, is denoted by ed is defined as follows: x y = x + y −xy. To verify that Root has understood, the False Quadratum asks you to choose four real numbers a,b,c,d, such that 0 ≤a,b,c,d ≤1 and a + 2b + 3c + 4d = 7, so that the quantity (ab)(cd) is as low as possible. What’s the value of this minimum? In the answer, indicate the first four digits after the resulting comma.
Answer: 9868 src_cesenatico_2013_finale__Q21
Numeri primi distinti che dividono m (mescolate vincenti)
Il Fante a processo Una notizia inaspettata raggiunge Radice. Il principe ereditario F di cuori è chiamato in tribunale, accusato di aver barato nel gioco di carte Non perdere la testa. Il gioco funziona così: uno dei giocatori fa da mazziere e mischia un mazzo di 52 carte numerate da 1 a 52. Dopodiché, a partire dalla destra del mazziere in senso antiorario, ogni giocatore a turno pesca una carta, tenendola coperta, e il mazziere pesca quindi l’ultima carta. Le carte vengono mostrate tutte insieme e chi ha la carta più bassa esce dal gioco. Per decapitazione. Le carte pescate vengono quindi scartate e si prosegue il gioco come prima, con i giocatori rimasti, utilizzando le carte avanzate nel mazzo. Vince, o meglio sopravvive, l’ultimo giocatore in gara. F di cuori ha vinto una partita con 9 giocatori (lui compreso) da mazziere, avendo mescolato le carte per circa tre ore. Se m è il numero di modi diversi in cui ha potuto mescolare il mazzo per essere sicuro di vincere, per quanti numeri primi distinti è divisibile m? Si ricorda che 1 non è primo.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0015 Fonte: apri PDF p.20
*Separate prime numbers dividing m (winning mixtures) *
The Faint on trial An unexpected news reaches Roots. Crown Prince F of hearts is called to court, accused of cheating in the card game Don’t lose your mind. This is how the game works: one of the players acts as a dealer and mixes a deck of 52 cards numbered from 1 to 52. Afterwards, starting from the dealer’s right in the counterclockwise direction, each player in turn takes a card, keeping it covered, and the dealer then takes the last card. The cards are all shown together and the lowest card gets out. By decapitation. Fished cards are then discarded and the game continues as before, with the remaining players, using the advanced cards in the deck. Win, or rather survive, the last player in the race. F of Hearts won a game with 9 players (including himself) as a dealer, having mixed the cards for about three hours. If m is the number of different ways you could mix the deck to be sure you won, by how many distinct prime numbers is m divisible? Remember, 1 is not a prime.
Answer: 0015 src_cesenatico_2013_finale__Q22
M+m testimoni veritieri al tavolo rotondo (implicazione)
Tanti testimoni testardi e testoni Nel processo contro il F di cuori sono chiamati a testimoniare 7777 abitanti del Campo delle Mateviglie, che vengono fatti sedere attorno a una immensa tavola rotonda. Per legge, un testimone può sempre dire la verità o sempre mentire. Tutti e 7777 prendono a parlare contemporaneamente e, sorprendendemente, pronunciano all’unisono la stessa frase: ”Se la persona alla mia destra dice la verità, allora la persona alla mia sinistra mente”. Se, sotto queste condizioni, M è il massimo numero possibile di testimoni veritieri e m è il minimo, quanto vale M +m?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: parita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9073 Fonte: apri PDF p.21
*M+m true witnesses at the round table (implication) *
In the trial against the F of hearts, 7777 inhabitants of the Mateviglie camp are called to testify, who are made to sit around an immense round table. By law, a witness can always tell the truth or always lie. All 7777 speak at the same time and, surprisingly, they all utter the same sentence: “If the person on my right is telling the truth, then the person on my left is thinking”. If, under these conditions, M is the maximum possible number of true witnesses and m is the minimum, how much is M + m worth?
Answer: 9073 src_cesenatico_2013_finale__Q23
Modi crescita in 6 passi (catena multipli, 12!)
Un brusco risveglio Durante il processo, Radice si accorge che sta ricominciando a crescere. Tuttavia non si tratta di una crescita graduale, ma avviene in sei passi successivi. La Q di cuori si spaventa e ordina di tagliarle la testa, gettandole contro tutti i suoi soldati, le ormai minuscole carte del mazzo. In questo turbinio di suoni e di colori, Radice si sveglia accanto alla sua gatta Diny e si accorge di aver sognato tutto. Si ricorda solo che prima del primo passo era alta esattamente come il K di cuori, che al termine del sesto era alta 12! (dodici fattoriale) volte il K e che dopo ogni passo la sua altezza è diventata un multiplo intero di quella precedente. È possibile inoltre che durante qualche passo questo multiplo fosse 1, cioè che non sia cresciuta affatto. Se analizziamo le sei altezze al termine di ogni passo, in quanti modi diversi Radice può essere cresciuta? Nella risposta, indicare le ultime quattro cifre del risultato ottenuto.
XIV GARA NAZIONALE A SQUADRE Finale Nazionale – Soluzioni – 10 Maggio 2013 Nr. Problema
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7536 Fonte: apri PDF p.21
Growth modes in 6 steps (multiple chain, 12!)
A sudden awakening During the process, Root realizes that it is starting to grow again. However, this is not a gradual growth, but six steps in succession. The Q of hearts is frightened and orders them to cut off their heads, throwing them at all their soldiers, the now tiny cards from the deck. In this turbine of sounds and colors, Root wakes up next to his cat Diny and realizes he’s dreamed everything. Just remember that before the first step she was exactly as high as the K of hearts, which at the end of the sixth was 12! (factoral 12) times K and that after each step its height becomes an integer multiple of the previous one. It is also possible that during some steps this multiple was 1, that is, it did not grow at all. If we analyze the six heights at the end of each step, how many different ways can the Root be grown? In the answer, indicate the last four digits of the result obtained.
XIV GARA NATIONAL A FINAL NATIONAL SQUADER Solution 10 May 2013 Nr. The problem
Answer: 7536 src_cesenatico_2013_finale__Q24