Somma 12 aree di intersezioni triangoli (p+q)
Scacchi folli Radice insegna alla sua gattina Emmy un nuovo gioco. Su una scacchiera infinita (ebbene sì, nella loro casa ci sono anche delle scacchiere infinite!), ha posto due pedine, allineate verticalmente sulla stessa colonna, con esattamente due caselle vuote tra le due. Le due giocatrici muovono a turno la propria pedina, con Radice che comincia muovendo quella più in basso. Lo scopo di Radice è di catturare la pedina di Emmy, raggiungendo la stessa sua casella alla fine di una mossa; per farlo, ad ogni suo turno può scegliere se fare esattamente 4 passi oppure 5, però con queste regole: spostarsi di una casella in alto o a destra costa 1 passo, spostarsi in basso o a sinistra costa 2 passi. Per esempio, al suo primo turno può spostarsi in alto di 4 caselle, sorpassando così la pedina di Emmy, oppure di una casella a destra, una a sinistra ed una in basso (totale 5 passi), ma non può spostarsi solo di una casella in alto e poi una in basso, perché in tal caso farebbe solo 3 passi. Emmy invece sposta la sua pedina di una sola casella per turno, in una delle 4 direzioni, stando attenta però a non finire sulla stessa casella della pedina di Radice. Emmy, che è una gattina sveglia, ha imparato in fretta qual è la strategia migliore per far durare il gioco più a lungo possibile, nonostante gli sforzi di Radice. Dopo quante mosse finirà la partita?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 6719 Fonte: apri PDF p.26
*Total 12 areas of triangular intersections (p+q) *
Mad Chess Roots teaches his Emmy kitten a new game. On an infinite chessboard (although, yes, there are infinite chessboards in their house as well!), he placed two pedals, aligned vertically on the same column, with exactly two empty boxes between the two. The two players move their pedal in turn, with Rootce starting by moving the lower one. The purpose of Root is to capture Emmy’s foot, reaching her same box at the end of a move; to do so, at each turn she can choose whether to take exactly 4 steps or 5, but with these rules: moving from a box to the top or right costs 1 step, moving down or left costs 2 steps. For example, at its first turn it can move upwards by 4 boxes, thus overtaking Emmy’s foot, or a box to the right, one to the left and one down (total 5 steps), but it cannot move only from a box upwards and then one downwards, because in that case it would only take 3 steps. Instead, Emmy moves her pedal from one box per shift, in one of the four directions, being careful not to end up on the same box as Root’s pedal. Emmy, who is an alert kitten, quickly learned what the best strategy is to keep the game going for as long as possible, despite Root’s efforts. After how many moves will the game be over?
Answer: 6719 src_cesenatico_2013_pubblico__Q01
2013-esimo salto (ricorrenza lineare)
Attraverso lo specchio Dopo ore perse a giocare con la sua gattina, Radice è così stanca che si è quasi addormentata! Al di là dello specchio, vede un tavolino a forma di tetraedro regolare di lato 1m su cui è disegnata una scacchiera. Il tavolino appoggia a terra in equilibrio su uno dei vertici, che si trova sul suolo a esattamente 1m di distanza dallo specchio. Il piano del tavolo, composto da una delle facce del tetraedro a forma di triangolo equilatero, è parallelo al suolo. Uno dei suoi vertici “punta” esattamente verso lo specchio, in modo che il lato opposto sia parallelo ad esso. Esattamente sopra il centro del tavolo, ma a un’altezza dal suolo doppia rispetto all’altezza del tavolino, si trova una lampadina accesa. Radice osserva che sotto il tavolo si formano quindi due ombre: una causata dalla luce diretta della lampadina e l’altra dalla luce riflessa nello specchio. Sapendo che lo specchio è perfettamente verticale, sapresti calcolare l’area dell’ intersezione tra le due ombre? Dare la risposta in cm2.
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 8136 Fonte: apri PDF p.26
This is the total number of samples taken from the sample.
Through the mirror After hours spent playing with her kitten, Root is so tired that she almost fell asleep! Beyond the mirror, he sees a regular tetrahedron-shaped 1m side table on which a chessboard is drawn. The table rests on the ground in balance on one of the vertices, which is on the ground exactly one meter away from the mirror. The plane of the table, composed of one of the sides of the tetrahedron in the shape of an equilateral triangle, is parallel to the ground. One of its vertices points exactly toward the mirror, so that the opposite side is parallel to it. Just above the centre of the table, but at twice the height of the table, there is a light bulb on. Root notes that under the table two shadows are then formed: one caused by direct light from the lamp and the other by light reflected in the mirror. Knowing that the mirror is perfectly vertical, would you be able to calculate the area of the intersection between the two shadows? Give the answer in cm2.
Answer: 8136 src_cesenatico_2013_pubblico__Q02
Morsi al pasticcino per altezza 2/81 (potenze)
Ma che succede? Radice si trova ora nell’angolo A di una stanza quadrata ABCD di lato 4161cm, e fa rotolare sul pavimento una pallina molto piccola in modo che raggiunga il punto del lato BC che si trova a 1cm da B. Ogni volta che incontra una parete, non solo la palla rimbalza perfettamente, ma nello stesso momento la stanza si ingrandisce: la parete opposta a quella colpita dalla palla si sposta, allontanandosi istantaneamente da quella colpita in modo che la loro distanza raddoppi. Le altre due pareti rimangono alla stessa distanza. Quanti rimbalzi farà la pallina prima di finire di nuovo in un vertice della stanza?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0031 Fonte: apri PDF p.26
*Height of 2/81 (power) *
What’s going on? Root is now located in the A corner of an ABCD square room on the side 4161cm, and rolls a very small ball onto the floor so that it reaches the point on the side BC that is 1cm from B. Every time it hits a wall, not only does the ball bounce back perfectly, but at the same time the room grows larger: the wall opposite the one hit by the ball moves away from the one hit instantly so that their distance doubles. The other two walls remain at the same distance. How many bounces will the ball make before it ends up on top of the room again?
Answer: 0031 src_cesenatico_2013_pubblico__Q03
Somma terne eta <=30 non coprime a due a due
I fiori nel prato Radice, ancora sorpresa per quello che sta succedendo, esce di casa, e si ritrova a camminare in un prato fiorito infinitamente lungo e largo 200cm. Sul prato la osservano tanti fiori, stupiti dal vedere un fiore che si muove! Ognuno di essi ha la forma di un poligono regolare di petalo, oops, lato 1cm. Quanti petali/lati ha il fiore più grande che Radice può incontrare nel prato?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0960 Fonte: apri PDF p.26
Term sum <=30 not covered by two to two
The flowers in the grass Roots, still surprised by what’s happening, leaves the house, and finds himself walking in an infinitely flowery grassland 200cm long and wide. On the lawn, many flowers observe her, amazed to see a flower move! Each of them has the shape of a regular polygon of petal, oops, side 1cm. How many petals/late has the largest flower Root can meet in the lawn?
Answer: 0960 src_cesenatico_2013_pubblico__Q04
Max p per uova mangiate tra 12 ore (successione)
Minima distanza Radice, stando ferma in un punto, vede in lontananza il Re Bianco muoversi in linea retta passando per tre punti allineati B,C,D. Sapendo che B e D distano 3km da Radice, mentre C solo 2km, quanti metri distano come minimo B e D?
Topic: successioni, Trigonometria Metodo: Ricorsione, Tecniche trigonometriche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 1304 Fonte: apri PDF p.26
*Max p for eggs eaten within 12 hours (success) *
Minimum distance Root, standing still at one point, sees in the distance the White King moving in a straight line passing through three aligned points B,C,D. Knowing that B and D are 3km from the Roots, while C is only 2km, how many meters away are B and D at least?
Answer: 1304 src_cesenatico_2013_pubblico__Q05
Probabilita crescita >=2013cm con 37 funghi (numeratore)
Una Torre sinistra Da lontano, Radice vede un prato con tante siepi che lo separano in quadrati, come le caselle di una scacchiera 8×8. La Regina Rossa ordina alla Torre di spostarsi da una casella d’angolo nella casella d’angolo opposta. La Regina le spiega che dovrà impiegare esattamente 6 mosse per raggiungerla. Inoltre, ordina che ad ogni mossa cambi direzione svoltando a sinistra di 90°. Se sulla scacchiera non ci sono altri pezzi oltre alla Torre, quanti sono i possibili percorsi che può seguire? La Torre può passare più volte sulla stessa casella; in particolare, può toccare la casella di destinazione anche prima della sesta mossa. Una mossa della Torre consiste nello spostarsi di un qualsiasi numero intero di caselle (da 1 a 8) in orizzontale o in verticale.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2499 Fonte: apri PDF p.26
*Probability of growth >=2013cm with 37 fungi (numerator) *
A left tower From a distance, Root sees a lawn with so many hedges that divide it into squares, like the boxes of a chessboard 8. The Red Queen orders the Tower to move from a corner box to the opposite corner box. The Queen explains that it will take exactly six steps to reach her. In addition, he orders that with each move he change direction by turning to the left of 90°. If there are no other pieces on the chessboard besides the Tower, how many possible paths can it take? The Tower may pass on the same box several times; in particular, it may touch the destination box even before the sixth move. A Tower move involves moving any number of whole boxes (from 1 to 8) horizontally or vertically.
Answer: 2499 src_cesenatico_2013_pubblico__Q06
Ampiezze diverse di un angolo del triangolo (rettangoli)
Il mio regno per un pedone “Posso partecipare anch’io alla partita?”, chiede Radice alla Regina Rossa. “Certo, mia cara, abbiamo giusto bisogno di una pedina bianca. Gara a Squadre 2013 – Semifinale A – Testi dei problemi – 1/3
2/3 Gara a Squadre 2013 – Semifinale A – Testi dei problemi Però devo assicurarmi che tu sappia leggere, scrivere e far di conto. Ho qui 2013 triangoli, di basi b1,b2,…,b2013 e altezze h1,h2,…,h2013, tali che bn+1 = bn −4hn per ogni n tra 1 e 2012 (e ovviamente bn > 4hn per questi valori di n). Il 2013-esimo triangolo ha altezza h2013 = 7 e area 14. Inoltre, la Regina Bianca, là dall’altro lato della scacchiera, ha 2012 triangoli di altezze h1,h2,…,h2012 e basi rispettivamente b2,b3,b4,…,b2013.” “Come, non c’è b1?” chiese Radice. “No no; ti posso solo dire che b1 vale 236… ma non è questo che mi interessa! Sai dirmi qual è la somma delle aree di tutti i 4025 triangoli?”
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0014 Fonte: apri PDF p.26
*Different angles of a triangle (rectangles) *
My kingdom for a pedestrian Can I join the game too? Root asked the Red Queen. Sure, my dear, we just need a white pedal. Team competition 2013 Semifinals A Problem tests 1/3
Two-thirds Team Competition 2013 Semifinal A Problem Text But I have to make sure you can read, write and count. I have 2013 triangles here, base b1, b2,…, b2013 and heights h1, h2,…, h2013, such that bn+1 = bn −4hn for every n between 1 and 2012 (and of course bn > 4hn for these n values). The 2013th triangle has height h2013 = 7 and area 14. In addition, the White Queen, on the other side of the chessboard, has 2012 triangles of heights h1, h2,…, h2012 and bases respectively b2, b3, b4,…, b2013. No no; I can only tell you that b1 is equal to 236… But that’s not what I care about! Can you tell me what the sum of the areas of all 4025 triangles is?
Answer: 0014 src_cesenatico_2013_pubblico__Q07
Prodotto numeri della ninna nanna (sistema)
La scorpacciata di ostriche Il Triseco e il Cartantiere hanno raccolto molte ostriche; vorrebbero disporle in fila per 2, ma il loro numero non è divisibile per 2. Delusi, decidono quindi a malincuore di mangiarne 2. Riprovano a mettere le rimanenti in fila per 3, ma il loro numero non è divisibile per 3, quindi ne mangiano 3. Continuano in questo modo, ogni volta mangiandone n perché il numero di quelle rimaste non è divisibile per n. Quando Radice li incontra, sono in lacrime: le stanno ora disponendo in fila per 71, e non hanno ancora finito! Quante ostriche c’erano, come minimo, all’inizio del banchetto?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4206 Fonte: apri PDF p.27
*Nine number product (system) *
Oysters’ shovel The Triseco and the Cartantiere have collected many oysters; they would like to have them in a row by 2, but their number is not divisible by 2. Disappointed, they reluctantly decide to eat two. They try to line up the remaining ones by 3, but their number is not divisible by 3, so they eat 3. They go on like this, every time they eat n because the number of leftovers is not divisible by n. When Root meets them, they’re in tears: they’re now lined up for 71, and they’re not done yet! How many oysters were there at least at the beginning of the feast?
Answer: 4206 src_cesenatico_2013_pubblico__Q08
Probabilita Stregauss dalla Lepre (6 dadi, numeratore)
Le perle della Regina Dopo l’indecorosa scorpacciata di ostriche, il Triseco e il Cartantiere hanno disposto in questo modo le perle che hanno trovato. Si suddivida, con linee parallele ai lati, un triangolo equilatero di lato 60 in tanti triangolini di lato 3. Si pongano poi delle perle su ogni punto che è un vertice di questi triangolini, nonché due perle su ognuno dei loro lati, in modo che ogni perla sia a distanza 1 dalle sue vicine più prossime. Quante perle hanno utilizzato per comporre la figura?
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6337 Fonte: apri PDF p.27
This is a list of all known diseases of the genus Stregauss.
The Queen’s pearls After an unadorned oyster shroud, Triseco and Cartantiere arranged the pearls they found in this way. It divides, with parallel lines on the sides, an equilateral triangle on side 60 into many triangles on side 3. Then pearls are placed on each point that is a vertex of these triangles, as well as two pearls on each of their sides, so that each pearl is at a distance of 1 from its nearest neighbor. How many pearls did they use to compose the figure?
Answer: 6337 src_cesenatico_2013_pubblico__Q09
Modi di sedersi a tavola (Ghiro vicino)
Le carte danno alla testa CuboQuadro ha rubato il compasso di QuadroCubo! Per risolvere la questione, come loro solito, ognuno di loro pesca due carte da uno stesso mazzo da 52 e somma i loro valori. CuboQuadro, che ha pescato un 6 e un 8, restituirà il maltolto solo se la somma dei valori delle due carte del fratello è maggiore o uguale della somma delle sue, cioè 14. Qual è la probabilità che questo avvenga? Si indichi la somma di numeratore e denominatore della probabilità espressa come frazione ridotta ai minimi termini. Il mazzo è composto da quattro insiemi di 13 carte l’uno, di valore rispettivamente 1,2,…,13.
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0272 Fonte: apri PDF p.27
*Sit at the table (nearby) *
The cards are hitting the head CuboQuadro stole the Cubo compass! To solve the problem, as they usually do, each one of them takes two cards from the same deck of 52 and adds up their values. CuboQuadro, which has caught a 6 and an 8, will only return the bad catch if the sum of the values of the two cards of the brother is greater than or equal to the sum of his own, i.e. 14. What is the probability that this will happen? Indicate the sum of the numerator and denominator of the probability expressed as a fraction reduced to the minimum terms. The deck is composed of four sets of 13 cards each, each of a value of 1,2,…13.
Answer: 0272 src_cesenatico_2013_pubblico__Q10
Ora quando somma Ghiro supera 2012/2013
Il vocabolario di HardyDardy Quando Radice incontra quella testa d’uovo di HardyDardy, egli afferma spocchioso: “L’ottagono ha il doppio dei lati del quadrato. L’ettagono ha più lati dell’esagono, che a sua volta ne ha di più del pentagono. Il numero di lati dell’esagono è la media tra quello del triangolo e quello dell’ennagono”. Radice si mostra subito d’accordo, ma un momento dopo HardyDardy le spiega che ha scambiato tra loro i nomi dei poligoni da 3 a 9 lati in modo che a nessun poligono corrisponda il suo vero nome. Aiutate Radice a capire come HardyDardy ha modificato le parole. Si indichi come risposta in sequenza il numero di lati di triangolo, pentagono, ettagono, ennagono.
Topic: successioni Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0012 Fonte: apri PDF p.27
Now when the sum Ghiro exceeds 2012/2013
HardyDardy’s vocabulary When Root meets that old head of HardyDardy, he says spooky: The octagon has twice the sides of the square. The hexagon has more sides than the hexagon, which in turn has more than the pentagon. The number of sides of the hexagon is the average between that of the triangle and that of the ennagone. Root immediately agrees, but a moment later HardyDardy explains to her that he has exchanged the names of the polygons from 3 to 9 sides so that no polygon matches his real name. Help Roots figure out how HardyDardy changed the words. The number of sides of a triangle, pentagon, hexagon, anagon is given as a sequential answer.
Answer: 0012 src_cesenatico_2013_pubblico__Q11
Giorni dalla fondazione (incontri periodici, 451 aperture)
Radici per Radice Radice arriva su un campo di battaglia, su cui il Giaguaro e il Ronzino si stanno sfidando, per fortuna solo a colpi di quesiti! Mentre si avvicina, sente il Ronzino porre questo problema: “Siano a,b,c le radici del polinomio p(x) = 2x3 +11x2 −427x +414. Quanto vale p(a+b+c)?”
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5250 Fonte: apri PDF p.27
*Days since its foundation (periodic meetings, 451 openings) *
Roots for Roots Roots arrives on a battlefield, where the Jaguar and the Ronzino are challenging each other, fortunately only with a few questions! As he approaches, he hears the Ronzino pose this problem: They are a,b,c the roots of the polynomial p(x) = 2x3 +11x2 −427x +414. How much is a+b+c?
Answer: 5250 src_cesenatico_2013_pubblico__Q12
Area triangolo PQR (altezza, bisettrice, mediana)
Un attimo di pausa Dopo essersi sfidati sul campo di battaglia, il Giaguaro e il Ronzino si rilassano insieme a Radice prendendo un tè. Aitka, il cappellaio, offre loro 94 biscotti, numerati da 1 a 94. Il Re Bianco ordina a Radice di mangiarne un certo numero intero a, al Giaguaro b, e al Ronzino c. Chiaramente a,b,c ≥0 e a+b+c = 94. “Curioso—nota Aitka—il numero di modi diversi in cui potete dividervi i biscotti rispettando gli ordini del Re è multiplo di 3”. Quante terne ordinate (a,b,c) hanno questa proprietà?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0015 Fonte: apri PDF p.27
*PQR triangle area (height, width, median) *
After challenging each other on the battlefield, the Jaguar and the Ronzino relax together with Rootze for a cup of tea. Aitka, the chaplain, offers them 94 biscuits, numbered from 1 to 94. The White King orders Root to eat a number of whole a, Jaguaro b, and Ronzino c. Clearly a,b,c ≥0 and a+b+c = 94. Curiousnote Aitkathe number of different ways in which you can divide cookies by obeying the King’s orders is multiplied by 3. How many ordered terns (a,b,c) have this property?
Answer: 0015 src_cesenatico_2013_pubblico__Q13
Minimo di (ab)(cd) con xy=x+y-xy
I divisori del cavaliere Radice si trova ora di fronte il Cavaliere Bianco, che, riposandosi dalla battaglia, medita su di un foglio. “Qui ho scritto tutti i divisori positivi di un certo intero N, inclusi 1 e lui stesso. Ti dirò solo che ci sono 606 quadrati perfetti, e esattamente 165 numeri che sono anche divisori di 1014. Ah, e i multipli di 5 sono in numero dispari. Quanti numeri ci sono sul foglio?”
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 9868 Fonte: apri PDF p.27
Minimum of (ab) (cd) with xy=x+y-xy
The Divisors of the Knight Root now stand in front of the White Knight, who, resting from battle, meditates on a leaf. Here I wrote all the positive divisors of a certain integer N, including 1 and itself. I’m just going to tell you that there are 606 perfect squares, and exactly 165 numbers that are also divisors of 1014. Ah, and multiples of 5 are odd numbers. How many numbers are on the sheet?
Answer: 9868 src_cesenatico_2013_pubblico__Q14
M+m testimoni veritieri al tavolo rotondo (7999)
Il triangolo palindromo Radice ha raggiunto l’ottava traversa, e sta per diventare anche lei Regina! La Regina Rossa le pone però un ultimo quesito prima dell’incoronazione: “Sia ABC un triangolo isoscele (AB = AC) di base BC lunga 62 e altezza AH. Siano K il punto medio di AH e D il punto di intersezione tra il segmento perpendicolare a BK, passante per K, e la retta parallela a BC passante per A. Quanto vale l’area di BKD, sapendo che l’area di ABC è un numero palindromo di 4 cifre e l’altezza è un numero intero pari?”
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: parita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9332 Fonte: apri PDF p.27
*M+m true witnesses at the round table (7999) *
The palindrome triangle Root has reached the eighth cross, and she’s about to become Queen too! However, the Red Queen asks her one last question before the coronation: If ABC is an isosceles triangle (AB = AC) of base BC length 62 and height AH. K is the middle point of AH and D is the intersection point between the segment perpendicular to BK, passing through K, and the line parallel to BC passing through A. How much is the area of BKD worth, knowing that the area of ABC is a 4-digit palindrome number and the height is an even integer?
Answer: 9332 src_cesenatico_2013_pubblico__Q15
Modi crescita in 5 passi (catena multipli, 12!)
Piccola conversazione Un grande banchetto viene organizzato nel castello della neo-Regina Radice. Tra l’arrosto e il dessert, la Regina Rossa improvvisamente chiede a Radice: “Prendi tutti i numeri fino a 200, e suddividili tra quelli il cui quadrato più vicino è dispari e quelli il cui quadrato più vicino è pari. Di quanto differiscono le somme dei numeri in questi due insiemi?”
XIV GARA NAZIONALE A SQUADRE Semifinale A – Soluzioni – 10 Maggio 2013 Nr. Problema
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7250 Fonte: apri PDF p.27
Growth modes in 5 steps (multiple chain, 12!)
A big banquet is being held in the castle of the new Root Queen. Between the roast and the dessert, the Red Queen suddenly asks Root: Take all the numbers up to 200, and subdivide them between those whose nearest square is odd and those whose nearest square is even. How different are the sums of the numbers in these two sets?
XIV NATIONAL GAR A Semifinal Team A Solution 10 May 2013 Nr. The problem
Answer: 7250 src_cesenatico_2013_pubblico__Q16