Numeri di 3 cifre con n0 (senza zeri) divisore proprio di n
Per ogni numero naturale n di 3 cifre decimali (quindi con la prima cifra diversa da zero), consideriamo il numero n0 ottenuto da n eliminando le sue eventuali cifre uguali a zero. Per esempio, se n = 205 allora n0 = 25. Determinare il numero degli interi n di tre cifre per i quali n0 è un divisore di n diverso da n.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 93 Fonte: apri PDF p.2
Three-digit numbers with n0 (without zero) proper divisor of n
For every natural number n of 3 decimal digits (so with the first digit other than zero), we consider the number n0 obtained from n by removing its possible digits equal to zero. For example, if n is 205 then n0 is 25. Determine the number of three-digit integers n for which n0 is a divisor of n other than n.
Answer: 93 src_cesenatico_2014__Q01
dimostrare angAPM=angPBA
Sia ABC un triangolo tale che, detto H il piede dell’altezza condotta da C, si ha AH = 3 · HB. Siano inoltre: – M il punto medio di AB; – N il punto medio di AC; – P il punto dal lato opposto di B rispetto alla retta AC tale che NP = NC e PC = CB. Dimostrare che
APM =
PBA.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
show angAPM=angPBA
Whether ABC is such a triangle that, said H the height foot driven by C, we have AH = 3 · HB. In addition, M is the mean point of AB; N is the mean point of AC; P is the point on the opposite side of B to the straight AC such that NP = NC and PC = CB. Prove that APM is PBA.
MCD di a^n+(a+1)^n+(a+2)^n e’ potenza di 3
Per ogni intero positivo n, sia Dn il massimo comune divisore di tutti i numeri della forma an + (a + 1)n + (a + 2)n al variare di a fra tutti gli interi positivi. (a) Dimostrare che, per ogni n, Dn è della forma 3k per qualche intero k ≥0. (b) Dimostrare che, per ogni k ≥0, esiste un intero n tale che Dn = 3k.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
MCD of a^n+(a+1)^n+(a+2)^n is power of 3
For every positive integer n, be Dn the greatest common divisor of all numbers of the form an + (a + 1)n + (a + 2)n as a varies between all positive integers. (a) Demonstrate that for every n, Dn is 3k for some whole k ≥0. (b) Demonstrate that for every k ≥0, there exists an integer n such that Dn = 3k.
dimostrare AX=2R
Su una circonferenza di centro A e raggio R vengono presi nell’ordine quattro punti distinti B, C, G, H in modo tale che G giaccia sul prolungamento della mediana del triangolo ABC condotta da B, e H giaccia sul prolungamento dell’altezza di ABC condotta da B. Detta X l’intersezione fra le rette AC e GH, si dimostri che il segmento AX è lungo 2R.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5
to show AX=2R
On a center circumference A and radius R, four distinct points B, C, G, H are taken in such an order that G lies on the median of the triangle ABC extended by B, and H lies on the height extended by ABC extended by B. If X is the intersection between the AC and GH lines, it is shown that the AX segment is 2R long.
Intero come somma di 2015 potenze 2014-esime in due modi
Dimostrare che esiste un intero positivo che può essere scritto come somma di 2015 potenze 2014-esime distinte di interi positivi x1 < x2 < · · < x2015 in almeno due modi.
Topic: Combinatoria Metodo: Induzione Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
Intero as a sum of 2015 2014 two-way powers
Demonstrate that there exists a positive integer that can be written as the sum of 2015 distinct positive integers x1 < x2 < · · < x2015 in at least two ways.
minimo numero di caselle speciali
Una scacchiera quadrata (2n + 1) × (2n + 1), con n > 0, è colorata in modo tale che ogni casella sia bianca o nera. Una casella è detta speciale se ci sono almeno altre n caselle dello stesso colore nella sua riga, e almeno altre n caselle dello stesso colore nella sua colonna. (a) Dimostrare che esistono almeno 2n + 1 caselle speciali. (b) Fornire un esempio in cui ci siano al più 4n caselle speciali. (c) Determinare, in funzione di n, quale è il minimo numero possibile di caselle speciali.
Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4n Fonte: apri PDF p.7
minimum number of special boxes
A square chessboard (2n + 1) × (2n + 1), with n > 0, is coloured so that each box is white or black. A box is said to be special if there are at least one other box of the same colour in its row and at least one other box of the same colour in its column. (a) Demonstrate that there are at least 2n + 1 special boxes. (b) Provide an example where there are at most 4 special boxes. (c) Determine, in accordance with n, the minimum number of special boxes possible.
Answer: 4n src_cesenatico_2014__Q06