volume totale dai 4 volumi
Sia dato un parallelepipedo rettangolo ABCDA′B′C′D′, dove ABCD è la faccia inferiore con le lettere assegnate in senso orario, e A, B, C, e D stanno sotto A′, B′, C′, e D′ rispettivamente. Il parallelepipedo è diviso in otto pezzi da tre piani ortogonali fra loro e paralleli alle facce del parallelepipedo. Per ogni vertice P del parallelepipedo si indichi con VP il volume del pezzo di parallelepipedo che contiene P. Sapendo che VA = 40, VC = 300, VB′ = 360 e VC′ = 90, qual è il volume del parallelepipedo ABCDA′B′C′D′?
Topic: Geometria solida Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2015 Fonte: apri PDF p.1
total volume by 4 volumes
Give a rectangular parallel piped ABCDA′B′C′D′, where ABCD is the lower face with the letters assigned clockwise, and A, B, C, and D are below A′, B′, C′, and D′ respectively. The parallelepiped is divided into eight pieces by three planes orthogonal to each other and parallel to the faces of the parallelepiped. For each vertex P of the parallelepiped, the volume of the piece of parallelepiped containing P shall be indicated by VP. Knowing that VA = 40, VC = 300, VB′ = 360 and VC′ = 90, what is the volume of the ABCDA′B′C′D′ parallel piped?
Answer: 2015 src_cesenatico_2015__Q01
da un certo punto un solo genere
Un servizio di streaming musicale propone canzoni classificate in 10 generi musicali, in modo che ogni brano appartenga ad uno e un solo genere. Le canzoni vengono suonate una dopo l’altra: le prime 17 sono scelte dall’utente, ma a partire dalla diciottesima il servizio determina automaticamente quale canzone suonare. Elisabetta ha notato che, se si fa la classifica di quali generi compaiano più volte nel corso degli ultimi 17 brani suonati, la nuova canzone appartiene sempre al genere in testa alla classifica o, in caso di pari merito, a uno dei primi ex-aequo. Dimostrare che, comunque siano scelti i primi 17 brani, da un certo punto in poi le canzoni proposte sono tutte dello stesso genere.
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
to some extent a single genus
A music streaming service offers songs classified into 10 music genres, so that each track belongs to one and only one genre. The songs are played one after the other: the first 17 are chosen by the user, but from the eighteenth the service automatically determines which song to play. Elisabetta noted that if one ranks which genres appear more than once during the last 17 tracks played, the new song always belongs to the genre at the top of the chart or, in case of equal merit, to one of the first ex-aequo. To show that no matter what the first 17 tracks are, from a certain point onwards the proposed songs are all the same.
ciclicita iff parallelismo
Sia ABC un triangolo, sia K il piede della bisettrice relativa a BC e sia J il piede della trisettrice relativa a BC più vicina al lato AC (ossia J è il punto su BC tale che 3 · ∠CAJ = ∠CAB). Siano poi C′ e B′ due punti sulla retta AJ, dalla parte di J rispetto ad A, tali che AC′ = AC e AB = AB′. Dimostrare che il quadrilatero ABB′C è inscrivibile in una circonferenza se e solo se le rette C′K e B′B sono parallele.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
cycled if parallelism
Either ABC is a triangle, either K is the foot of the bisector relative to BC and either J is the foot of the tri-sector relative to BC nearest to the AC side (i.e. J is the point on BC such that 3 · CAJ = CAB). Then C′ and B′ are two points on the straight AJ, on the side of J with respect to A, such that AC′ = AC and AB = AB′. Demonstrate that the quadrilateral ABB′C can be inscribed in a circumference if and only if the lines C′K and B′B are parallel.
Coppie intere (a,b) con a^3+b^3+3ab=1
Determinare tutte le coppie di numeri interi (a, b) che risolvono l’equazione a3 + b3 + 3ab = 1.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: (-1,-1) e (c+1,-c) Fonte: apri PDF p.1
Integrated pairs (a,b) with a^3+b^3+3ab=1
Determine all pairs of integers (a, b) that solve the equation a3 + b3 + 3ab = 1.
Answer: (-1,-1) e (c+1,-c) src_cesenatico_2015__Q04
CA=CB iff CF=CG
Siano Γ una circonferenza, AB una sua corda, C un punto interno ad AB, r una retta per C tale che, dette D ed E le intersezioni di r con Γ, esse si trovino in parti opposte rispetto all’asse di AB. Siano poi ΓD la circonferenza tangente esternamente a Γ in D e tangente in un punto F ad AB, ΓE la circonferenza tangente esternamente a Γ in E e tangente in un punto G ad AB. Dimostrare che CA = CB se e solo se CF = CG.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
The following table shows the results of the evaluation:
If Γ is a circumference, AB is a rope, C is an inner point of AB, r is a straight line for C such that, given D and E the intersections of r with Γ, they are in opposite places to the axis of AB. Then ΓD is the tangent circumference externally at Γ in D and tangent at a point F at AB, ΓE is the tangent circumference externally at Γ in E and tangent at a point G at AB. Prove that CA = CB if and only if CF = CG.
per quali n vince Charles
Ada e Charles fanno un gioco. All’inizio un numero intero n > 1 è scritto sulla lavagna. A turno, Ada e Charles cancellano il numero k che trovano sulla lavagna e lo rimpiazzano 1 – o con un divisore positivo di k diverso da 1 e da k stesso 2 – oppure con k + 1. Inizialmente ciascuno dei giocatori possiede mille punti. Quando un giocatore gioca la mossa 1, guadagna un punto; quando gioca la mossa 2, perde un punto. Il gioco ha termine quando uno dei giocatori giunge ad avere zero punti, e questo giocatore ha perso. Ada gioca per prima. Per quali valori di n Charles ha una strategia vincente?
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: primi tranne 2,7,13 piu 8,14,26,49,91,169 Fonte: apri PDF p.1
- for which n wins Charles*
Ada and Charles are playing. At the beginning an integer n > 1 is written on the board. In turn, Ada and Charles cancel out the number k they find on the board and replace it with 1 or with a positive divisor of k other than 1 and k itself 2 or with k + 1. Initially, each player has a thousand points. When a player plays move 1, he gains a point; when he plays move 2, he loses a point. The game ends when one of the players gets zero points, and that player loses. Ada plays first. What values does Charles have a winning strategy for?
Answer: primi tranne 2,7,13 piu 8,14,26,49,91,169 src_cesenatico_2015__Q06