Volume del prisma droide (taglio per A,B,D’)
[⋆]Droidi ben sfondati La Fondazione dei Mercanti utilizza droidi di classe ZFC a forma di prisma, con due pentagoni regolari ABCDE e A′B′C′D′E′ come basi (in modo che gli spigoli siano AA′, BB′, CC′, DD′ e EE′). L’ambasciatore Qui-Gob Binn viene attaccato a tradimento da una pattuglia di droidi durante una missione diplomatica su una nave della Fondazione. Nello scontro, uno dei droidi viene tagliato in due parti dalla riga laser di Qui-Gob Binn lungo un piano passante per A, B e D′. Determinare il volume del droide sapendo che il volume della più piccola di queste due parti è pari a 1000.
Topic: Geometria solida Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2236 Fonte: apri PDF p.10
*Volume of the droid prism (cut to A,B,D’) *
The Merchant Foundation uses prism-shaped ZFC-class droids with two regular pentagons ABCDE and A′B′C′D′E′ as bases (so that the pins are AA′, BB′, CC′, DD′ and EE′). Ambassador Qui-Gob Binn is attacked for treason by a droid patrol during a diplomatic mission aboard a Foundation ship. In the collision, one of the droids is cut in two by Qui-Gob Binn’s laser line along a passing plane for A, B and D′. Determine the volume of the droid knowing that the volume of the smaller of these two parts is equal to 1000.
Answer: 2236 src_cesenatico_2016_finale__Q01
Max somma aree triangoli rettangoli interi non congrui
Grande festa su Naboole Per celebrare la vittoria contro la Fondazione dei Mercanti, su Naboole è in corso una grande festa. I tavoli del banchetto hanno la forma di triangoli rettangoli con lati di lunghezza intera. Inoltre ogni tavolo ha almeno un cateto la cui lunghezza è un numero primo minore di 20. La regina Atiyala ha insistito affinché non ci fossero due tavoli con forme congruenti (su Naboole mettere due tavoli uguali è come non metterne nessuno). Quanto vale al massimo la somma delle aree dei tavoli presenti al banchetto? Due triangoli si considerano congruenti se si possono sovrapporre l’uno all’altro tramite rotazioni, traslazioni e simmetrie.
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 3930 Fonte: apri PDF p.10
Max sum of the areas of uncorrelated whole rectangular triangles
To celebrate the victory over the Merchant’s Foundation, there’s a big party on Naboole. The banquet tables are in the shape of rectangular triangles with sides of full length. In addition, each table has at least one square whose length is a prime number less than 20. Queen Atiyala insisted that there should be no two tables with congruent shapes (on Naboole putting two tables equal is like putting none). What is the sum of the areas of the tables at the banquet? Two triangles are considered congruent if they can overlap with each other through rotations, translations and symmetries.
Answer: 3930 src_cesenatico_2016_finale__Q02
Prodotto PAPC nel trapezio isoscele (angoli)*
[⋆]Il pianeta scomparso “All’interno del trapezio ABCD, il pianeta tu troverai”. Il maestro Yoneda, parlando per inversioni, indica a Obi-Van Kampenobi l’ubicazione del pianeta Rudino. “Il trapezio, isoscele è. Le basi AB e CD rispettivamente 32 e 18, lunghe sono. In un punto P tale che ∠PAD = ∠PBA e ∠PDA = ∠PCD, il pianeta si trova.” Obi-Van scopre dal suo amico TEX che l’area del triangolo ABP è pari a 192. Quanto vale il prodotto delle lunghezze di PA e PC?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0300 Fonte: apri PDF p.10
Produced PAPC in the isosceles trapezoid (angles) *
The missing planet within the ABCD trapezoid, the planet you will find. Master Yoneda, speaking by inversion, points to Obi-Van Kampenobi the location of the planet Rudino. The trapezoid is isosceles. Bases AB and CD 32 and 18, respectively, are long. At a point P such that PAD = PBA and PDA = PCD, the planet is located. Obi-Van discovers from his friend TEX that the area of the ABP triangle is 192. How much is the product of PA and PC lengths?
Answer: 0300 src_cesenatico_2016_finale__Q03
Cloni totali primi 100 mesi (ricorrenza a blocchi)
L’esercito di cloni Il maestro Sisifo-Denis ha commissionato ai clonatori di Rudino la creazione di un esercito della Repubblica. Nel corso dell’n-esimo mese vengono prodotti xn cloni. Il primo mese viene impiegato per analizzare il DNA di Rango Fett, quindi x1 = 0. Dal mese successivo, la produzione rispetta le seguenti regole: x4n = x4n−1 +2n−1; x4n+1 = x4n +2n+1; x4n+2 = x4n+1 +2n; x4n+3 = x4n+2 +2n+2 (con n intero). Quanti cloni sono stati prodotti complessivamente nei primi 100 mesi?
Topic: successioni Metodo: Ricorsione, Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4525 Fonte: apri PDF p.10
Total clones for the first 100 months (block recurrence)
The army of clones Master Sisifo-Denis commissioned Rudino’s clone workers to create an army of the Republic. During the ninth month, xn clones are produced. The first month is used to analyze Rango Fett’s DNA, so x1 = 0. From the following month, production follows the following rules: x4n = x4n−1 +2n−1; x4n+1 = x4n +2n+1; x4n+2 = x4n+1 +2n; x4n+3 = x4n+2 +2n+2 (with integer n). How many clones were produced in the first 100 months?
Answer: 4525 src_cesenatico_2016_finale__Q04
p(128) per polinomio grado 5 con p(2^k)=1/(1-2^k)
[⋆]Addestramento GeDi Il giovane Banachin, allievo di Obi-Van, deve affinare diverse doti per poter diventare un Geometra Differenziale; una di queste consiste nel percepire i valori di certi polinomi usando la Forza. Per allenare il suo allievo, un giorno Obi-Van pensa a un polinomio p(x) di grado 5 e chiede a Banachin di determinare p(128). Il giovane PDE-wan non è ancora abbastanza abile da scoprirlo direttamente, ma riesce a percepire che p(2k) = 1 1−2k per k = 1, 2, … , 6. Qual è la risposta alla domanda di Obi-Van?
Topic: Algebra Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 6513 Fonte: apri PDF p.10
*p(128) for a polynomial of degree 5 with p(2^k) =1/(1-2^k) *
Young Banachin, a student of Obi-Van, must hone several skills to become a differential geometer; one of them is to perceive the values of certain polynomials using Force. To train his student, one day Obi-Van thinks of a polynomial p(x) of grade 5 and asks Banachin to determine p(128). The young PDE-wan is not yet skilled enough to discover it directly, but he can sense that p(2k) = 1 1−2k for k = 1, 2, … , 6. What’s the answer to Obi-Van’s question?
Answer: 6513 src_cesenatico_2016_finale__Q05
Max MCD(m,n) scambiando prima/ultima cifra + n cifre
Sudooku diabolico Sul pianeta Geodesis, tra un piano malvagio e l’altro, il Conte Sudooku si diletta scrivendo i numeri di al più 10 cifre con la prima e l’ultima cifra diverse tra loro e da zero. Accanto a ogni numero m, egli scrive il numero n ottenuto da m scambiando di posto la prima e l’ultima cifra, e poi annota il massimo comune divisore d tra m ed n. Determinare il massimo valore possibile per d e sommarlo al numero delle sue cifre. Gara a Squadre 2016 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 1/5
2/5 Gara a Squadre 2016 – Finale Nazionale – Testi dei problemi
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0008 Fonte: apri PDF p.10
Max MCD(m,n) by exchanging the first/last digit + n digits
On the planet Geodesis, between one evil plan and the other, Count Sudooku delights in writing numbers of up to 10 digits with the first and last digits different between them and from zero. Next to each number m, he writes the number n obtained from m by exchanging the first and last digits, and then notes the maximum common divisor d between m and n. Determine the maximum possible value for d and add it to the number of its digits. Team competition 2016 National final Problem texts 1/5
2/5 Team competition 2016 National final Problems
Answer: 0008 src_cesenatico_2016_finale__Q06
Superficie visibile torre a 6 prismi
La sede del Consiglio La Torre dell’Alto Consiglio, sul pianeta Coruscantor, è costruita su sei livelli. Quello più in basso ha la forma di un prisma retto la cui base è un ottagono regolare di lato 10, e la cui altezza è a sua volta lunga 10. I livelli successivi hanno anch’essi la forma di prismi retti, le cui basi sono (nell’ordine) ettagonale, esagonale, pentagonale, quadrata e triangolare. Rispetto al precedente, ogni livello ha altezza doppia e lati di base lunghi la metà. Inoltre gli assi dei diversi prismi coincidono. Quanto misura la superficie visibile della torre?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 3782 Fonte: apri PDF p.11
Visible surface of the six prism tower
The Council’s headquarters The Tower of the High Council, on the planet Coruscantor, is built on six levels. The bottom one is shaped like a straight prism whose base is a regular octagon on side 10, and whose height is its length 10. The subsequent levels are also in the form of straight prisms, the bases of which are (in order) hexagonal, hexagonal, pentagonal, square and triangular. Compared to the previous one, each level has double height and half the base sides. Furthermore, the axes of the different prisms coincide. What is the visible surface of the tower?
Answer: 3782 src_cesenatico_2016_finale__Q07
Prime 4 cifre somma codici Fibonacci (controllo)
[⋆]La miniera separatista Su Mustafausdorff, un pianeta vulcanico dove ogni coppia di punti è separata da due crateri, vi è un’intesa attività di estrazione di minerali. I droidi impiegati per la lavorazione sono divisi in due squadre, e ciascuno di essi ha assegnato un codice di protocollo che consiste in un numero intero positivo. All’i-esimo droide della prima squadra è assegnato il codice ai, con a1 = a2 = 1 e an+1 = an +an−1 per n ≥2. All’i-esimo droide della seconda squadra è assegnato il codice bi, con b1 = 1 e bn+1 = an+1 +bn per n ≥1. A causa di alcuni malfunzionamenti, viene effettuato un controllo qualità sui droidi. Al 1792-esimo droide della prima squadra viene chiesto di sommare i codici di protocollo dei primi 1789 droidi della sua squadra, addizionare il proprio codice, e sottrarre dal risultato la somma dei codici dei primi 1789 droidi della seconda squadra. Quali sono le prime quattro cifre del numero così ottenuto?
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1791 Fonte: apri PDF p.11
*First four digits sum of Fibonacci codes (control) *
[⋆]The separatist Su Mustafausdorff mine, a volcanic planet where each pair of dots is separated by two craters, has an extensive mineral extraction activity. The droids used for processing are divided into two teams, each of which has assigned a protocol code consisting of a positive integer. The first team’s eighth droid is assigned the code a, with a1 = a2 = 1 and an+1 = an +an−1 for n ≥2. The second team’s eighth droid is assigned the code bi, with b1 = 1 and bn+1 = an+1 +bn for n ≥1. Due to some malfunctions, quality control is carried out on the droids. The 1792nd droid of the first team is asked to add the protocol codes of the first 1789 droids of his team, add their own code, and subtract from the result the sum of the codes of the first 1789 droids of the second team. What are the first four digits of the number thus obtained?
Answer: 1791 src_cesenatico_2016_finale__Q08
Prodotto XZYW (proiezioni, DF=114)*
Aiutami, Obi-Van! “Aiutami, Obi-Van Kampenobi, sei la mia unica speranza: risolvi questo problema di geometria!”. Il droide cilindrico quadridimensionale R2 ×D2 continua la richiesta d’aiuto della principessa Liea trasmettendo i dati del problema: “Sia ABC un triangolo, con BAC = 40°e ABC = 100°. Sia D un punto qualsiasi sulla bisettrice uscente da A. Siano X, Y le proiezioni di D su AB, AC, rispettivamente. Siano poi E, F i punti di intersezione (distinti da B, C) rispettivamente della circonferenza circoscritta a ABD e della circonferenza circoscritta a ADC con la retta BC. Detta W la proiezione di E su AC e Z la proiezione di F su AB, calcolare il prodotto delle lunghezze dei segmenti XZ e Y W, sapendo che il segmento DF misura 114”.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 3249 Fonte: apri PDF p.11
Product XZYW (projections, DF=114) *
Help me out, Obi-Van! Help me, Obi-Van Kampenobi, you are my only hope: solve this problem of geometry! The four-dimensional cylindrical droid R2 ×D2 continues Princess Liea’s request for help by transmitting the problem data: If ABC is a triangle, with BAC = 40° and ABC = 100°. Whether D is any point on the beam coming out of A. So X, Y, the projections of D on AB, AC, respectively. Then E, F are the intersection points (different from B, C) of the circumference circumscribed at ABD and the circumference circumscribed at ADC with the BC straight respectively. For example, if the projection of E on the AC and Z on the F on the AB, calculate the product of the lengths of the XZ and Y W segments, knowing that the DF segment measures 114.
Answer: 3249 src_cesenatico_2016_finale__Q09
Cifre 1 nella numerazione binaria di 1..2016
Planimetrie crittografate La principessa Liea, prima di essere imprigionata, ha salvato nella memoria del droide R2 ×D2 tutti i dati sulla Morte Nera in 2016 diversi file. Il droide li ha numerati in base 2 da 1 a 2016 e li ha crittografati. La chiave di accesso è il numero di cifre 1 che compaiono in totale nella numerazione dei file. Che numero deve inserire l’Alleanza Ribelle per avere accesso ai dati sulla Morte Nera?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0998 Fonte: apri PDF p.11
Figure 1 in binary numbering of 1..2016
Princess Liea, before being imprisoned, saved in the memory of droid R2 ×D2 all the data on the Black Death in 2016 several files. The droid numbered them on base 2 from 1 to 2016 and encrypted them. The access key is the number of digits 1 that appear in total in the file numbering. What number does the Rebel Alliance have to enter to access Black Death data?
Answer: 0998 src_cesenatico_2016_finale__Q10
multipli di 3 con cifre 1..b-1 in base b
Geometria in nero Il contrabbandiere Han Singleton nasconde nella sua nave, il Millennium Problem, delle casse di compassi laser da utilizzare durante la gara a squadre. Ciascuna cassa è etichettata con un numero multiplo di 3. Il pilota nota che per ognuno di questi numeri esiste una base b, con 2 ≤b ≤100, utilizzando la quale il numero risulta avere tutte le cifre da 1 a b−1 in ordine crescente da sinistra a destra. Un esempio è la cassa numero 27, perché 27 si scrive “123” in base 4. Quante sono al massimo le casse?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0033 Fonte: apri PDF p.11
multiple of 3 with digits 1..b-1 based on b
Black geometry Smuggler Han Singleton hides in his ship, the Millennium Problem, laser compass boxes to use during the team competition. Each box is labeled with a multiple of 3. The pilot notes that for each of these numbers there is a base b, with 2 ≤b ≤100, using which the number turns out to have all the digits from 1 to b−1 in increasing order from left to right. An example is box number 27, because 27 is written 123 in base 4. How many boxes are there?
Answer: 0033 src_cesenatico_2016_finale__Q11
Probabilita 4 pezzi tornino agli angoli dopo 2016 salti
Una partita degenere Per passare il tempo sul Millennium Problem, Han Singleton e il suo copilota Chewbashev spesso giocano a Dejenerik. Un giorno la scacchiera olografica 3×3 viene lasciata accesa nel mezzo di una partita, in una configurazione in cui vi sono esattamente quattro pezzi disposti sulle quattro caselle d’angolo. Ogni minuto ciascuno dei quattro pezzi salta casualmente su una delle caselle adiacenti (in orizzontale o in verticale, non in diagonale); tutte le caselle di destinazione consentite per un pezzo hanno la medesima probabilità di essere scelte. Dopo 2016 salti i pezzi si fermano. Sapendo che nessuna coppia di pezzi si è mai incontrata sulla medesima casella, determinare la probabilità che alla fine i pezzi occupino ancora i quattro angoli della scacchiera (eventualmente in un ordine diverso da quello iniziale). Si risponda indicando la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: monovarianti, Sfruttamento della simmetria Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0010 Fonte: apri PDF p.11
Chances are 4 pieces will return to the corners after 2016 jumps
To spend time on the Millennium Problem, Han Singleton and his co-pilot Chewbashev often play Dejenerik. One day the holographic chessboard 3×3 is left on in the middle of a game, in a configuration where there are exactly four pieces arranged on the four corner boxes. Each minute each of the four pieces jumps randomly onto one of the adjacent boxes (horizontal or vertical, not diagonal); all the destination boxes allowed for a piece have the same probability of being selected. After 2016, jumping pieces stop. Knowing that no pair of pieces have ever met on the same box, determine the probability that eventually the pieces will still occupy the four corners of the chessboard (possibly in a different order from the original one). The sum of the numerator and denominator of the fraction reduced to the minimum terms is given.
Answer: 0010 src_cesenatico_2016_finale__Q12
Somma num+den di q(-4/3)/q(-2) (polinomio da radici)
Terzo grado Il temibile Mond Vander sta interrogando la principessa Liea per ottenere le coordinate della base ribelle segreta. Ella si fa infine sfuggire l’informazione cruciale: il numero del settore in cui si trova la base è dato dalla somma tra numeratore e denominatore della frazione q(−4/3)/q(−2) (ridotta ai minimi termini). Per fortuna il polinomio q(x) è complicato da costruire, e gli ufficiali dell’Impero stanno ancora cercando di calcolarlo. Per ottenerlo bisogna partire dal polinomio p(x) = x3 −6x2 +4x+12, chiamare a, b e c le sue radici reali, e considerare come polinomio q(x) quello di terzo grado avente come radici ab + a + b, bc + b + c, ca + c + a e tale che q(2015) = 20162017. Qual è il numero cercato dall’Impero?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0082 Fonte: apri PDF p.11
*sum of q(-4/3)/q(-2) (polynomial of roots) *
Third degree The fearsome Mond Vander is questioning Princess Liea to obtain the coordinates of the secret rebel base. Finally, the crucial information is omitted: the number of the sector in which the base is located is given by the sum of the numerator and denominator of the fraction q(−4/3)/q(−2) (reduced to the minimum terms). Fortunately, the polynomial q(x) is complicated to construct, and Imperial officials are still trying to figure it out. To obtain it, we must start from the polynomial p(x) = x3 −6x2 +4x+12, call a, b and c its real roots, and consider as a polynomial q(x) that of the third degree having as roots ab + a + b, bc + b + c, ca + c + a and such that q(2015) = 20162017. What’s the number the Empire is looking for?
Answer: 0082 src_cesenatico_2016_finale__Q13
somma divisori pari = somma mult. di 5
Base ribelle a portata di tiro Gli ufficiali dell’Impero hanno capito che la base ribelle segreta si trova su una delle 2016 lune di Yacobin (numerate da 1 a 2016). Alcune spie hanno rivelato informazioni cruciali riguardo al numero n corrispondente alla luna su cui si trova la base ribelle: la somma dei divisori positivi pari di n è uguale alla somma dei divisori positivi multipli di 5 di n, ed n ha almeno 13 divisori positivi pari. Quale luna deve essere distrutta dall’Impero?
Gara a Squadre 2016 – Finale Nazionale – Testi dei problemi 3/5
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1200 Fonte: apri PDF p.11
- sum of equal divisors = sum mult. di 5*
Imperial officials have learned that the secret rebel base is located on one of Yacobin’s 2016 moons (numbered 1 to 2016). Some spies have revealed crucial information about the number n corresponding to the moon on which the rebel base is located: the sum of the positive divisors equal to n is equal to the sum of the positive divisors multiplied by 5 of n, and n has at least 13 positive divisors equal to n. Which moon must be destroyed by the Empire?
Team competition 2016 National final Problems 3/5
Answer: 1200 src_cesenatico_2016_finale__Q14
formazione pentagono ed esagono senza resti
Caccia in formazione Una squadriglia di caccia LTE è formata da un certo numero di astronavi (maggiore di 1), che possono disporsi in diverse formazioni. Una formazione a n-agono consiste di una nave circondata da un certo numero di n-agoni concentrici. L’n-agono più interno è formato da n navi, il secondo da 2n, il terzo da 3n, e così via fino a quello più esterno. La squadriglia di cui fa parte Mond Vander può disporsi in formazione a pentagono e ad esagono senza che avanzino navi in nessuno dei due casi. Da quante astronavi è composta, al minimo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0331 Fonte: apri PDF p.12
- pentagon and exaggeration formation without residues*
A LTE fighter squadron is made up of a number of spacecraft (greater than 1), which can be arranged in different formations. An n-agon formation consists of a ship surrounded by a number of concentric n-agons. The innermost n-agon is formed by n vessels, the second by 2n, the third by 3n, and so on up to the outermost one. The squadron of which Mond Vander is a member can be deployed in pentagonal and hexagonal formation without ships advancing in either case. How many starships is it made up of, at least?
Answer: 0331 src_cesenatico_2016_finale__Q15
Distanza Luke dall’incentro (60 gradi, BC)
Distruggere la Morte Nera! Luke Randomwalker, a bordo del suo caccia, deve riuscire a distruggere la Morte Nera. Deve colpire un obiettivo posto nell’incentro di un triangolo acutangolo ABC formato da 3 torrette tali che ∠BAC = 60°e BC = 2016 √ 3 m. Luke si trova sullo stesso piano delle torrette e del bersaglio, alla distanza di 2016 m sia da B che da C e dalla parte opposta di A rispetto a BC. Quanto è distante in metri Luke dal suo obiettivo?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2016 Fonte: apri PDF p.12
*Distance of Luke from the centre (60 degrees, BC) *
Destroy the Black Death! Luke Randomwalker, aboard his fighter, must be able to destroy the Black Death. It shall hit a lens located in the centre of an ABC acute triangle consisting of 3 turrets such that BAC = 60° and BC = 2016 √ 3 m. Luke is located on the same plane as the towers and the target, at a distance of 2016 m from both B and C and on the opposite side of A with respect to BC. How far in meters is Luke from his target?
Answer: 2016 src_cesenatico_2016_finale__Q16
Ultima cifra di 1^1+2^2+…+2016^2016
Salto nell’iperspazio Han Singleton e Chewbashev devono effettuare il salto nell’iperspazio per seminare dei caccia imperiali all’inseguimento. Per farlo con sicurezza però devono completare un ultimo calcolo, che consiste nel trovare il valore della somma 11 +22 +33 +…+20162016. Qual è l’ultima cifra di tale numero?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.12
Last figure of 1^1+2^2+…+2016^2016
Han Singleton and Chewbashev must make the jump in space to sow imperial hunting to the pursuit. To do so safely, however, they must complete a final calculation, which consists of finding the value of the sum 11 +22 +33 +…+20162016. What is the last digit of that number?
Answer: 0004 src_cesenatico_2016_finale__Q17
Distanza EF (quadrilatero ciclico, bisettrici, PF/PE)
[⋆]A caccia del Millennium Problem Il cacciatore di taglie Bobo Fett sta inseguendo l’ambita nave di Han Singleton, il Millennium Problem, per la quale l’Impero ha messo in palio un milione di Crediti Galattici. Sullo schermo del computer di bordo, l’ubicazione delle navi è individuata a partire da un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza. Il Millennium Problem si trova nel punto E, intersezione dei prolungamenti di AB e CD, mentre la nave di Bobo si trova nel punto F, intersezione dei prolungamenti di BC e AD. Il computer riporta le distanze delle due navi dal punto d’incontro P delle bisettrici degli angoli ∠AEC e ∠AFC: PF = 1612 e PE = 1209. Qual è la distanza tra le due navi?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2015 Fonte: apri PDF p.12
*EF distance (cyclic quadrilateral, bisetters, PF/PE) *
The Millennium Problem hunter Bobo Fett is chasing Han Singleton’s ambitious ship, the Millennium Problem, for which the Empire has pledged a million Galactic Credits. On the on-board computer screen, the location of the vessels is indicated from an ABCD quadrilateral inscribed in a circumference. The Millennium Problem is at point E, intersection of the AB and CD extensions, while Bobo’s ship is at point F, intersection of the BC and AD extensions. The computer records the distances of the two ships from the meeting point P of the angles AEC and AFC: PF = 1612 and PE = 1209. What’s the distance between the two ships?
Answer: 2015 src_cesenatico_2016_finale__Q18
Somma n<1000 con rotazioni cicliche multiple di n
[⋆]Ardue da vedere, le proprietà di n sono Sul paludoso pianeta di Dagoldbach, il maestro Yoneda sta addestrando Luke Randomwalker. Per affinarne la mente, Yoneda interroga Luke sulle proprietà di un certo intero positivo n. L’apprendista osserva che, per ogni numero di cinque cifre abcde multiplo di n (a, b, c, d, e rappresentano le cifre del numero ed a è diverso da zero), anche eabcd, deabc, cdeab e bcdea sono multipli di n. Quanto vale la somma di tutti gli n < 1000 che verificano questa condizione?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1630 Fonte: apri PDF p.12
sum n<1000 with multiple cyclic rotations of n
Hard to see, the properties of n are on the swampy Dagoldbach planet, Master Yoneda is training Luke Randomwalker. To sharpen his mind, Yoneda questions Luke about the properties of a certain positive integer n. The learner notes that for any number of five digits abcde multiple of n (a, b, c, d, and represent the digits of the number and a is different from zero), also eabcd, deabc, cdeab and bcdea are multiples of n. What is the sum of all the n < 1000 that have this condition?
Answer: 1630 src_cesenatico_2016_finale__Q19
Min n con probabilita 1/2016 (cammino aleatorio grafo)
[⋆]Passeggiata aleatoria interplanetaria Luke Randomwalker sta cercando un posto sicuro dove nascondersi, e per farlo viaggia in incognito a bordo di navi mercantili. Le navi scelte da Luke seguono rotte che collegano tra loro n pianeti. Tra di essi vi sono: Coruscantor, dove Luke si trova all’inizio; Banahch-Torsk, un ameno pianeta doppio dove Luke si ferma immediatamente (se ci passa); Taodana, sede del covo di Maz Karamata, dove ci sono così tante spie del Prim’Ordine che è certo che qualcuno lo riconosca e lo uccida. Da ogni pianeta (esclusi Taodana e Banahch-Torsk) partono rotte unidirezionali verso esattamente altri due pianeti, e da al massimo uno di questi due esiste una successione di rotte che consente di tornare al pianeta appena lasciato. Ogni volta che lascia un pianeta, Luke sceglie a caso tra le due rotte possibili (con uguale probabilità) e si ferma solamente se arriva su Banahch-Torsk oppure se viene ucciso su Taodana. Sapendo che la probabilità che arrivi sano e salvo su Banahch-Torsk è 1/2016, quanto vale n come minimo?
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0013 Fonte: apri PDF p.12
*Min n with probability 1/2016 (random graph path) *
Interplanetary random walk Luke Randomwalker is looking for a safe place to hide, and to do so, he travels unknown aboard merchant ships. The ships Luke has chosen follow routes connecting planets. Among them are: Coruscantor, where Luke is at the beginning; Banahch-Torsk, a tiny double planet where Luke stops immediately (if he passes by); Taodana, the seat of Maz Karamata’s lair, where there are so many spies from the First Order that it is certain that someone recognizes him and kills him. From each planet (excluding Taodana and Banahch-Torsk) one-way routes start to exactly two other planets, and from at most one of these two there is a sequence of routes that allows you to return to the planet you just left. Each time he leaves a planet, Luke chooses at random between the two possible routes (with equal probability) and stops only if he arrives on Banahch-Torsk or is killed on Taodana. Knowing that the probability of arriving safely at Banahch-Torsk is 1/2016, what’s the minimum value of n?
Answer: 0013 src_cesenatico_2016_finale__Q20
n iniziale del solitario (operazione su frazioni)
Passatempi robotici Un solitario molto diffuso tra i droidi funziona come segue. Innanzitutto bisogna scegliere un numero n, e salvare in memoria i seguenti numeri (nell’ordine): 1, 1 2, 1 3, … , 1 n. Dopodiché si prosegue in questo modo, finché non rimane un solo numero: si eliminano i primi due numeri a e b presenti nella lista, e si salva in memoria in fondo alla lista il nuovo numero ab (a+1)(b+1)−1. In un momento di svago il droide BB-∞fa una partita al solitario, ottenendo 1 229 come numero finale. Quanto vale il numero n scelto inizialmente?
Topic: successioni Metodo: monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 0020 Fonte: apri PDF p.12
*n initial of the solitary (fraction operation) *
A very widespread droid loner works like this. First, you have to choose a number n, and save the following numbers in memory (in order): 1, 1 2, 1 3, … , 1 n. Then proceed in this way, until only one number remains: the first two numbers a and b in the list are deleted, and the new number ab (a+1) (b+1)−1 is saved in memory at the bottom of the list. In a moment of leisure the droid BB-∞ makes a solo match, getting 1 229 as the final number. How much is the number n chosen initially?
Answer: 0020 src_cesenatico_2016_finale__Q21
p(p(x))=p(x)^40+x^80+q(x)
Pronti a sparare La stazione Starkilling è pronta a ridurre in mille pezzi la base della Resistenza su D’Haar. La procedura di fuoco è stata avviata con largo anticipo per evitare spiacevoli inconvenienti dell’ultimo minuto, come un attacco a sorpresa che sfrutti il punto debole della stazione. Al momento di dare l’ordine, tuttavia, il generale Hooke si rende conto che il codice di conferma era salvato sul computer distrutto da Maklo Rin in un momento d’ira. Per fortuna si ricorda come calcolarlo: tale codice è pari al minimo grado possibile di un polinomio q(x) per cui esista un polinomio p(x) che soddisfila relazione p(p(x)) = p(x) 40 +x80 +q(x); entrambi i polinomi devono essere non nulli e avere coefficienti reali. Qual è il codice di conferma?
4/5 Gara a Squadre 2016 – Finale Nazionale – Testi dei problemi
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: 0042 Fonte: apri PDF p.12
p(p(x))=p(x)^40+x^80+q(x)
Starkilling Station is ready to cut down the Resistance base on DHaar into a thousand pieces. The fire procedure was initiated well in advance to avoid last minute inconvenience, such as a surprise attack that exploits the station’s weak point. When he gives the order, however, General Hooke realizes that the confirmation code was saved on the computer destroyed by Maklo Rin at a later time. Fortunately, remember how to calculate it: this code is equal to the minimum possible degree of a polynomial q(x) so there is a polynomial p(x) that satisfies the relation p(p(x)) = p(x) 40 +x80 +q(x; both polynomials must be non-zero and have real coefficients. What’s the confirmation code?
4/5 Team competition 2016 National final Problem texts
Answer: 0042 src_cesenatico_2016_finale__Q22
Area minima rombo iterato (assi, area intera)
Cercando Luke Il cavaliere GeDi Luke Randomwalker ha cominciato a viaggiare a caso di pianeta in pianeta, lasciando pochissime informazioni sul suo percorso. Fortunatamente, i pianeti su cui si muove si trovano tutti sullo stesso piano. La giovane Ramsrey vuole rintracciarlo per restituirgli la sua riga laser, e riesce a scoprire che Luke al momento è all’interno di un rombo ABCD di area 3222180 con ∠BAC = 30°. Ella trova inoltre un modo di restringere il campo: prende gli assi relativi ai lati del rombo e chiama A′, B′, C′, D′ le intersezioni a due a due degli assi relativi alle coppie di lati consecutivi. In questo modo ottiene un quadrilatero più piccolo. Ramsrey continua a ripetere il procedimento finché ottiene quadrilateri di area intera. Sa per certo che Luke si trova entro i confini del più piccolo di questi. Quanto è grande l’area che Ramsrey deve esplorare?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4420 Fonte: apri PDF p.13
*Minimum area of rotation (axis, whole area) *
Looking for Luke The GeDi knight Luke Randomwalker has begun traveling randomly from planet to planet, leaving very little information about his path. Fortunately, the planets on which it moves are all on the same plane. The young Ramsrey wants to track him down to return his laser line, and she manages to discover that Luke is currently inside an ABCD box of area 3222180 with BAC = 30°. She also finds a way to narrow the field: she takes the axes relative to the sides of the rim and calls A′, B′, C′, D′ the two-to-two intersections of the axes relative to the consecutive side pairs. This way you get a smaller quadrilateral. Ramsrey keeps repeating the procedure until he gets full-area quadrilaterals. You know for a fact that Luke is within the confines of the smallest of these. How big is the area Ramsrey has to explore?
Answer: 4420 src_cesenatico_2016_finale__Q23
Prodotto pentagonitriangoli (solido facce miste)*
Non è una luna, quella… Gl’ingegneri del Prim’Ordine (usando la leggendaria logica del Prim’Ordine) stanno studiando una forma alternativa per la prossima Morte Nera. Per eliminare i punti deboli tipici delle stazioni spaziali sferiche, il nuovo progetto prevede una struttura data da un solido le cui facce siano triangoli equilateri e pentagoni regolari. Inoltre in ogni vertice si incontrano esattamente un pentagono e quattro triangoli. Uno degl’ingegneri esclama: “Che strano! Il prodotto tra il numero di pentagoni e quello di triangoli è uguale alla combinazione della mia valigia”. Quanto vale questa combinazione?
U XVII Gara Nazionale a Squadre Finale Nazionale – Soluzioni – 7 Maggio 2016 Nr. Problema
Topic: Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0960 Fonte: apri PDF p.13
Manufacture in which all the materials of Chapter 87 used are wholly obtained
It’s not a moon, that… Engineers of the First Order (using the legendary logic of the First Order) are studying an alternative form for the next Black Death. In order to eliminate the weaknesses typical of spherical space stations, the new design includes a structure given by a solid whose faces are equilateral triangles and regular pentagons. Also, at each summit exactly one pentagon and four triangles meet. An engineer exclaims: “What a strange thing! The product between the number of pentagons and the number of triangles is the same as the combination of my suitcase. How much is this combination worth?
U XVII National Competition to National Final Teams Solution 7 May 2016 Nr. The problem
Answer: 0960 src_cesenatico_2016_finale__Q24