Valori di S con S^2 divisore somma pagine teoria
Numeri di pagina Le Schede Galattiche per Turisti sono il libro di problem-solving più venduto dell’universo, anche perché riportano in copertina la rassicurante scritta “Lavorare! Lavorare! Lavorare!”. Esse hanno 420 pagine numerate da 1 a 420, alcune delle quali contengono teoria ed altre esercizi. La somma dei numeri di pagina delle pagine di esercizi, che chiameremo S, è tale che S2 divide la somma dei numeri di pagina delle pagine contenenti teoria. Quali valori diversi può assumere S? Rispondere indicando la somma di questi valori.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0240 Fonte: apri PDF p.1
Values of S with S^2 divider sum theory pages
The Galactic Sheets for Tourists are the best-selling problem-solving book in the universe, also because they feature the reassuring words Work! Get to work! I’m going to work. They have 420 pages numbered from 1 to 420, some of which contain theory and other exercises. The sum of the page numbers of the exercise pages, which we’ll call S, is such that S2 divides the sum of the page numbers of the pages containing theory. What different values can S assume? Answer by indicating the sum of these values.
Answer: 0240 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q01
Numeri base 2016 con cifre 0/1 multipli di 100
[⋆]I problemi delle Schede Le Schede Galattiche contengono semplici problemi come il seguente. Consideriamo tutti i numeri che in base 2016 hanno esattamente dieci cifre e si scrivono in tale base usando solo le cifre zero e uno. Quanti di questi numeri sono multipli di cento? Con ‘cento’, si intende il numero 100 in base dieci.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0014 Fonte: apri PDF p.1
Basic numbers 2016 with digits 0/1 multiple of 100
[⋆]Galactic Cards problems contain simple problems such as the following. Let’s consider all the numbers that in 2016 have exactly ten digits and are written in that base using only the digits zero and one. How many of these numbers are multiples of a hundred? By cent, we mean the number 100 on the basis of ten.
Answer: 0014 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q02
Lunghezza EX (tangente alla circonferenza inscritta)
Svincolo complicato La casa di Arthur Dehn sta per essere distrutta per fare posto ad uno svincolo! Esso ha la forma di un quadrato ABCD di lato 1500 in cui è inscritta una circonferenza Γ. Dal punto E del lato AB tale che AE = 750 √ 2 parte una strada rettilinea (non sovrapposta ad AB) tangente a Γ, che interseca in X la retta CD. Quanto misura EX?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2121 Fonte: apri PDF p.1
*Ex length (key to inscribed circumference) *
Arthur Dehn’s house is about to be demolished to make way for a hook! It has the shape of a square ABCD on the side 1500 inscribed with a circumference Γ. From the point E of side AB such that AE = 750 √ 2 starts a straight (not overlapping to AB) road tangent to Γ, which intersects the straight CD in X. How big is EX?
Answer: 2121 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q03
Probabilita due teletrasporti (ritardi geometrici)
[⋆]Autostop in due passaggi Anche la Terra sta per essere distrutta per fare posto a uno svincolo iperspaziale. Square Perfect ha escogitato un piano per salvarsi insieme ad Arthur. Essi dovranno teletrasportarsi su una nave Bogon, attendere almeno mezz’ora su di essa che il loro dispositivo di teletrasporto si ricarichi, e poi potranno trasferirsi con il dispositivo su un’altra nave spaziale che dovrebbe incrociare la nave Bogon 11 ore più tardi rispetto all’ora in cui è previsto il loro arrivo (il dispositivo di teletrasporto funziona solo quando le due navi sono vicine). In realtà, purtroppo, nulla assicura che le due navi saranno in orario: ognuna di esse, indipendentemente dall’altra, ha 1 2 di probabilità di arrivare in orario, 1 4 di avere un’ora di ritardo, 1 8 di probabilità di averne due, 1 16 di averne tre, e così via. Qual è la probabilità che i nostri due eroi riescano a teletrasportarsi due volte come da programma? Rispondere indicando la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6143 Fonte: apri PDF p.1
*Probability of two teleports (geometric delays) *
Even Earth is about to be destroyed to make way for a hyperspace curve. Square Perfect came up with a plan to save himself and Arthur. They will have to teleport on a Bogon ship, wait at least half an hour on it for their teleportation device to recharge, and then they can transfer with the device to another spacecraft that is expected to cross the Bogon ship 11 hours later than their expected arrival time (the teleportation device only works when the two ships are close together). In fact, unfortunately, there is no guarantee that the two ships will be on time: each of them, regardless of the other, has 12 chances of arriving on time, 14 of being one hour late, 18 of having two, 16 of having three, and so on. What are the odds that our two heroes will be able to teleport twice as scheduled? Answer by stating the sum of the numerator and denominator of the fraction reduced to the minimum terms.
Answer: 6143 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q04
Max AC con BCDE ciclico (ABMD, ACME ciclici)
Geometria Bogon I Bogon hanno scoperto i due autostoppisti sulla loro nave! Ora il sovrintendente Krylov-Bogonlyubov li ha costretti a risolvere un problema della terribile Geometria Bogon, la seconda peggiore di tutto l’universo. Hanno di fronte un triangolo ABC con AB = 7623 e BC = 8000. Detto M il punto medio di BC, sono stati costretti a scegliere punti D,E sui segmenti AC,AB rispettivamente, in modo che ABMD e ACME siano ciclici. Per liberarsi, devono trovare il massimo valore di AC tale che BCDE sia ciclico. Qual è questo valore?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 7623 Fonte: apri PDF p.1
*Max AC with cyclic BCDE (ABMD, cyclic ACME) *
Bogon I Bogon discovered the two hitchhikers on their ship! Now Superintendent Krylov-Bogonlyubov has forced them to solve a problem of the terrible Bogon geometry, the second worst in the entire universe. They’re facing an ABC triangle with AB = 7623 and BC = 8000. Given M the BC middle point, they were forced to choose D,E points on the AC,AB segments respectively, so that ABMD and ACME are cyclic. To free themselves, they must find the maximum AC value such that BCDE is cyclic. What’s this value?
Answer: 7623 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q05
128(p1+…+p35) sottoinsiemi somma pari*
[⋆]Pari o dispari? Arthur e Square sono arrivati sulla Sezione D’Oro, la nave del presidente galattico Jacob Googolplex, uno strano alieno a due teste. Esse amano fare tra loro questo gioco. Scelto un intero positivo n, la prima testa elenca tutti i possibili sottoinsiemi di {1,2,…,n}, urlando ad uno ad uno i numeri presenti in ognuno di essi. Per esempio, se n = 2, essa urla “Uno! Due! Uno! Due!”, perché i sottoinsiemi sono {1},{2},{1,2}. La seconda testa lo ferma mentre sta urlando uno di questi numeri (scegliendo a caso tra tutti gli elementi della sequenza con la stessa probabilità), e vince se esso proviene da un sottoinsieme la cui somma degli elementi è pari. Detta pn la sua probabilità di vittoria, Gara a Squadre 2016 – Semifinale A – Testi dei problemi – 1/3
2/3 Gara a Squadre 2016 – Semifinale A – Testi dei problemi calcolare 128(p1 +p2 +p3 +··+p35).
Topic: Combinatoria, Probabilita e statistica Metodo: Doppio conteggio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2144 Fonte: apri PDF p.1
128(p1+…+p35) sub-sets equal to *
Couple or odd? Arthur and Square have arrived at the Golden Section, the ship of Galactic President Jacob Googolplex, a strange two-headed alien. They like to play this game with each other. Selecting a positive integer n, the first head lists all possible subsets of {1,2,…,n}, shouting one by one the numbers present in each of them. For example, if n is equal to 2, it screams One! Two of them! One of them! Two!, because the subsets are {1,2}, {1,2}. The second head stops him as he is shouting one of these numbers (choosing randomly from all the elements in the sequence with the same probability), and wins if it comes from a subset whose sum of the elements is equal. Determined by his chances of victory, Team Race 2016 Semifinal A Problem Tests 1/3
Two thirds Competition in Teams 2016 Semifinal A Test of the calculation problems 128(p1 +p2 +p3 +··+p35).
Answer: 2144 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q06
Ultime 3 cifre di a_2016+3a_2015 (ricorrenza)
La specie più intelligente Gli umani non sono che la terza specie più intelligente del pianeta Terra, dopo i delfini e i topi. Difatti, data una successione tale che a0 = 1, a1 = 2, e an = an−1 +12an−2 per ogni n ≥2, i topi sanno calcolare immediatamente quanto vale a2016 +3a2015. Gli umani invece possono al massimo determinare le ultime tre cifre di questo numero. Quali sono queste ultime tre cifre?
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0120 Fonte: apri PDF p.2
*Last three digits of a_2016+3a_2015 (recurrence) *
The most intelligent species humans are only the third most intelligent species on planet Earth, after dolphins and mice. In fact, given a sequence such that a0 = 1, a1 = 2, and an = an−1 +12an−2 for each n ≥2, mice can immediately calculate what is worth 2016 +3a2015. Humans, on the other hand, can only determine the last three digits of this number. What are these last three digits?
Answer: 0120 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q07
Anni con due fattori primi ab e ba tra oggi e 3000
L’anno fuggente Arthur ha già incontrato ad una festa Trillion, la nuova fiamma del presidente Jacob. Lì avevano fatto questa conversazione: “Pensa, è appena finito il 2015 e non mi ero accorta che esso ha 13 e 31 come fattori primi. Non capita spesso che un anno abbia due fattori primi che si scrivono in base 10 con le cifre ab e ba, con a ̸= b. Non dovremmo perderci eventi come questi!”. Per quanti altri anni sarà vera questa proprietà tra oggi e l’anno 3000?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.2
Years with two prime factors ab and ba between today and 3000
In the past year Arthur has already met at a party Trillion, the new flame of President Jacob. They had this conversation there: Think, 2015 is just over, and I didn’t realize that it has 13 and 31 as prime factors. It doesn’t often happen that a year has two prime factors that are written on base 10 with the digits ab and ba, with a =b. We shouldn’t miss events like this! How many more years will this property be true between now and the year 3000?
Answer: 0004 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q08
Resto somma alpha_i^4 mod 2243 (radici)
[⋆]Il robot depresso “Fai questo, fai quello… Su questa nave mi danno solo compiti ridicoli come dimostrare che 2243 è un numero primo” pensava tra sé e sé Artin, il robot della Sezione D’Oro. “Un cervello bionico come il mio può calcolare immediatamente anche quali sono i cinque numeri interi positivi α1,α2,…,α5 minori di 2243 tali che α5 i +2016αi +2016 è multiplo di 2243 per ogni i. E so anche dire quanto fa il resto di α4 1 +α4 2 +··+α4 5 nella divisione per 2243. Ma nessuno me lo chiede mai!” Sapreste dire anche voi quanto vale questo resto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0908 Fonte: apri PDF p.2
The remaining sum alpha_i^4 mod 2243 (roots)
The depressed robot, do this, do that… On this ship, they only give me ridiculous tasks like proving that 2243 is a prime number. He thought to himself, Artin, the robot from the Golden Section. A bionic brain like mine can immediately calculate also what the five positive integers α1,α2,…,α5 are smaller than 2243 such that α5 i +2016αi +2016 is multiple 2243 for each i. And I can also tell you how much the rest of α4 is 1 +α4 2 +··+α4 5 divided by 2243. But no one ever asks me that! Can you tell me how much the rest is worth?
Answer: 0908 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q09
Valore ABCF+BCAD+ACBE (ortocentro)*
[⋆]Burocrazia Bogon I Bogon hanno catturato Trillion! Arthur può liberarla con un ordine presidenziale di rilascio firmato da Jacob, ma prima deve sottostare a un’altra sessione di geometria Bogon. Sia ABC un triangolo di ortocentro H con AB = 84, AC = 32 √ 3 e
BAC = 60°. Siano D un punto sul segmento AH tale che 7AD = AH, E un punto sul segmento BH tale che 7BE = BH, F un punto sul segmento CH tale che 7CF = CH. Quanto vale AB ·CF +BC ·AD +AC ·BE?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1152 Fonte: apri PDF p.2
This is the total value of the assets under management of the institution.
Bogon bureaucracy The Bogons have captured Trillion! Arthur can release her with a presidential release order signed by Jacob, but first she must undergo another Bogon geometry session. Whether ABC is an H orthogonal triangle with AB = 84, AC = 32 √ 3 and \ BAC = 60°. If D is a point on the AH segment such that 7AD = AH, and a point on the BH segment such that 7BE = BH, F is a point on the CH segment such that 7CF = CH. What is AB ·CF +BC ·AD +AC ·BE worth?
Answer: 1152 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q10
Probabilita nessun ufficio rifiuti (1/k^2, p+q)
La burocrazia non finisce mai Dopo aver superato il primo ufficio Bogon, Jacob deve visitarne altri trenta, numerati da 2 a 31. Per ogni k, l’ufficio recante il numero k ha una probabilità 1 k2 , indipendentemente dagli altri, di rifiutare l’ordine presidenziale. Qual è la probabilità che nessuno dei trenta uffici rimanenti rifiuti il modulo? Rispondere indicando la somma di numeratore e denominatore ridotti ai minimi termini.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0047 Fonte: apri PDF p.2
Probably no office for waste (1/k^2, p+q)
The bureaucracy never ends After passing the first Bogon office, Jacob must visit 30 more, numbered 2 to 31. For every k, the office with the number k has a 1 k2 probability, regardless of the others, of rejecting the presidential order. What are the chances that none of the remaining 30 offices will reject the form? Answer by indicating the sum of numerator and denominator reduced to minimum terms.
Answer: 0047 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q11
Somma valori del risultato in criptaritmetica
Le coordinate di Mathratea Arthur sta cercando di scoprire le coordinate del pianeta Mathratea decifrando i numeri in un’antica iscrizione. È riuscito a scoprire questa somma tra numeri scritti in base 10, scritta in un antico sistema in cui ogni simbolo rappresenta una cifra diversa (e i numeri non possono cominciare con la cifra 0): ♥♠+♦♥♠+♣♦♥♠= ♣♥♠♠. Essa è preziosissima per decifrare la loro scrittura, visto che non sono molti i valori che può assumere il risultato ♣♥♠♠. Calcolate la quantità che si ottiene dividendo per dieci la somma di tutti suoi possibili valori.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3413 Fonte: apri PDF p.2
Summary result values in cryptography
Arthur is trying to find the coordinates of the planet Mathratea by deciphering the numbers in an ancient inscription. He managed to discover this sum among numbers written in base 10, written in an ancient system in which each symbol represents a different number (and the numbers cannot start with the number 0): ♥+♦♥+♣♦♥= ♣♥. It is very valuable for deciphering their writing, since there are not many values that can assume the result ♣♥. Calculate the amount you get by dividing by ten the sum of all its possible values.
Answer: 3413 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q12
Probabilita astronave percorra 10+ miglia
Improbabilità crescente Jacob ha attivato il motore a improbabilità crescente, un dispositivo sperimentale installato per la prima volta nella Sezione D’Oro. La nave prosegue in questo modo: dapprima ha una probabilità 7/10 di muoversi per un miglio galattico (altrimenti sta ferma), poi una probabilità 6/10 di fare due miglia, poi 5/10 di fare tre miglia, 4/10 di farne quattro, e infine 3/10 di farne cinque. Qual è la probabilità che l’astronave percorra 10 o più miglia galattiche? Rispondere indicando le prime quattro cifre decimali di questa probabilità.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2256 Fonte: apri PDF p.2
The probability of a spacecraft traveling 10+ miles
Increasing Improbability Jacob activated the Increasing Improbability Engine, an experimental device first installed in the Gold Section. The ship proceeds like this: first it has a 7/10 chance of moving for a galactic mile (otherwise it’s still), then a 6/10 chance of going two miles, then 5/10 chance of going three miles, 4/10 chance of going four, and finally 3/10 chance of going five. What is the probability that the spacecraft will travel 10 or more galactic miles? Answer by indicating the first four decimal places of this probability.
Answer: 2256 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q13
Area BCGF (parallela e intersezioni, FP/PG/GF)
[⋆]Il povero capodoglio Il motore a improbabilità crescente ha portato i nostri eroi su Mathratea, ma nel frattempo ha creato un vaso di fiori e un capodoglio in caduta libera a diversi chilometri dalla superficie del pianeta. Che evento improbabile! Il povero cetaceo, mentre precipitava, ebbe appena il tempo di inventare questo problema. Sia ABC un triangolo e siano D e E rispettivamente dei punti su AB e AC tali che AD = 1 5AB e AE = 1 3AC. Detta r la parallela a BC passante per A, siano F l’intersezione tra r e CD, G l’intersezione tra r e BE e P l’intersezione tra CD e BE. Sapendo che FP = 35, PG = 100 e GF = 117, determinare l’area di BCGF.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 8918 Fonte: apri PDF p.2
*BCGF area (parallels and intersections, FP/PG/GF) *
The improbable engine of increasing improbability has brought our heroes to Mathratea, but in the meantime has created a vase of flowers and a free-falling headgear several miles from the planet’s surface. What an unlikely event! The poor cetacean, as he fell, barely had time to invent this problem. Both ABC a triangle and D and E respectively of the points on AB and AC such that AD = 1 5AB and AE = 1 3AC. For the parallel to BC passing through A, be F the intersection between r and CD, G the intersection between r and BE and P the intersection between CD and BE. Knowing that FP = 35, PG = 100 and GF = 117, determine the area of BCGF.
Answer: 8918 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q14
Valori di p(3) per cubici monici con vincoli
Un fiordino Su Mathratea il costruttore di mondi, Schwarzibartfast, sta costruendo una copia esatta del pianeta Terra, completa fino all’ultimo fiordo. Inizialmente voleva costruire un fiordo per ogni possibile polinomio monico a coefficienti reali di grado 3 tale che p(1) = 1, p(2) = 2 e p(3) è un intero. Rendendosi conto che questi sono infiniti, ha deciso di limitarsi a quelli in cui tutti i coefficienti hanno valore assoluto minore o uguale a 5600. Quanti valori diversi può assumere p(3)?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Risposta: 7467 Fonte: apri PDF p.2
Values of p(3) for monic cubic feet with constraints
A fjord on Mathratea the world builder, Schwarzibartfast, is building an exact copy of planet Earth, complete to the last fjord. Initially he wanted to build a fjord for every possible monic polynomial with real coefficients of degree 3 such that p(1) = 1, p(2) = 2 and p(3) is an integer. Realizing that these are infinite, he decided to limit himself to those in which all the coefficients have an absolute value of less than or equal to 5600. How many different values can p(3) assume?
Answer: 7467 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q15
Valore di -1^3-2^3+3^3+4^3-…+16^3 (segni alternati)
L’ultima risposta Dopo lunghi anni, il computer costruito dai Mathrateani è riuscito a calcolare la risposta alla Domanda (qualunque essa sia). Essa è pari alla quantità −13 −23 +33 +43 −··+153 +163, in cui i segni di fronte ai cubi sono alternativamente due meno e due più. Sfortunatamente, esso è stato distrutto prima di completare l’ultimo passo, cioè calcolare il valore di questa somma. Sapreste completare questo calcolo?
U XVII Gara Nazionale a Squadre Semifinale A – Soluzioni – 6 Maggio 2016 Don’t Panic! Nr. Problema
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4456 Fonte: apri PDF p.2
*Value of -1^3-2^3+3^3+4^3-…+16^3 (alternate signs) *
After many years, the computer built by the Mathrateans was able to calculate the answer to the Question (whatever it is). It is equal to the quantity −13 −23 +33 +43 −··+153 +163, where the signs in front of the cubes are alternately two less and two more. Unfortunately, it was destroyed before the last step, which is to calculate the value of this sum, was completed. Can you complete this calculation?
U XVII National Team Semifinal Competition A Solution 6 May 2016 Dont Panic! Nr. The problem
Answer: 4456 src_cesenatico_2016_semifinale_a__Q16