due circonferenze stesso raggio
Siano a e b due numeri reali positivi. Consideriamo un esagono regolare di lato a, e costruiamo sui suoi lati sei rettangoli di lati a e b, disposti esternamente all’esagono. I dodici nuovi vertici giacciono su una circonferenza. Ripetiamo l’operazione precedente, ma scambiando fra loro i valori di a e b: ossia, partiamo da un esagono regolare di lato b e costruiamo su di esso, sempre esternamente all’esagono, sei rettangoli di lati a e b. Otteniamo che i dodici nuovi vertici giacciono su una seconda circonferenza. Dimostrare che le due circonferenze hanno lo stesso raggio.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
two circumferences of the same radius
Let a and b be two positive real numbers. Let’s consider a regular hexagon on side a, and build on its sides six rectangles of sides a and b, arranged externally to the hexagon. The twelve new peaks lie on a circumference. We repeat the previous operation, but exchanging the values of a and b: that is, we start from a regular hexagon on side b and build on it, always externally to the hexagon, six rectangles of sides a and b. We get that the twelve new vertices lie on a second circumference. Demonstrate that the two circumferences have the same radius.
soluzioni intere finite
Sia n ≥2 un numero intero. Consideriamo le soluzioni (a, b, c) del sistema di equazioni ( n = a + b −c n = a2 + b2 −c2, dove a, b, c sono numeri interi. Dimostrare che c’è almeno una soluzione e che ci sono un numero finito di soluzioni.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
finished whole solutions
Let n ≥2 be an integer. Consider the solutions (a, b, c) of the system of equations (n = a + b −c n = a2 + b2 −c2, where a, b, c are integers. Demonstrate that there is at least one solution and that there are a finite number of solutions.
quanti mazzetti girati
Maga Magò ha un mazzo di 52 carte, disposte in pila, con il dorso in alto. Magò separa il mazzetto costituito dalle sette carte in cima alla pila, lo capovolge, e lo mette sotto alla pila. Ora tutte le carte sono nuovamente in pila, ma non tutte hanno ancora il dorso in alto: le sette in fondo sono girate al contrario. Magò ripete l’operazione precedente finch´e non si verifica di nuovo che tutte le carte hanno il dorso in alto. In totale, quanti mazzetti di sette carte ha girato Magò?
Topic: Combinatoria Metodo: parita, monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 112 Fonte: apri PDF p.2
*how many spins *
Magician has a deck of 52 cards, stacked in piles, with the back up. Magogo separates the seven-card deck at the top of the pile, flips it over, and puts it under the pile. Now all the cards are back in the pile, but not all of them have their backs up yet: the bottom seven have turned upside down. Magno repeats the previous operation until it happens again that all the cards have their backs up. In total, how many seven-card deals did Magog make?
Answer: 112 src_cesenatico_2017__Q03
prodotti spigoli opposti uguali
ABCD è un tetraedro con la seguente proprietà: detti A′, B′, C′, D′, rispettivamente, gli incentri delle facce BCD, ACD, ABD ed ABC, si ha che le rette AA′, BB′, CC′ e DD′ hanno un punto in comune. Dimostrare che il prodotto delle lunghezze di due spigoli opposti del tetraedro è costante, ossia che AB·CD = AC ·BD = AD · BC.
Topic: Geometria solida Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
- equal opposite corners *
ABCD is a tetrahedron with the following properties: A′, B′, C′, D′, respectively, the centers of the faces BCD, ACD, ABD and ABC, so that the directions AA′, BB′, CC′ and DD′ have one thing in common. Demonstrate that the product of the lengths of two opposite sides of the tetrahedron is constant, i.e. AB·CD = AC·BD = AD·BC.
esiste xi >= 2017
Sia x1, x2, x3, … una successione di interi positivi tale che, per ogni m, n interi positivi, valga xmn ̸= xm(n+1). Dimostrare che esiste un intero positivo i tale che xi ≥2017.
Topic: successioni Metodo: Principio dei cassetti, Induzione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
This is the total amount of the contribution from the Union to the project.
Whether x1, x2, x3, … a sequence of positive integers such that for every m, n positive integers, xmn = xm(n+1). Demonstrate that a positive integer such as xi ≥2017.
Infiniti m con num. fattori primi dispari di m(m+3) multiplo di 3
Dimostrare che esistono infiniti interi positivi m tali che il numero di fattori primi distinti dispari di m(m+3) è un multiplo di 3. Nota: Per esempio, ill numero 60 = 22 · 3 · 5 ha due fattori primi distinti dispari e il numero 1050 = 2 · 3 · 52 · 7 ne ha tre.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Induzione Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Endless m with num. Unusual prime factors of m(m+3) multiple of 3*
To prove that there are infinitely many positive integers m such that the number of distinct prime factors of m*m+3) is a multiple of 3. Note: For example, the number 60 = 22 · 3 · 5 has two distinct odd prime factors and the number 1050 = 2 · 3 · 52 · 7 has three.