altezza della bottiglia
Una bottiglia a forma di cono poggia sulla sua base. Viene riempita d’acqua finch´e il livello del liquido non raggiunge 8 centimetri misurati in verticale sotto il vertice del cono. Se ora si capovolge la bottiglia, senza cambiare la quantità di acqua al suo interno, lo spazio che rimane vuoto nella parte superiore del cono rovesciato è alto 2 centimetri. Quanto è alta la bottiglia?
Topic: Geometria solida Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 1+sqrt(85) Fonte: apri PDF p.1
height of the bottle
A cone-shaped bottle rests on its base. It is filled with water until the level of the liquid reaches 8 centimetres measured vertically below the top of the cone. Now, if you turn the bottle around, without changing the amount of water inside, the space left empty at the top of the reversed cone is 2 centimeters high. How high is the bottle?
Answer: 1+sqrt(85) src_cesenatico_2018__Q01
GS perpendicolare a BC
Sia ABC un triangolo acutangolo, con AB ̸= AC e con baricentro G. Detto M il punto medio di BC, consideriamo la circonferenza Γ di centro G e raggio GM e denotiamo con N l’intersezione di Γ con BC diversa da M. Sia ora S il punto simmetrico di A rispetto ad N, cioè il punto sulla retta AN tale che AN = NS (A ̸= S). Dimostrare che GS è perpendicolare a BC.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
GS perpendicular to BC
Whether ABC is an acutangol triangle, with AB =AC and with barycenter G. Given M the mean point of BC, let’s consider the circumference Γ of the center G and the GM radius and denote with N the intersection of Γ with BC other than M. Whether now S is the symmetrical point of A with respect to N, i.e. the point on the AN line such that AN = NS (A = S). Prove that GS is perpendicular to BC.
somma degli inversi < 3
Siano x1, x2, … , xn interi positivi. Supponiamo che, nella loro scrittura decimale, nessuno degli xi sia un “prolungamento” di un altro xj. Per esempio, 123 è un prolungamento di 12, e 459 è un prolungamento di 4, ma 134 non è un prolungamento di 123. Dimostrare che 1 x1
- · · + 1 xn < 3.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
sum of reverses < 3
They’re x1, x2, … , xn positive integers. Let’s assume that, in their decimal writing, none of xi is an extension of another xj. For example, 123 is an extension of 12, and 459 is an extension of 4, but 134 is not an extension of 123. Prove that 1 x1 + · · + 1 xn < 3.
doppio di primo o potenza di primo
Sia N un intero maggiore di 1. Chiamiamo x il più piccolo intero positivo con la seguente proprietà: esiste un intero positivo y strettamente minore di x −1 tale che x divide N + y. Dimostrare che x è il doppio di un numero primo o una potenza di un numero primo. Nota: si ricorda che x è una potenza di un numero primo se esistono un primo p ed un intero positivo n ≥1 tali che x = pn.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
double first or power first
Let N be an integer greater than 1. We call x the smallest positive integer with the following property: there is a positive integer y narrowly less than x −1 such that x divides N + y. Prove that x is the double of a prime number or a power of a prime number. Note: remember that x is a power of a prime number if there exists a prime p and a positive integer n ≥1 such that x = pn.
Minimo numero di sottosequenze di 6 cifre per x irrazionale
Dato un numero reale x compreso fra 0 e 1, consideriamo la sua scrittura decimale 0, c1c2c3 … Chiamiamo B(x) l’insieme delle diverse sottosequenze di sei cifre consecutive che compaiono nella sequenza c1c2c3 … Per esempio, B(1/22) = {045454, 454545, 545454}. Determinare il minimo numero di elementi di B(x) al variare di x fra i numeri irrazionali compresi fra 0 e 1 (ossia quelli il cui sviluppo decimale non è n´e finito, n´e periodico da un certo punto in poi.)
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7 Fonte: apri PDF p.1
Minimum number of sub-sequences of 6 digits for irrational x
Given a real number x between 0 and 1, let ‘s consider its decimal writing 0, c1c2c3 … Let ‘s call B x) the sum of the different subsequences of six consecutive digits that appear in the sequence c1c2c3 … For example, B(1/22) = {045454, 454545, 545454}. Determine the minimum number of elements of B(x) by varying x between the irrational numbers between 0 and 1 (i.e. those whose decimal development is not finite, n is periodic from a certain point onwards.)
Answer: 7 src_cesenatico_2018__Q05
punti conciclici e intersezione su Omega
Sia ABC un triangolo tale che AB = AC e sia I il suo incentro. Sia Γ la circonferenza circoscritta ad ABC. Le rette BI e CI intersecano Γ in due nuovi punti, denotati rispettivamente M ed N. Sia D un altro punto di Γ, giacente sull’arco BC che non contiene A, e siano E, F, rispettivamente, le intersezioni di AD con BI e con CI. Siano infine P e Q, rispettivamente, le intersezioni di DM con CI e di DN con BI. (i) Dimostrare che i punti D, I, P, Q giacciono su una medesima circonferenza Ω. (ii) Dimostrare che le rette CE e BF si intersecano su Ω.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
concyclic points and intersections on Omega
So ABC is a triangle such that AB is AC and I is its center. Whether Γ the circumference circumscribed at ABC. The lines BI and CI intersect Γ in two new points, marked M and N respectively. Whether D is another point of Γ, lying on the arc BC that does not contain A, and whether E, F, respectively, are the intersections of AD with BI and CI. Finally, P and Q are the intersections of DM with CI and DN with BI, respectively. (i) Demonstrate that points D, I, P and Q lie on the same circumference Ω. (ii) Demonstrate that the EC and BF lines intersect on Ω.