AD,BE,CF concorrono
Sia ABCDEF un esagono inscritto in una circonferenza e tale che AB = BC, CD = DE ed EF = AF. Dimostrare che i segmenti AD, BE e CF concorrono (cioè hanno un punto in comune).
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
AD,BE,CF compete
Either ABCDEF is a hexagon inscribed in a circumference and such that AB = BC, CD = DE and EF = AF. Demonstrate that segments AD, BE and CF compete (i.e. have one point in common).
se p+q^2 quadrato allora p^2+q^n non lo e’
Siano p, q numeri primi. Dimostrare che, se p + q2 è un quadrato perfetto, allora il numero p2 + qn non è un quadrato perfetto per nessun intero positivo n.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
*if p+q^2 squared then p^2+q^n is not *
Let’s say p, q are prime numbers. Prove that if p + q2 is a perfect square, then the number p2 + qn is not a perfect square for any positive integer n.
unico modo
Sia n un intero maggiore di 2. Si vogliono colorare di rosso esattamente n+1 dei numeri 1, 2, · · , 2n−1, 2n in modo tale che non ci siano tre numeri distinti x, y, z colorati di rosso che soddisfano l’uguaglianza x + y = z. Dimostrare che esiste uno e un solo modo di scegliere i numeri da colorare di rosso che rispetti la condizione data.
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: {n+1,…,2n} (unico) Fonte: apri PDF p.1
- single mode *
Let n be an integer greater than 2. They want to color red exactly n+1 of the numbers 1, 2, · · , 2n−1, 2n so that there are no three distinct numbers x, y, z colored red that satisfy the equality x + y = z. Demonstrate that there is one and only one way to choose numbers to color red that meets the given condition.
Answer: {n+1,…,2n} (unico) src_cesenatico_2019__Q03
Se floor(lambda^n+1)..floor(lambda^4n) quadrati allora floor(lambda) quadrato
Denotiamo con bxc il più grande intero di x. Siano λ ≥1 un numero reale, e n un intero positivo, tali che bλn+1c, bλn+2c, … , bλ4nc sono tutti quadrati perfetti. Dimostrare che bλc è un quadrato perfetto.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
If the floor is square then the floor is square
Let’s denote with bxc the largest integer of x. If λ ≥1 is a real number, and n is a positive integer, such as bλn+1c, bλn+2c, … , b4nc are all perfect squares. Prove that bλc is a perfect square.
AX perpendicolare a XC
Sia ABC un triangolo acutangolo. Siano D il piede della bisettrice interna da A ed M il punto medio di AD. Sia inoltre X un punto sul segmento BM tale che \MXA = \DAC. Dimostrare che AX è perpendicolare a XC.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
AX perpendicular to XC
Let ABC be a triangle with an acute angle. Let D be the foot of the inner vertex from A and M the midpoint of AD. In addition, X is a point on the BM segment such that \MXA = \DAC. Demonstrate that AX is perpendicular to XC.
quante sequenze fanno vincere Barbara
Alberto e Barbara sono seduti, l’uno accanto all’altra, davanti a un tavolo su cui hanno disposto in fila, da sinistra verso destra, 15 cioccolatini. Alcuni dei cioccolatini sono al latte, gli altri al cioccolato fondente. A turno, iniziando da Alberto, giocano al seguente gioco: durante il proprio turno, ciascuno dei due deve mangiare un numero strettamente positivo di cioccolatini consecutivi, cominciando sempre da quello più a sinistra fra quelli rimasti e facendo in modo che il numero di cioccolatini mangiati dello stesso tipo del primo sia dispari (ad esempio, se in un certo turno la sequenza di cioccolatini rimasti è LLFLF, dove L sta per al latte e F per fondente, il giocatore di turno può mangiare il primo cioccolatino da sinistra, i primi 4 da sinistra, o tutti e 5 i cioccolatini). Vince chi mangia l’ultimo cioccolatino. Tra le 215 possibili sequenze iniziali di gusti dei cioccolatini, quante sono quelle per cui Barbara ha una strategia vincente?
XXXV Olimpiade Italiana di Matematica Cesenatico, 3 maggio 2019 Soluzioni
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio, monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8320 Fonte: apri PDF p.1
How many sequences do Barbara win?
Alberto and Barbara are seated, one next to the other, in front of a table on which they have placed in line, from left to right, 15 chocolates. Some of the chocolates are milk, others are melted chocolate. In turn, starting with Alberto, they play the following game: during their turn, each of the two must eat a strictly positive number of consecutive chocolates, always starting from the one to the left of the remaining ones and making sure that the number of chocolates eaten of the same type as the first is odd (e.g., if in a certain turn the sequence of remaining chocolates is LLFLF, where L stands for milk and F for bottom, the turn player can eat the first chocolate from the left, the first 4 from the left, or all 5 chocolates). Whoever eats the last chocolate wins. Out of the 215 possible initial sequences of chocolate flavorings, how many do Barbara have a winning strategy for?
XXXV Italian Games of Cesenatic Mathematics, 3 May 2019
Answer: 8320 src_cesenatico_2019__Q06