AC||DE e AE=CD
Su una circonferenza consideriamo nell’ordine cinque punti A, B, C, D, E. Supponiamo che le rette BC e DE si intersechino in un punto F, che F e A siano da parti opposte rispetto alla retta BE, e che la circonferenza circoscritta al triangolo BFE sia tangente (in E) alla retta AE. (a) Dimostrare che le rette AC e DE sono parallele. (b) Dimostrare che AE = CD.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
AC||DE e AE=CD
On a circumference we consider in the order five points A, B, C, D, E. Suppose that the lines BC and DE intersect at a point F, that F and A are on opposite sides to the BE line, and that the circumference circumscribed to the BFE triangle is tangent (in E) to the AE line. (a) Demonstrate that the AC and DE lines are parallel. (b) Demonstrate that AE = CD.
b-a primo, cifra unita di a+b =3, ab quadrato
Determinare tutte le coppie (a, b) di numeri interi positivi che verificano le seguenti tre condizioni: • b > a e b −a è un numero primo, • la cifra delle unità di a + b è 3, • ab è il quadrato di un numero intero.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
b-a first, unit number of a+b = 3, ab squared
Determine all pairs (a, b) of positive integers that satisfy the following three conditions: • b > a and b −a is a prime number, • the unit number of a + b is 3, • ab is the square of an integer.
soluzioni finite
Siano a1, a2, … , a2020 e b1, b2, … , b2020 dei numeri reali, non necessariamente distinti. Supponiamo che gli interi positivi n per cui l’equazione a1|x −b1| + a2|x −b2| + · · + a2020|x −b2020| = n (1) ha esattamente due soluzioni reali siano in numero finito. Dimostrare che gli interi positivi n per cui l’equazione (1) ha almeno una soluzione reale sono in numero finito.
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1
finished solutions
They’re a1, a2… , a2020 e b1, b2, … , b2020 of real numbers, not necessarily distinct. Suppose that the positive integers n for which the equation a1dix −b1dix + a2dix −b2dix + · · · + a2020dix −b2020 = n (1) has exactly two real solutions are finite. Demonstrate that the positive integers n for which equation (1) has at least one real solution are finite.
tre rette concorrenti iff CE=CM
Sia ABC un triangolo acutangolo con AB = AC. Sia D il piede dell’altezza uscente da C, sia M il punto medio di AC, e sia E la seconda intersezione tra il lato BC e la circonferenza circoscritta al triangolo CDM. Dimostrare che le rette AE, BM e CD passano per uno stesso punto se e solo se CE = CM.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
three competing lines if CE=CM
So ABC is an acute triangle with AB = AC. Both D is the foot of the height exiting C, and M is the midpoint of AC, and E is the second intersection between the BC side and the circumference circumscribed at the CDM triangle. Demonstrate that AE, BM and CD lines pass through the same point if and only if CE = CM.
max e min di f(2020)
Sia S l’insieme degli interi maggiori o uguali a 2. Una funzione f : S →S si dice primordiale se verifica le seguenti proprietà: • è surgettiva (cioè per ogni s ∈S esiste almeno un n ∈S tale che f(n) = s), • è crescente sui primi (cioè se p1 < p2 sono numeri primi, allora f(p1) < f(p2)), • per ogni n ∈S, il valore di f(n) è il prodotto di f(p) al variare di p tra tutti i primi che dividono n (quindi, per esempio, f(360) = f(23 · 32 · 5) = f(2) · f(3) · f(5)). Determinare il massimo ed il minimo valore possibile per f(2020), al variare di f tra tutte le funzioni primordiali.
Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita, manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
*max and min of f(2020) *
Either S is the sum of integers greater than or equal to 2. A function f: S →S is said to be primordial if it has the following properties: • it is surjective (i.e. for every s ∈S there is at least one n ∈S such that f(n) = s), • it is increasing on primes (i.e. if p1 < p2 are prime numbers, then f(p1) < f(p2)), • for every n ∈S, the value of f(n) is the product of f(p) when f ((p) varies between all primes dividing n (so, for example, f((360) = f(23 · 32 · 5) = f2) · f3) · f5)). Determine the maximum and minimum possible value for f(2020), as f varies between all primordial functions.
numero configurazioni compatibili
In ogni casella di una tabella 8 × 8 abita un cavaliere o un furfante. Come da tradizione, i cavalieri dicono sempre la verità, mentre i furfanti mentono sempre. Tutti gli abitanti della tabella affermano che “il numero dei furfanti nella mia colonna è maggiore (strettamente) del numero dei furfanti nella mia riga”. Determinare quante sono le possibili configurazioni compatibili con questa affermazione.
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
number of compatible configurations
In each box of a table 8 × 8 there is a knight or a cunning man. As is customary, knights always tell the truth, while crooks always lie. All the people in the table say that the number of thieves in my column is more (strictly) than the number of thieves in my row. Determine how many possible configurations are compatible with this statement.