a e’ potenza di 54
Siano a e b interi positivi tali che 54a = ab. Dimostrare che a è una potenza di 54, cioè esiste un intero positivo c tale che a = 54c.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
*a is power of 54 *
If a and b are positive integers such that 54a = ab. Prove that a is a power of 54, that is, there exists a positive integer c such that a = 54c.
stabilita e minimo k
Sia n un intero positivo. Su una lavagna Bobo scrive n interi maggiori o uguali a zero. Successivamente, ad ogni mossa Bobo • per ogni i = 1, … , n calcola il numero ai di interi scritti in quel momento sulla lavagna e minori o uguali a i, • cancella tutti i numeri scritti, • scrive sulla lavagna i numeri a1, a2, … , an. Ad esempio, se n = 5 e i numeri scritti inizialmente sono 0, 7, 2, 6, 2, dopo la prima mossa saranno 1, 3, 3, 3, 3, dopo la seconda mossa saranno 1, 1, 5, 5, 5, e così via. (a) Dimostrare che, per ogni n e per ogni configurazione iniziale, da un certo punto in poi i numeri scritti sulla lavagna non cambiano più. (b) Determinare, in funzione di n, il minimo intero positivo k con la proprietà che, per qualsiasi configurazione iniziale, le mosse dalla k-esima in poi non cambiano più i numeri scritti sulla lavagna.
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita, monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: k=2n+1 Fonte: apri PDF p.1
stability and minimum k
Let it be a positive integer. On a board, Bobo writes n integers greater than or equal to zero. Next, for every Bobo move • for every i = 1, … , n calculates the number a of integers written at that time on the board and less than or equal to i, • deletes all the numbers written, • writes on the board the numbers a1, a2, … , an. For example, if n = 5 and the numbers written initially are 0, 7, 2, 6, 2, after the first move will be 1, 3, 3, 3, 3, after the second move will be 1, 1, 5, 5, 5, and so on. (a) Demonstrate that, for each n and for each initial configuration, the numbers written on the board do not change from a certain point onwards. (b) Determine, as a function of n, the positive minimum integer k with the property that, for any initial configuration, moves from k-eighth to next no longer change the numbers written on the board.
Answer: k=2n+1 src_cesenatico_2023__Q02
Esistenza a,b distinti con 2023a+s(a)=… e a+2023s(a)=…
Per ogni intero positivo n, indichiamo con s(n) la somma delle cifre di n (nell’usuale rappresentazione in base 10). Così, per esempio, s(8) = 8, s(2023) = 7, s(573) = 15. (a) Determinare se esistono due interi positivi distinti a e b tali che 2023 · a + s(a) = 2023 · b + s(b). (b) Determinare se esistono due interi positivi distinti a e b tali che a + 2023 · s(a) = b + 2023 · s(b).
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: si in entrambi i casi Fonte: apri PDF p.1
Existence of a,b distinct from 2023a+s(a) =… e a+2023s(a)=…
For each positive integer n, we indicate with s(n) the sum of the digits of n (in the normal representation at base 10). So, for example, s(8) = 8, s(2023) = 7, s(573) = 15. (a) Determine whether there are two distinct positive integers a and b such that 2023 · a + s(a) = 2023 · b + s(b). (b) Determine whether there are two distinct positive integers a and b such that a + 2023 · s(a) = b + 2023 · s(b).
Answer: si in entrambi i casi src_cesenatico_2023__Q03
CEED massimo iff B,O,E,D conciclici*
Su una circonferenza di centro O e diametro AB, fissiamo un punto C distinto da A e B. Facciamo poi variare un punto D, anch’esso distinto da A e B, sull’arco AB della circonferenza a cui non appartiene C, e definiamo E come il punto del segmento CD tale che le rette BE e CD sono perpendicolari. Dimostrare che il prodotto CE · ED è massimo, al variare di D, se e solo se i punti B, O, E, D giacciono su una stessa circonferenza. Olimpiade Italiana di Matematica 2023 — Testi e soluzioni — Pag.1 di 15
Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
*CE *ED maximum if B,O,E,D conical *
On a circumference of center O and diameter AB, we fix a point C distinct from A and B. Then we vary a point D, also distinct from A and B, on the arc AB of the circumference to which C does not belong, and we define E as the point of the CD segment such that the BE and CD lines are perpendicular. Demonstrate that the EC·ED product is maximum, at the variation of D, if and only if points B, O, E and D lie on the same circumference. Italian Olympic Games of Mathematics 2023 - Texts and solutions - Page 1 of 15
massimo di somma e prodotto dei quadrati delle differenze
Siano a, b, c tre numeri reali (positivi, negativi o nulli) tali che a2 + b2 + c2 = 6. (a) Determinare il massimo valore possibile per l’espressione (a −b)2 + (b −c)2 + (c −a)2. (b) Determinare il massimo valore possibile per l’espressione (a −b)2 · (b −c)2 · (c −a)2. In entrambi i casi, specificare anche tutte le terne per cui il valore massimo viene raggiunto.
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche, Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 18 e 108 Fonte: apri PDF p.1
maximum sum and product of squares of differences
Three real numbers (positive, negative or zero) such that a2 + b2 + c2 = 6. (a) Determine the maximum possible value for the expression (a −b) 2 + (b −c) 2 + (c −a) 2. (b) Determine the maximum possible value for the expression (a −b) 2 · (b −c) 2 · (c −a) 2. In either case, also specify all the thresholds for which the maximum value is reached.
Answer: 18 e 108 src_cesenatico_2023__Q05
per quali c intrappola
Dedalo acquista un numero finito di stringhe (ciascuna di lunghezza finita) composte dalle cifre binarie 0 e 1. Per ognuna delle stringhe acquistate, Dedalo paga (1/2)L dracme, dove L indica la lunghezza della stringa. Il Minotauro scappa se riesce a trovare una sequenza infinita di cifre binarie che non contiene nessuna delle stringhe acquistate da Dedalo. Dedalo deve intrappolare il Minotauro. Per esempio, se Dedalo acquistasse le stringhe 00 e 11, pagando mezza dracma, il minotauro potrebbe scappare con la sequenza infinita 01010101… D’altro canto, Dedalo può intrappolare il Minotauro con una spesa di 75 centesimi di dracma: gli basterà, per esempio, acquistare le stringhe 0 e 11, oppure le stringhe 00, 11, 01. Determinare tutti gli interi positivi c per cui Dedalo può intrappolare il Minotauro con una spesa minore o uguale a c centesimi di dracma. Olimpiade Italiana di Matematica 2023 — Testi e soluzioni — Pag.2 di 15
XXXIX Olimpiade Italiana di Matematica Cesenatico, May 5th, 2023
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: ogni intero positivo c Fonte: apri PDF p.1
- for which c traps *
Dedalo buys a finite number of strings (each finite length) consisting of the binary digits 0 and 1. For each of the purchased strings, Dedalo pays (1/2)L drachmas, where L indicates the length of the string. The Minotaur escapes if he can find an infinite sequence of binary digits that contains none of the strings that Dedalo bought. Dedo has to trap the Minotaur. For example, if Dedalo bought the 00 and 11 strings, paying half a drachma, the minotaur could escape with the infinite sequence 01010101… On the other hand, Dedalus can trap the Minotaur at a cost of 75 cents of drachma: he will simply buy strings 0 and 11, or strings 00, 11, 01. Determine all positive integers c for which Dedalus can trap the Minotaur at a cost less than or equal to c c c c c cents of drachma. Italian Olympic Games of Mathematics 2023 - Texts and solutions - Page 2 of 15
XXXIX Italian Games of Cesenatic Mathematics, May 5th, 2023
Answer: ogni intero positivo c src_cesenatico_2023__Q06