esiste n con xn+2=xn
Jack scrive sulla lavagna il numero x0 = 20242024. Successivamente lo cancella e scrive al suo posto x1 = |x0 −π|. Poi cancella x1 e scrive al suo posto x2 = |x1 −π|, e così via. In altri termini, ad ogni mossa Jack cancella il numero xn scritto precedentemente e lo sostituisce con xn+1 = |xn −π|. Dimostrare che esiste un valore di n tale che xn+2 = xn.
Topic: successioni Metodo: monovarianti Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1
exists n with xn+2=xn
Jack writes on the board the number x0 = 20242024. And then he deletes it and writes in its place x1 = x0 −π Then you delete x1 and write in its place x2 = x1 −π, and so on. In other words, with each move, Jack deletes the previously written number xn and replaces it with xn+1 = ̊xn −π ̊. Prove that there is a value of n such that xn+2 = xn.
insieme dei punti mediani
Sia dato un quadrato di lato unitario nel piano. Un punto M del piano di dice mediano se esistono due punti P e Q, appartenenti al bordo del quadrato, tali che • il segmento PQ ha lunghezza unitaria, • M è il punto medio di PQ. Determinare l’insieme costituito da tutti e soli i punti mediani.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: due segmenti e quattro archi Fonte: apri PDF p.1
set of the median points
Let’s have a square of the unit side in the plane. A point M of the median plane says if there are two points P and Q, belonging to the edge of the square, such that • the segment PQ has unit length, • M is the middle point of PQ. Determine the whole of all the median points.
Answer: due segmenti e quattro archi src_cesenatico_2024__Q02
72, 71 e 72^71 sono egiziani?
Un intero n si definisce egiziano se esiste una sequenza di interi positivi strettamente crescente 0 < a1 < a2 < … < ak = n (quindi l’ultimo termine della sequenza è n) tale che 1 a1
- 1 a2
- · · + 1 ak = 1. (a) Determinare se il numero n = 72 è egiziano. (b) Determinare se il numero n = 71 è egiziano. (c) Determinare se il numero n = 7271 è egiziano.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 72 si, 71 no, 72^71 si Fonte: apri PDF p.1
Are 72, 71 and 72^71 Egyptians?
An integer n is defined as Egyptian if there exists a sequence of strictly increasing positive integers 0 < a1 < a2 < … < ak = n (so the last term of the sequence is n) such that 1 a1 + 1 a2 + · · + 1 ak = 1. (a) Determine whether the number n = 72 is Egyptian. (b) Determine whether the number n = 71 is Egyptian. (c) Determine whether the number n = 7271 is Egyptian.
Answer: 72 si, 71 no, 72^71 si src_cesenatico_2024__Q03
XS=PS e AX=DQ
Sia ABCD un rettangolo con AB < BC, inscritto in una circonferenza Γ. Siano P sull’arco BC (non contenente A) e Q sull’arco CD (non contenente A) tali che BP = CQ. La circonferenza di diametro AQ interseca nuovamente la retta AP in S. La retta per B e perpendicolare ad AQ interseca la retta AP in X. (a) Dimostrare che XS = PS. (b) Dimostrare che AX = DQ. Olimpiade Italiana di Matematica 2024 — Testi e soluzioni — Pag.1 di 14
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
XS=PS e AX=DQ
Whether ABCD is a rectangle with AB < BC, inscribed in a circumference Γ. They are P on the BC (not containing A) and Q on the CD (not containing A) such that BP = CQ. The circumference of diameter AQ again intersects the straight AP in S. The line for B and perpendicular to AQ intersects the line AP in X. (a) Demonstrate that XS = PS. (b) Demonstrate that AX = DQ. Italian Olympic Games of Mathematics 2024 — Texts and solutions — Page 1 of 14
minimo guardie per perimetro e area
Una fortezza è un insieme finito di caselle in una griglia quadrata infinita, con la proprietà che da ogni casella si può raggiungere ogni altra casella muovendosi sempre tra caselle con un lato in comune. I muri della fortezza sono i segmenti unitari della griglia che separano un quadrato della fortezza da un quadrato non appartenente alla fortezza. L’area A di una fortezza è il numero di quadrati che la compongono. Il perimetro P di una fortezza è la lunghezza totale dei suoi muri. Nella figura sottostante sono rappresentate tre possibili fortezze, con i relativi valori di area e perimetro. A = 23, P = 26 A = 20, P = 34 A = 17, P = 30 b Alcune caselle della fortezza possono contenere una guardia, che sorveglia tutte le caselle che si trovano sopra, sotto, a destra o a sinistra della sua posizione, senza muri in mezzo (ogni guardia sorveglia anche la casella in cui si trova). Ad esempio, una guardia posta nella casella con il puntino della prima fortezza sorveglia sei caselle, compresa quella in cui si trova. (a) Determinare il più piccolo k per cui k guardie sono sufficienti per sorvegliare ogni possibile fortezza con perimetro P ≤2024. (b) Determinare il più piccolo k per cui k guardie sono sufficienti per sorvegliare ogni possibile fortezza con area A ≤2024.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 506 e 1012 Fonte: apri PDF p.2
minimum guards per perimeter and area
A fortress is a finite set of boxes in an infinite square grid, with the property that from each box you can reach every other box by always moving between boxes with one side in common. The walls of the fortress are the unitary segments of the grid separating a square of the fortress from a square not belonging to the fortress. The area A of a fortress is the number of squares that make up it. The perimeter P of a fortress is the total length of its walls. The figure below shows three possible fortresses, with their area and perimeter values. A = 23, P = 26 A = 20, P = 34 A = 17, P = 30 b Some boxes of the fortress may contain a guard, who watches over all boxes located above, below, to the right or left of its position, without walls in the middle (each guard also watches over the box in which it is located). For example, a guard placed in the box with the tip of the first fortress guards six boxes, including the one in which it is located. (a) Determine the smallest k for which k guards are sufficient to monitor any possible fortress with perimeter P ≤2024. (b) Determine the smallest k for which k guards are sufficient to monitor any possible fortress with area A ≤2024.
Answer: 506 e 1012 src_cesenatico_2024__Q05
Minimo Mn per 1/a1+a1/a2+…+a(n-1)/an con interi crescenti
Per ogni intero positivo n, determinare il più piccolo numero reale Mn tale che 1 a1
- a1 a2
- a2 a3
- · · + an−1 an ≤Mn per ogni n-upla (a1, a2, … , an) di numeri interi tali che 1 < a1 < a2 < … < an.
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche, Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: M1=1/2, M2=7/6, Mn=n-1 per n>=3 Fonte: apri PDF p.2
Minimum Mn for 1/a1+a1/a2+…+a(n-1)/year with increasing integers
For each positive integer n, determine the smallest real number Mn such that 1 a1 + a1 a2 + a2 a3 + · · + an−1 an ≤Mn for each n-upple (a1, a2, … , an) of integers such as 1 < a1 < a2 < … < an.
Answer: M1=1/2, M2=7/6, Mn=n-1 per n>=3 src_cesenatico_2024__Q06