Minimo da spendere con monete 3,5,7 per merendina da 24
Esistono tre tipi di monete denominate in dollari altairiani (DA), del valore di 3 DA, 5 DA e 7 DA. Andromeda vorrebbe comprare una merendina da una di quelle macchinette malefiche che non restituiscono resto. Con le monete che possiede, potrebbe acquistare una merendina da 29 DA, pagando però 32 DA, e non ha modo di farlo con meno. C’è una merendina da 24 DA: quanto deve spendere Andromeda, al minimo, per averla?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 25 Fonte: apri PDF p.2
Minimum amount to be spent with 3.5,7 coins per 24-day snack
There are three types of coins denominated in Altair dollars (DA), with a value of 3 DA, 5 DA and 7 DA. Andromeda would like to buy a snack from one of those evil machines that don’t give back. With the coins he owns, he could buy a 29 DA snack, but he pays 32 DA, and he can’t do it with less. There’s a 24-day snack. How much does Andromeda have to spend, at least, to get it?
Answer: 25 src_cesenatico_2026_nazionale__Q01
Distanza VK vertice cono-sfera maggiore di 5 cm
Un cono retto e cavo di cialda croccante è alto 10 cm. Vi si introduce una sfera di gelato, centrata in un punto O dell’asse del cono e tangente alla superficie laterale del cono lungo la circonferenza della base. Sia V il vertice del cono e K il punto di intersezione del segmento VO con la superficie della sfera. Dimostrare che la distanza VK fra il vertice del cono e la sfera è maggiore di 5 cm.
Topic: Geometria solida, Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.3
VK distance of top cone sphere greater than 5 cm
A straight cone and a crunching chalk cable is 10 cm high. A sphere of ice is inserted, centered at a point O of the cone axis and tangent to the lateral surface of the cone along the circumference of the base. Whether V is the top of the cone and K is the intersection point of the VO segment with the surface of the sphere. Show that the VK distance between the top of the cone and the sphere is greater than 5 cm.
src_cesenatico_2026_nazionale__Q02
Coppie n>m con condizioni su minimo/massimo primo
(a) Determinare tutte le coppie di interi positivi n > m con la seguente proprietà: esiste un intero positivo a tale che il più piccolo numero primo che divide n + a coincide con il più piccolo numero primo che divide m + a. (b) Determinare tutte le coppie di interi positivi n > m con la seguente proprietà: esiste un intero positivo a tale che il più piccolo numero primo che divide n + a coincide con il più grande numero primo che divide m + a.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.6
Pairs n>m with conditions on minimum/maximum first
(a) Determine all pairs of positive integers n > m with the following property: there exists a positive integer such that the smallest prime dividing n + a coincides with the smallest prime dividing m + a. (b) Determine all pairs of positive integers n > m with the following property: there exists a positive integer such that the smallest prime dividing n + a coincides with the largest prime dividing m + a.
src_cesenatico_2026_nazionale__Q03
Dimostrare che angolo AFD e retto
Sia ABC un triangolo con AC > AB e D il punto medio dell’arco BC della circonferenza circoscritta ad ABC non contenente A. La retta perpendicolare ad AD passante per B interseca la retta parallela ad AD passante per C nel punto E. La retta parallela ad AB passante per E interseca AC nel punto F . Dimostrare che l’angolo
AFD è retto.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.8
Demonstrate that AFD and right angle
Whether ABC is a triangle with AC > AB and D the middle point of the arc BC of the circumference circumscribed to ABC not containing A. The line perpendicular to AD passing through B intersects the line parallel to AD passing through C at point E. The line parallel to AB passing through E intersects AC at point F . Demonstrate that the angle \ AFD is straight.
src_cesenatico_2026_nazionale__Q04
Massimo sottoinsieme distanziato di 1..2026
Un insieme di numeri interi positivi S si dice distanziato se non contiene alcuna coppia di elementi la cui differenza sia uno dei numeri 5, 10, 12, 17. Ad esempio, {1, 2, 3, 10, 30} è distanziato, mentre {1, 2, 3, 11} non lo è (perch´e 11 −1 = 10). Quanti elementi può avere, al massimo, un sottoinsieme distanziato di {1, 2, 3, … , 2025, 2026}?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, monovarianti Abilita: Conteggio sistematico, generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 646 Fonte: apri PDF p.11
Maximum distance subset of 1..2026
A set of positive integers S is said to be distant if it contains no pair of elements the difference of which is one of the numbers 5, 10, 12, 17. For example, {1, 2, 3, 10, 30} is distant, while {1, 2, 3, 11} is not (because 11 −1 = 10). How many elements can have, at most, a distant subset of {1, 2, 3, … , 2025, 2026}?
Answer: 646 src_cesenatico_2026_nazionale__Q05
Lunghezza fila di musicisti supera 42 m?
La banda “Mostly Harmless” è composta di nove musicisti che procedono in fila indiana. Inizialmente, la distanza fra ciascun musicista e il successivo è di un metro. Ad ogni colpo della grancassa, il primo della fila avanza di un metro. Poi, procedendo in ordine, dal secondo fino all’ottavo, ciascun musicista si dispone nel punto medio fra la posizione occupata da quello che lo precede e la posizione occupata da quello che lo segue. Infine, il nono, e ultimo, si porta un metro dietro all’ottavo. Dire se, dopo un numero sufficiente di colpi di grancassa, la fila supererà i 42 m di lunghezza. Olimpiadi Italiane della Matematica 2026 — Testi e soluzioni — Pag.1 di 15
Problema 1 – Soluzione. Andromeda deve spendere almeno 25 DA.
Topic: successioni, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti, Ricorsione Abilita: traduzione del testo, generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: No, max 37m Fonte: apri PDF p.13
The length of the line of musicians exceeds 42 m?
The band Mostly Harmless consists of nine musicians who perform in an Indian lineup. Initially, the distance between each musician and the next musician is one meter. With each shot of the crab, the first in line advances by a meter. Then, proceeding in order, from the second to the eighth, each musician stands in the middle between the position occupied by the one before him and the position occupied by the one following him. Finally, the ninth, and last, is a meter behind the eighth. To say whether, after a sufficient number of crawling shots, the line will exceed 42 m in length. Italian Mathematics Olympics 2026 - Texts and solutions - Page 1 of 15
Problem 1 Solution Andromeda must spend at least 25 DA.
Answer: No, max 37m src_cesenatico_2026_nazionale__Q06