Concours Général des Lycées 1990 — Matematica

Integer sequence with recurrence; find zeros and a general term

Let $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ be the sequence of integers defined by: $\{\begin{array}{l}{u}_0=0\text{ for every natural integer }n,\\ u_{2n}=u_n,\\ u_{2n+1}=1-u_n.\end{array}$

1. Compute $u_{100}$.
2. Determine the number of indices $n$, less than or equal to $1990$, such that $u_n=0$.
3. Let $p$ be an odd natural integer and $N=(2p-1{)}^2$. Compute $u_N$.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Ricorsione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza integrale con ricorrenza; trovare zero e termine generale

$(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sia la sequenza di integri definita da: $\{\begin{array}{l}{u}_0=0\text{ for every natural integer }n,\\ u_{2n}=u_n,\\ u_{2n+1}=1-u_n.\end{array}$

1. Calcolare $u_{100}$. 2. Determinare il numero di indici $n$, inferiori o uguali a $1990$, in modo tale che $u_n=0$. 3. $p$ sia un intero naturale parziale e $N=(2p-1{)}^2$. Calcolare $u_N$.

src_cgen_1990__Q01

Max pieces of painted regular tetrahedra with no two identical

A game consists of pieces in the form of regular tetrahedra with edges of length $1$.

All pieces are painted with the help of a palette of $n$ colours: each face of a tetrahedron is painted in a single colour, and the four faces of a tetrahedron are not necessarily all of different colours.

Determine the maximum number of pieces in the game, knowing that the game contains no two identical pieces.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Maximi pezzi di tetraedri regolari dipinti senza due identici

Un gioco è costituito da pezzi in forma di tetraedri regolari con bordi di lunghezza $1$.

Tutti i pezzi sono dipinti con l’aiuto di una palette di colori $n$: ogni faccia di un tetraedro è dipinta in un unico colore e le quattro facce di un tetraedro non sono necessariamente tutte di colori diversi.

Determinare il numero massimo di pezzi nel gioco, sapendo che non ci sono due pezzi identici.

src_cgen_1990__Q02

Find distinct naturals satisfying two reciprocal-sum identities

1. Find three distinct natural numbers $a,b,c$ (not necessarily distinct in value, but three specific numbers), such that: $\frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.$

2. Determine all $n$ natural numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$, distinct or not, verifying: $1=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots +\frac{1}{x_n^2}.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricercare naturali distinti che soddisfino due identità di somma reciproca

1. Trovare tre numeri naturali distinti $a,b,c$ (non necessariamente distinti in valore, ma tre numeri specifici), in modo tale che: $\frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.$

2. Determinare tutti i numeri naturali $n$ $x_1,x_2,\dots ,x_n$, distinti o meno, verificando: $1=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots +\frac{1}{x_n^2}.$

src_cgen_1990__Q03

Max area of triangle inscribed in square; max volume of tetrahedron in cube

1. What is the maximum area of a triangle whose vertices all lie in a given square?

2. What is the maximum volume of a tetrahedron whose vertices all lie in a given cube?

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area massima del triangolo inserito in quadrato; il volume massimo del tetraedro in cubo

1. Qual è la superficie massima di un triangolo le cui vertici si trovano tutti in un determinato quadrato?

2. Qual è il volume massimo di un tetraedro il cui vertice si trovano tutti in un determinato cubo?

src_cgen_1990__Q04

Triangle with incircle: area, perimeter, angle; existence and approximation

For every triangle $ABC$, denote by:

• $\Gamma$ the circle inscribed in the angle at vertex $A$;
• $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ the points of tangency of $\Gamma$ with the lines $(BC)$, $(CA)$, and $(AB)$ respectively;
• $FS(ABC)$ the area of the portion of the plane delimited by the segments $[AB]$, $[AC]$, and the arc $\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$ of $\Gamma$.

(See the figure on the following page.)

Show that there exist triangles $ABC$ of given perimeter $2p$ for which the area $S(ABC)$ is maximal.

For such a triangle, give an approximate value, to the nearest degree, of the measure of angle $A$ of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangolo con incircolo: superficie, perimetro, angolo; esistenza e approssimazione

Per ogni triangolo $ABC$, indicare: - $\Gamma$ il cerchio inserito nell’angolo al vertice $A$; - $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ i punti di tangenza di $\Gamma$ con rispettivamente le linee $(BC)$, $(CA)$ e $(AB)$; - $FS(ABC)$ l’area della parte del piano delimitata dai segmenti $[AB]$, $[AC]$ e l’arco $\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }}$ di $\Gamma$.

(Vedi la figura della pagina seguente.)

Indicare che esistono triangoli $ABC$ di un determinato perimetro $2p$ per i quali l’area $S(ABC)$ è massima.

Per tale triangolo, indicare un valore approssimativo, al grado più vicino, della misura dell’angolo $A$ del triangolo $ABC$.

src_cgen_1990__Q05