Concours Général des Lycées 1991 — Matematica

Real sequence with sum-of-squares identity; power sums as perfect squares

Let $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ be a sequence of real numbers such that, for every natural number $n$: $x_0^2+x_1^2+\cdots +x_n^2=(x_0+x_1+\cdots +x_n{)}^2.$

1. Show that for every non-zero natural number $n$, there exists a natural number $m$ such that: $x_0+x_1+\cdots +x_n=\frac{m(m+1)}{2}.$

2. Let $n$ and $p$ be two non-zero natural numbers, and set $S_{n,p}=1^p+2^p+\cdots +n^p$.

Determine the non-zero natural numbers $p$ such that, for every non-zero natural number $n$, $S_{n,p}$ is a perfect square.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza reale con identità di somma di quadrati; somma di potenza come quadrati perfetti

Che $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sia una sequenza di numeri reali tale che, per ogni numero naturale $n$: $x_0^2+x_1^2+\cdots +x_n^2=(x_0+x_1+\cdots +x_n{)}^2.$

1. Mostra che per ogni numero naturale non zero $n$ esiste un numero naturale $m$ tale che: $x_0+x_1+\cdots +x_n=\frac{m(m+1)}{2}.$

2. $n$ e $p$ siano due numeri naturali non zero e impostare $S_{n,p}=1^p+2^p+\cdots +n^p$.

Determinare i numeri naturali non zero $p$ in modo tale che, per ogni numero naturale non zero $n$, $S_{n,p}$ sia un quadrato perfetto.

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Sum of square roots minus arithmetic mean; monotonicity and limit

For every non-zero natural number $n$, we associate to the integer $n$ the application $f_n$ of the real variable $x$, defined for $x\ge n$ by: $f_n(x)=\sqrt{x-n}+\sqrt{x-n+1}+\cdots +\sqrt{x-1}+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\cdots +\sqrt{x+n}-(2n+1)\sqrt{x}.$

1. In this question, the integer $n$ is fixed.

Show that $f_n$ is increasing and that $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_n(x)=0$.

2. Determine the limit of the sequence with general term $f_n(n)$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Telescoping, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa delle radici quadrate meno media aritmetica; monotonia e limite

Per ogni numero naturale non zero $n$, associamo al numero intero $n$ l’applicazione $f_n$ della variabile reale $x$, definita per $x\ge n$ da: $f_n(x)=\sqrt{x-n}+\sqrt{x-n+1}+\cdots +\sqrt{x-1}+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\cdots +\sqrt{x+n}-(2n+1)\sqrt{x}.$

1. In questa domanda il numero intero $n$ è fisso.

Indicare che $f_n$ è in aumento e che $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_n(x)=0$.

2. Determina il limite della sequenza con termine generale $f_n(n)$.

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Tetrahedra in sphere with mutually orthogonal lateral edges; fixed plane and formula

Let $S$ be a fixed point on a sphere $\Sigma$ with centre $\Omega$. We consider tetrahedra $SABC$ inscribed in the sphere $\Sigma$ whose lateral edges from $S$ are pairwise orthogonal.

1. Show that the planes $(ABC)$ all pass through a fixed point.

2. For such a tetrahedron $SABC$: the point $S$ and the centre $\Omega$ of the sphere $\Sigma$ project orthogonally onto the plane $(ABC)$ at points $H$ and $O$ respectively. Let $R$ denote the radius of the circumscribed circle of triangle $ABC$.

Prove that: $R^2=O{H}^2+2S{I}^2,$ where $I$ denotes a point appearing in the configuration. (Warning: the last term $2S{I}^2$ may involve a point $I$ not explicitly named in the readable portion of the image; could be $2S{H}^2$ or $2\Omega I^2$. See warnings.)

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedri in sfera con bordi laterali reciprocamente ortogonali; piano fisso e formula

$S$ sia un punto fisso su una sfera $\Sigma$ con centro $\Omega$. Consideriamo un tetraedro $SABC$ inscritto nella sfera $\Sigma$ i cui bordi laterali da $S$ sono ortogonali in coppia.

1. Indicare che tutti i piani $(ABC)$ passano attraverso un punto fisso.

2. Per tale tetraedro $SABC$: il punto $S$ e il centro $\Omega$ della sfera $\Sigma$ si proiettano ortogonalmente sul piano $(ABC)$ rispettivamente nei punti $H$ e $O$. $R$ indichi il raggio del circolo circonscritto del triangolo $ABC$.

Prova che: $R^2=O{H}^2+2S{I}^2,$ dove $I$ indica un punto che appare nella configurazione. (Avvertimento: l’ultimo termine $2S{I}^2$ può comportare un punto $I$ non specificamente nominato nella parte leggibile dell’immagine; potrebbe essere $2S{H}^2$ o $2\Omega I^2$. Vedi avvertenze.)

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Max subset of {1,…,2^p} with no element double another

Let $p$ be a given natural number and $n=2^p$. We consider the subsets $A$ of $E=\{1,2,\dots ,n\}$ possessing the following property: $\text{if }x\in A,\text{ then }2x\notin A.$ Determine the maximum number of elements of such a subset $A$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sottoinsieme massimo di {1,…,2^p} senza elemento doppio di un altro

$p$ sia un dato numero naturale e $n=2^p$. Si considerano i sottoinsiemi $A$ di $E=\{1,2,\dots ,n\}$ che possiedono la seguente proprietà: $\text{if }x\in A,\text{ then }2x\notin A.$ Determinare il numero massimo di elementi di tale sottoinsieme $A$.

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Polynomial evaluated at 5th roots of unity; pentagon vertex distance product

1. Consider the map $P:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ defined by: $P(z)=z^5+a_4{z}^4+a_3{z}^3+a_2{z}^2+a_{1}z,$ where $a_1,a_2,a_3,a_4$ are four given complex numbers. Set $w_l=e^{2il\pi /5}$ where $l$ is an integer with $0\le l\le 4$.

Show that $P(w_0)+P(w_1)+P(w_2)+P(w_3)+P(w_4)=5$.

2. Let $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ be five points of the plane. A regular pentagon is inscribed in the circle with centre $A_1$ and given radius $R$.

Prove that there exists a vertex $S$ of the pentagon such that: $S{A}_1\cdot S{A}_2\cdot S{A}_3\cdot S{A}_4\cdot S{A}_5\ge R^5.$

Topic: Algebra, Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Simmetria, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Polinomio valutato alla quinta radice di unità; prodotto della distanza tra vertici pentagonali

1. Considera la mappa $P:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ definita da: $P(z)=z^5+a_4{z}^4+a_3{z}^3+a_2{z}^2+a_{1}z,$ dove $a_1,a_2,a_3,a_4$ sono quattro numeri complessi dati. Impostare $w_l=e^{2il\pi /5}$ in cui $l$ è un numero intero con $0\le l\le 4$.

Mostra che $P(w_0)+P(w_1)+P(w_2)+P(w_3)+P(w_4)=5$.

2. $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ siano cinque punti del piano. Un pentagono regolare è inserito nel cerchio con il centro $A_1$ e un raggio $R$.

Prova che esiste un vertice $S$ del pentagono tale che: $S{A}_1\cdot S{A}_2\cdot S{A}_3\cdot S{A}_4\cdot S{A}_5\ge R^5.$

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