Concours Général des Lycées 1992 — Matematica

Convex subsets of plane and a symmetry map delta

We say that a non-empty subset $\Delta$ of the plane $\mathcal{P}$ is convex if it has the following property: for every pair $(M,N)$ of points of $\Delta$, the segment $[MN]$ is contained in $\Delta$.

Let $\Delta$ be a convex part of the plane $\mathcal{P}$. If $A$ is a point of $\mathcal{P}$, to every pair $(M,N)$ of points of $\Delta$ we associate the point $m$ defined by $\overrightarrow{Am}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$ and we denote by ${\delta }_A(\Delta )$ the set of all points $m$ so obtained.

1. a. Show that ${\delta }_A(\Delta )$ admits a centre of symmetry.

b. Under what condition on $A$ does one have ${\delta }_A(\Delta )=\Delta$? By what transformation does one pass from ${\delta }_0(\Delta )$ to ${\delta }_A(\Delta )$?

2. Let $A$ be a point of the plane $\mathcal{P}$. Determine and represent ${\delta }_A(\Delta )$ when: a. $\Delta$ is a strip of the plane bounded by two parallel lines.

b. $\Delta$ is bounded by a triangle.

c. $\Delta$ is a half-plane.

3. Show that in both cases 2.b. and 2.c., the boundaries of $\Delta$ and ${\delta }_A(\Delta )$ have the same length.

Topic: Geometria piana, Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sottoinsiemi convexi di piano e di un delta di mappa di simmetria

Diciamo che un sottoinsieme non vuoto $\Delta$ del piano $\mathcal{P}$ è convexo se ha la seguente proprietà: per ogni coppia $(M,N)$ di punti di $\Delta$, il segmento $[MN]$ è contenuto in $\Delta$.

Il $\Delta$ deve essere una parte convexa del piano $\mathcal{P}$. Se $A$ è un punto di $\mathcal{P}$, a ogni coppia $(M,N)$ di punti di $\Delta$ si associa il punto $m$ definito da $\overrightarrow{Am}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$ e si indica con ${\delta }_A(\Delta )$ l’insieme di tutti i punti $m$ così ottenuti.

1. a. Mostra che ${\delta }_A(\Delta )$ ammette un centro di simmetria.

b. In che condizione si ha $A$ ${\delta }_A(\Delta )=\Delta$? Con quale trasformazione si passa da ${\delta }_0(\Delta )$ a ${\delta }_A(\Delta )$?

2. $A$ deve essere un punto del piano $\mathcal{P}$. Determinare e rappresentare ${\delta }_A(\Delta )$ quando: a. $\Delta$ è una striscia del piano delimitata da due linee parallele.

b. $\Delta$ è delimitato da un triangolo.

c. $\Delta$ è mezzo piano.

3. Indicare che in entrambi i casi 2.b. e 2.c., i confini di $\Delta$ e ${\delta }_A(\Delta )$ hanno la stessa lunghezza.

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Inscribed triangles and quadrilaterals maximising sum of squared sides

Let $(C)$ be a circle of the plane of radius $1$.

1. Determine the triangles $ABC$ inscribed in the circle $(C)$ for which the sum $A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2$ is maximum.

2. Determine the quadrilaterals $ABCD$ inscribed in the circle $(C)$ for which the sum $A{B}^2+A{C}^2+A{D}^2+B{C}^2+B{D}^2+C{D}^2$ is maximum. Represent such a quadrilateral.

Topic: Geometria piana, Trigonometria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Trigonometria, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangoli e quadrilaterali inseriti che massimizzano la somma dei lati quadrati

Il $(C)$ deve essere un cerchio del piano del raggio $1$.

1. Determinare i triangoli $ABC$ inseriti nel cerchio $(C)$ per i quali la somma $A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2$ è massima.

2. Determinare i quadrilaterali $ABCD$ inseriti nel cerchio $(C)$ per i quali la somma $A{B}^2+A{C}^2+A{D}^2+B{C}^2+B{D}^2+C{D}^2$ è massima. Rappresenta un quadrilaterale.

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Tetrahedron inscribed in sphere: three equivalent conditions

Let $ABCD$ be a tetrahedron inscribed in a sphere with centre $O$. Denote by $G$ the isobarycenter of the four vertices of the tetrahedron, and by $I$ the centre of the sphere inscribed in the tetrahedron. Show that the following three properties are equivalent:

1. The two points $O$ and $G$ coincide.

2. The four faces of the tetrahedron are congruent (isometric).

3. The two points $O$ and $I$ coincide.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedro inserito nella sfera: tre condizioni equivalenti

Il $ABCD$ deve essere un tetraedro inciso in una sfera con il centro $O$. Denotare con $G$ il centro isobario delle quattro vertici del tetraedro e con $I$ il centro della sfera inserita nel tetraedro. dimostrare che le seguenti tre proprietà sono equivalenti:

**1. ** I due punti $O$ e $G$ coincidono.

2. Le quattro facce del tetraedro sono congruenti (isometriche).

3. I due punti $O$ e $I$ coincidono.

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Convergence and eventual monotonicity of a square-root recurrence

Let $(u_n)$ be the numerical sequence defined by its first two terms $u_0$ and $u_1$, with $0<u_0<1$ and $0<u_1<1$, and by the recurrence relation: $u_{n+2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}\right).$

1. Show that the sequence $(u_n)$ is convergent and determine its limit.

2. Show that from some index $n_0$ onwards, the sequence $(u_n)$ is monotone (one is not asked to determine $n_0$, which depends on the initial values $u_0$ and $u_1$).

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Convergenza e eventuale monotonia di una ricorrenza di radice quadrata

$(u_n)$ sia la sequenza numerica definita dai suoi primi due termini $u_0$ e $u_1$, con $0<u_0<1$ e $0<u_1<1$, e dal rapporto di ricorrenza: $u_{n+2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}\right).$

1. Mostra che la sequenza $(u_n)$ è convergente e determina il suo limite.

2. Mostra che da alcuni indici $n_0$ in poi, la sequenza $(u_n)$ è monotona (non è richiesto di determinare $n_0$, che dipende dai valori iniziali $u_0$ e $u_1$).

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Units digit of floor of 10^1992 / (10^83 + 7)

What is the units digit of the largest integer less than or equal to $\frac{10^{1992}}{10^{83}+7}$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Unità di polvere di 10^1992 / (10^83 + 7) *

Qual è la cifra di unità del più grande intero inferiore o uguale a $\frac{10^{1992}}{10^{83}+7}$?

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