Concours Général des Lycées 1993 — Matematica

Perfect weight box: characterize and count by factorization, total mass 1993g

We call a box of weights any finite set of weights consisting of: $x_1\text{ weights of }{d}_1\text{ grams each,}$ $x_2\text{ weights of }{d}_2\text{ grams each,}$ $⋮$ $x_k\text{ weights of }{d}_k\text{ grams each.}$ The numbers $x_i$ and $d_i$ (for $1\le i\le k$) are non-zero natural numbers such that $1\le d_1<d_2<\cdots <d_k.$ We set $n=x_1{d}_1+x_2{d}_2+\cdots +x_k{d}_k$ and say that the total mass of the box is $n$ grams.

A box of weights is called perfect if it allows one to obtain, in a unique way, every mass $m$ from $\{0,1,\dots ,n\}$: that is, for every integer $m$ in $\{0,1,\dots ,n\}$, there exist unique integers $y_1,y_2,\dots ,y_k$ such that for every index $i$, $1\le i\le k$, one has $0\le y_i\le x_i$, and $m=y_1{d}_1+y_2{d}_2+\cdots +y_k{d}_k$.

1. Determine all boxes of weights of total mass $5$ grams. Which of these are perfect?

2. Show that for a perfect box of weights of total mass $n$ grams, one has, with the notation from the preamble: $(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_k)=n+1.$

3. Conversely, given $k$ strictly positive integers $x_1,x_2,\dots ,x_k$ ($k$ non-zero) such that $n+1=(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_k),$ show that there exist integers $d_1,d_2,\dots ,d_k$ with $1\le d_1<d_2<\cdots <d_k$ such that the box of weights composed of $x_1$ weights of $d_1$ grams, $x_2$ weights of $d_2$ grams, $\dots$, $x_k$ weights of $d_k$ grams is perfect.

4. Determine all perfect boxes of weights of total mass $1993$ grams.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Cassa per il peso perfetto: caratterizzare e contare per fattorizzazione, massa totale 1993g

Chiamiamo una scatola di pesi **** qualsiasi insieme finito di pesi composto da: $x_1\text{ weights of }{d}_1\text{ grams each,}$ $x_2\text{ weights of }{d}_2\text{ grams each,}$ $⋮$ $x_k\text{ weights of }{d}_k\text{ grams each.}$ $x_k\text{ weights of }{d}_k\text{ grams each.}$ I numeri $x_i$ e $d_i$ (per $1\le i\le k$) sono numeri naturali non zero come $1\le d_1<d_2<\cdots <d_k.$ Settiamo $n=x_1{d}_1+x_2{d}_2+\cdots +x_k{d}_k$ e diciamo che la massa totale della scatola è $n$ grammi.

Una scatola di pesi è chiamata perfetta se consente di ottenere, in modo unico, ogni massa $m$ da $\{0,1,\dots ,n\}$: cioè, per ogni intero $m$ in $\{0,1,\dots ,n\}$, esistono enti unici $y_1,y_2,\dots ,y_k$ in modo che per ogni indice $i$, $1\le i\le k$, si abbia $0\le y_i\le x_i$ e $m=y_1{d}_1+y_2{d}_2+\cdots +y_k{d}_k$.

1. Determinare tutte le scatole di pesi di massa totale $5$ grammi. Quale di queste è perfetta?

2. Indicare che per una casella perfetta di pesi di massa totale $n$ grammi, si ha, con la notazione del preambolo: $(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_k)=n+1.$

3. Invece, dati $k$ numeri interi rigorosamente positivi $x_1,x_2,\dots ,x_k$ ($k$ non zero) in modo che $n+1=(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_k),$ dimostri che esistono numeri interi $d_1,d_2,\dots ,d_k$ con $1\le d_1<d_2<\cdots <d_k$ in modo che la scatola di pesi composta da pesi $x_1$ di grammi $d_1$, pesi $x_2$ di grammi $d_2$, pesi $\dots$ di grammi $x_k$ sia perfetta.

4. Determina tutte le scatole perfette di pesi di massa totale $1993$ grammi.

src_cgen_1993__Q01

Existence of 2n+1 consecutive integers satisfying sum / sum-of-squares / sum-of-cubes equality

Let $n$ be a given strictly positive integer.

1. Does there exist $2n+1$ consecutive natural integers $a_0,a_1,\dots ,a_{2n}$, arranged in increasing order, satisfying: $a_0+a_1+\cdots +a_n=a_{n+1}+\cdots +a_{2n}?$

2. Does there exist $2n+1$ consecutive natural integers $a_0,a_1,\dots ,a_{2n}$, arranged in increasing order, satisfying: $a_0^2+a_1^2+\cdots +a_n^2=a_{n+1}^2+\cdots +a_{2n}^2?$

3. Does there exist $2n+1$ consecutive natural integers $a_0,a_1,\dots ,a_{2n}$, arranged in increasing order, satisfying: $a_0^3+a_1^3+\cdots +a_n^3=a_{n+1}^3+\cdots +a_{2n}^3?$

For this last question, one may study the variations of the function $f$ defined on $\mathbb{R}$ by: $f(x)=(x-n{)}^3+(x-n+1{)}^3+\cdots +x^3-(x+1{)}^3-\cdots -(x+n{)}^3.$ One will show that the equation $f(x)=0$ admits a unique solution $x_n$ satisfying $3n(n+1)<x_n<3n(n+1)+1$.

One may use the identity $1^2+2^2+\cdots +n^2={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esistenza di 2n+1 interi consecutivi che soddisfano la somma / somma di quadrati / somma di cubi uguale

$n$ sia un dato numero intero rigorosamente positivo.

Esistono $2n+1$ numeri interi naturali consecutivi $a_0,a_1,\dots ,a_{2n}$, disposti in ordine crescente, che soddisfano: $a_0+a_1+\cdots +a_n=a_{n+1}+\cdots +a_{2n}?$

Esistono $2n+1$ numeri interi naturali consecutivi $a_0,a_1,\dots ,a_{2n}$, ordinati in ordine crescente, che soddisfano: $a_0^2+a_1^2+\cdots +a_n^2=a_{n+1}^2+\cdots +a_{2n}^2?$

Esistono $2n+1$ numeri interi naturali consecutivi $a_0,a_1,\dots ,a_{2n}$, disposti in ordine crescente, che soddisfano: $a_0^3+a_1^3+\cdots +a_n^3=a_{n+1}^3+\cdots +a_{2n}^3?$

Per quest’ultima domanda, si possono studiare le variazioni della funzione $f$ definita su $\mathbb{R}$ da: $f(x)=(x-n{)}^3+(x-n+1{)}^3+\cdots +x^3-(x+1{)}^3-\cdots -(x+n{)}^3.$ Si mostrerà che l’equazione $f(x)=0$ ammette una soluzione unica $x_n$ soddisfacente $3n(n+1)<x_n<3n(n+1)+1$.

Si può usare l’identità $1^2+2^2+\cdots +n^2={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$.

src_cgen_1993__Q02

Bounded-below function on Z with midpoint inequality implies constant

Let $f$ be an application from $\mathbb{Z}$ to the set $\mathbb{R}$ of real numbers. Suppose that $f$ is bounded below and satisfies: for every relative integer $n$, $f(n)>\frac{1}{2}|f(n+1)+f(n-1)|.$ Show that the application $f$ is constant.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Estremalità, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione di sotto limite su Z con disuguaglianza di punto medio implica costante

$f$ sia un’applicazione da $\mathbb{Z}$ all’insieme $\mathbb{R}$ di numeri reali. Supponiamo che $f$ sia delimitato di seguito e soddisfi: per ogni numero intero relativo $n$, $f(n)>\frac{1}{2}|f(n+1)+f(n-1)|.$ Mostri che l’applicazione $f$ è costante.

src_cgen_1993__Q03

Covering a unit disk with two or three equal disks of radius r < 1

Let $D$ be a disk of radius $1$ in the plane.

1. Show that it is impossible to cover the disk $D$ with two disks of the same radius $r$, when $r$ is strictly less than $1$.

2. Show that, for certain values of $r<1$, it is possible to cover the disk $D$ with three disks of the same radius $r$. What is the smallest value of $r$ permitting such a covering?

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Coperta di un disco unitario con due o tre dischi uguali di raggio r < 1

Si deve $D$ essere un disco di raggio $1$ nel piano.

1. Indicare che è impossibile coprire il disco $D$ con due dischi dello stesso raggio $r$, quando $r$ è strettamente inferiore a $1$.

2. Indicare che, per alcuni valori di $r<1$, è possibile coprire il disco $D$ con tre dischi dello stesso raggio $r$. Qual è il valore minimo di $r$ che consente tale copertura?

src_cgen_1993__Q04

Optimal triangles MAB by area/perimeter; maximize V/L^3 for a tetrahedron

Let $A$ and $B$ be two distinct points in space.

1. Let $M$ be a point in space.

a. Among all triangles $MAB$ with a given area, which have minimal perimeter?

b. Among all triangles $MAB$ with a given perimeter, which have maximal area?

2. In a tetrahedron of volume $V$, let $a,b,c,d$ be four edges such that any three of them are non-coplanar, and let $L=a+b+c+d$.

Determine the maximum value of the quotient $\frac{V}{L^3}$.

Topic: Geometria solida, Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangoli ottimali MAB per area/perimetro; massimizzazione di V/L^3 per un tetraedro

Lasciate che $A$ e $B$ siano due punti distinti nello spazio.

1. $M$ sia un punto nello spazio.

Tra tutti i triangoli $MAB$ con una determinata area, che hanno un perimetro minimo?

Tra tutti i triangoli $MAB$ con un determinato perimetro, che hanno superficie massima?

2. In un tetraedro di volume $V$, $a,b,c,d$ deve avere quattro bordi in modo che ognuno di essi sia non coplanare e $L=a+b+c+d$.

Determinare il valore massimo del quotiente $\frac{V}{L^3}$.

src_cgen_1993__Q05