Concours Général des Lycées 1994 — Matematica

Count integers p with 50^p < 7^n < 50^(p+1)

For every natural integer $n$, denote by $I_n$ the number of integers $p$ such that $50^p<7^n<50^{p+1}.$

1. Show that for every integer $n$, $I_n$ equals 2 or 3.
2. Show that there exist infinitely many integers $n$ for which $I_n=3$, and find the smallest one.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Contare i numeri interi p con 50^p < 7^n < 50^(p+1) *

Per ogni integro naturale $n$, indicare con $I_n$ il numero di integri $p$ tale che $50^p<7^n<50^{p+1}.$ 1. Mostrare che per ogni numero intero $n$, $I_n$ è uguale a 2 o 3. 2. Mostrare che esistono infinitamente molti enti $n$ per i quali $I_n=3$, e trovare il più piccolo.

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Maximize volume of cylinder between hemisphere circle and its projection

Let $\sum$ be a hemisphere and $P$ the plane containing its base circle. A variable plane $Q$, parallel to a fixed plane perpendicular to $P$, intersects the hemisphere along a circle $C$. We denote by $C^{\prime }$ the orthogonal projection of $C$ onto $P$.

How should the plane $Q$ be placed so that the cylinder with bases $C$ and $C^{\prime }$ has maximum volume?

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Maximizzare il volume del cilindro tra il cerchio dell’emisfero e la sua proiezione

Che $\sum$ sia un emisfero e $P$ il piano che ne contiene il cerchio base. Un piano variabile $Q$, parallelo a un piano fisso perpendicolare a $P$, interseca l’emisfero lungo un cerchio $C$. Indichiamo con $C^{\prime }$ la proiezione ortogonale di $C$ su $P$.

Come si deve posizionare il piano $Q$ in modo che il cilindro con basi $C$ e $C^{\prime }$ abbia un volume massimo?

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Functional recurrence on N, sequence reaches 0, find v(1994) and preimage of N

Define an application $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ by $f(1)=0$ and, for every element $n$ of ${\mathbb{N}}^{\ast }$: $f(2n)=2f(n)+1,f(2n+1)=2f(n).$ Given a strictly positive integer $p$ chosen arbitrarily, set $u_0=p$ and $u_{k+1}=f(u_k)$ for $u_k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

1. Show that, for any choice of $p$, there exists a unique integer $v(p)$ such that $u_{v(p)}=0$.
2. a. Compute $v(1994)$. What is the smallest integer $p$ such that $v(p)=1994$? b. Given a positive integer $N$, determine the smallest integer $p$ such that $v(p)=N$.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricorrenza funzionale su N, sequenza raggiunge 0, trovare v(1994) e preimmagine di N

Definire un’applicazione $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ da $f(1)=0$ e, per ogni elemento $n$ di ${\mathbb{N}}^{\ast }$: $f(2n)=2f(n)+1,f(2n+1)=2f(n).$ Dato un intero rigorosamente positivo $p$ scelto arbitrariamente, impostare $u_0=p$ e $u_{k+1}=f(u_k)$ per $u_k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

1. Mostrare che, per qualsiasi scelta di $p$, esiste un intero unico $v(p)$ tale che $u_{v(p)}=0$. 2. a. Calcolare $v(1994)$. Qual è il numero intero più piccolo $p$ tale che $v(p)=1994$? b. Dato un intero positivo $N$, determinare il numero intero più piccolo $p$ tale da $v(p)=N$.

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Minimize sum of squared distances from point P to triangle vertices via projections

Let $ABC$ be a triangle. Let $P$ be a point in its plane. Denote by $L$, $M$, $N$ the orthogonal projections of $P$ onto the lines $(BC)$, $(CA)$, and $(AB)$ respectively.

Determine the point $P$ for which the quantity $B{L}^2+C{M}^2+A{N}^2$ is minimal.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Minimizzare la somma delle distanze quadrate dal punto P ai vertici del triangolo attraverso proiezioni

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Che il $P$ sia un punto del suo piano. Nota con $L$, $M$, $N$ le proiezioni ortogonali di $P$ sulle linee $(BC)$, $(CA)$ e $(AB)$ rispettivamente.

Determinare il punto $P$ per il quale la quantità $B{L}^2+C{M}^2+A{N}^2$ è minima.

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Functional equation f(m^2+n^2)=[f(m)]^2+[f(n)]^2 on natural numbers

Let $f$ be an application from $\mathbb{N}$ to $\mathbb{N}$ such that $f(1)>0$, and for all natural integers $m$ and $n$: $f(m^2+n^2)=[f(m){]}^2+[f(n){]}^2.$

1. Compute $f(k)$ for $0\le k\le 12$.
2. Compute $f(n)$, where $n$ is an arbitrary integer.

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Equazione funzionale f ((m^2+n^2)=[f(m)]^2+[f(n)]^2 sui numeri naturali

Che $f$ sia un’applicazione da $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ tale che $f(1)>0$, e per tutti gli integri naturali $m$ e $n$: $f(m^2+n^2)=[f(m){]}^2+[f(n){]}^2.$

1. Calcolare $f(k)$ per $0\le k\le 12$. 2. Calcolare $f(n)$, dove $n$ è un intero arbitrario.

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