Concours Général des Lycées 1995 — Matematica

Isobarycenter locus as line varies in plane triangle

In a plane $P$, we are given a triangle $ABC$. For each line $D$, parallel to none of the sides, one associates the point $G_D$, the isobarycenter of the three feet of the perpendiculars from $A$, $B$, $C$ to $D$ and to the lines $(AB)$, $(BC)$, and $(CA)$. The object of this exercise is to determine the set $\mathcal{F}$ of points $G_D$ as $D$ varies.

1. Show that when $D$ moves while remaining parallel to a line $\Delta$, the point $G_D$ traces out a line ${\Delta }_0$.

2. Suppose, in this sub-question only, that triangle $ABC$ is equilateral. Show that when $D$ varies, the lines ${\Delta }_0$ are all tangent to a common circle and determine the set $\mathcal{F}$ in this case.

3. Return to the general case. Show that one can find an equilateral triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ in space whose orthogonal projection onto the plane $P$ is the triangle $ABC$, and deduce the set $\mathcal{F}$.

Topic: Geometria piana, Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Locus isobarycenter come linea varia nel triangolo piatto

In un piano $P$, abbiamo un triangolo $ABC$. Per ciascuna linea $D$, parallela a nessuna delle laterali, si associa il punto $G_D$, l’isobariocentro dei tre piedi delle perpendicolari da $A$, $B$, $C$ a $D$ e alle linee $(AB)$, $(BC)$ e $(CA)$. L’obiettivo di questo esercizio è determinare l’insieme $\mathcal{F}$ dei punti $G_D$ in quanto $D$ varia.

1. Indicare che quando $D$ si muove mentre rimane parallelo a una linea $\Delta$, il punto $G_D$ traccia una linea ${\Delta }_0$.

2. Supponiamo, solo in questa sotto-questione, che il triangolo $ABC$ sia equilaterale. Mostrare che quando $D$ varia, le linee ${\Delta }_0$ sono tutte tangenti a un cerchio comune e determinare il set $\mathcal{F}$ in questo caso.

3. Torniamo al caso generale. Mostrare che si può trovare un triangolo equilaterale $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nello spazio la cui proiezione ortogonale sul piano $P$ è il triangolo $ABC$, e dedurre l’insieme $\mathcal{F}$.

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Convergence of a sequence defined by a square-root recurrence

Study the convergence of the sequence $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ defined by $\{\begin{array}{l}{u}_0\ge 0\text{ and for all }n\in \mathbb{N}:\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+\frac{4}{n+1}}\end{array}$

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Convergenza di una sequenza definita da una ricorrenza di radice quadrata

Studiare la convergenza della sequenza $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definita da $\{\begin{array}{l}{u}_0\ge 0\text{ and for all }n\in \mathbb{N}:\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+\frac{4}{n+1}}\end{array}$

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Minimum area of region inside at least two of three circles of radius R

In the plane, let ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ be three circles of radius $R$ all passing through a point $O$. Let $D$ denote the set of points in the plane that belong to at least two of these circles.

What is the minimum value of the area of $D$, and for what configuration of ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ is it achieved? Justify your answer.

Topic: Geometria piana, Probabilità Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

L’area minima di regione all’interno di almeno due dei tre cerchi di raggio R

Nel piano, ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ siano tre cerchi di raggio $R$ che attraversano tutti un punto $O$. $D$ indica l’insieme dei punti del piano che appartengono ad almeno due di questi cerchi.

Qual è il valore minimo dell’area di $D$ e per quale configurazione di ${\Gamma }_1$, ${\Gamma }_2$, ${\Gamma }_3$ viene raggiunto? Giustifica la tua risposta.

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Six points with pairwise distances summing to i+j

Let $A_1$, $A_2$, $A_3$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ be six points in the plane such that for all integers $i$ and $j$ in $\{1,2,3\}$: $A_i{B}_j=i+j.$ What can be said about these six points?

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Sei punti con distanze in coppia che si sommano a i+j

Che $A_1$, $A_2$, $A_3$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ siano sei punti nel piano in modo tale che per tutti gli integri $i$ e $j$ in $\{1,2,3\}$: $A_i{B}_j=i+j.$ Cosa si può dire di questi sei punti?

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